有限信息最大似然估計(jì)引言：從“變量糾纏”到“精準(zhǔn)求解”的計(jì)量探索記得剛學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)時，老師在黑板上畫了兩個箭頭——“收入影響消費(fèi)”和“消費(fèi)反作用于收入”，然后問：“如果用普通最小二乘法（OLS）估計(jì)這兩個方程，結(jié)果會怎樣？”當(dāng)時的我只覺得這是個簡單的聯(lián)立問題，直到后來才明白，當(dāng)解釋變量與誤差項(xiàng)相關(guān)（內(nèi)生性）時，OLS估計(jì)量會像被施了“魔法”，偏得連自己都不認(rèn)識。這時候，工具變量法（IV）成了破局關(guān)鍵，而有限信息最大似然估計(jì)（LimitedInformationMaximumLikelihood,LIML）就是其中一顆“明珠”。為什么叫“有限信息”？就像醫(yī)生看病，只看當(dāng)前癥狀而不查全身，LIML在聯(lián)立方程系統(tǒng)中只關(guān)注目標(biāo)方程的信息，避免了“全信息”方法（如FIML）的復(fù)雜計(jì)算；“最大似然”則是老熟人了，通過最大化數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率來估計(jì)參數(shù)。這兩者的結(jié)合，既保留了似然估計(jì)的效率優(yōu)勢，又降低了計(jì)算門檻，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等領(lǐng)域的內(nèi)生性問題中屢建奇功。接下來，我們就從基礎(chǔ)概念出發(fā)，一步步揭開LIML的神秘面紗。一、LIML的基礎(chǔ)概念：從聯(lián)立方程到估計(jì)邏輯1.1聯(lián)立方程模型的“內(nèi)生性困局”要理解LIML，首先得回到它的“主戰(zhàn)場”——聯(lián)立方程模型（SimultaneousEquationsModel,SEM）?，F(xiàn)實(shí)中，經(jīng)濟(jì)變量往往互為因果：企業(yè)投資影響利潤，利潤又反哺投資；教育水平?jīng)Q定收入，收入高低又影響教育投入。這種雙向因果關(guān)系，讓傳統(tǒng)的單方程模型（如一元回歸）陷入“內(nèi)生性陷阱”——解釋變量（如投資）與誤差項(xiàng)（如未觀測到的管理能力）相關(guān)，導(dǎo)致OLS估計(jì)量有偏且不一致。以經(jīng)典的“供給-需求模型”為例：需求方程是(Q_d=P+Y+u)，供給方程是(Q_s=P+W+v)，均衡時(Q_d=Q_s=Q)。這里的價格(P)同時由供給和需求決定，與兩個方程的誤差項(xiàng)(u)、(v)都相關(guān)。若直接用OLS估計(jì)需求方程，(P)是內(nèi)生變量，估計(jì)出的()會“失真”。1.2“有限信息”與“全信息”的分野面對聯(lián)立方程，計(jì)量學(xué)家發(fā)展了兩類方法：有限信息法（LimitedInformation,LI）和全信息法（FullInformation,FI）。全信息法（如全信息最大似然估計(jì)FIML）要求同時估計(jì)系統(tǒng)中所有方程，利用全部變量的信息，理論上更有效，但計(jì)算復(fù)雜度高，對模型設(shè)定錯誤（如某個方程遺漏變量）非常敏感。有限信息法則“聚焦”目標(biāo)方程，只考慮該方程的外生變量和工具變量，忽略系統(tǒng)中其他方程的信息，雖然損失了部分效率，但更穩(wěn)健、易操作。LIML正是有限信息法的代表。它的“有限”體現(xiàn)在：僅針對單個方程進(jìn)行估計(jì)，不要求知道系統(tǒng)中其他方程的具體形式；但又通過最大似然原理，充分利用了目標(biāo)方程的信息，在正態(tài)誤差假設(shè)下，效率通常高于兩階段最小二乘法（2SLS）。1.3最大似然估計(jì)的“概率思維”最大似然估計(jì)（MLE）的核心是“讓觀測到的數(shù)據(jù)最可能出現(xiàn)”。假設(shè)我們有一組樣本((y_i,x_i))，模型是(y_i=x_i+u_i)，且誤差項(xiàng)(u_i)服從正態(tài)分布(N(0,^2))。似然函數(shù)(L(,^2|y,x))就是所有樣本出現(xiàn)概率的乘積（取對數(shù)后為對數(shù)似然函數(shù)(L)）。MLE通過最大化(L)找到()和(^2)的估計(jì)值，因?yàn)檫@樣的參數(shù)能讓當(dāng)前數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率最大。LIML將這一思想擴(kuò)展到聯(lián)立方程的單方程估計(jì)中。它假設(shè)目標(biāo)方程的誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，構(gòu)造包含內(nèi)生解釋變量和工具變量的似然函數(shù)，通過最大化該函數(shù)得到參數(shù)估計(jì)量。這種“概率驅(qū)動”的方法，天然帶有統(tǒng)計(jì)效率優(yōu)勢——在滿足假設(shè)時，MLE是漸近有效的（達(dá)到Cramér-Rao下界）。二、LIML的理論基礎(chǔ)：從識別到似然函數(shù)構(gòu)造2.1聯(lián)立方程的識別問題：LIML的“入場券”LIML的應(yīng)用有個前提——目標(biāo)方程必須可識別（Identifiable）。識別問題就像“拼圖”：如果方程中的參數(shù)無法從數(shù)據(jù)中唯一確定，估計(jì)就成了“無米之炊”。對于單方程，識別的關(guān)鍵是“秩條件”和“階條件”：階條件要求外生工具變量的數(shù)量至少等于內(nèi)生解釋變量的數(shù)量（過度識別或恰好識別）；秩條件則要求工具變量與內(nèi)生解釋變量存在足夠的相關(guān)性（排除“弱工具變量”）。例如，需求方程中有1個內(nèi)生解釋變量（價格(P)），需要至少1個外生工具變量（如收入(Y)是外生的？不，(Y)在需求方程中是解釋變量，真正的工具變量應(yīng)該是供給方程中的外生變量，如天氣(W)，它影響供給但不直接影響需求）。若工具變量數(shù)量大于內(nèi)生解釋變量數(shù)量（過度識別），2SLS和LIML都可以用；若恰好識別，兩者漸近等價；若不可識別，LIML也無能為力。2.2內(nèi)生變量的“簡化式”表達(dá)：連接工具與內(nèi)生變量的橋梁為了構(gòu)造似然函數(shù)，LIML需要將內(nèi)生解釋變量表示為外生工具變量的函數(shù)，即“簡化式方程”（ReducedForm）。以需求方程(Q=P+Y+u)為例，其中(P)是內(nèi)生變量，工具變量是供給方程中的外生變量(W)（如原材料價格）。簡化式方程就是(P=_0+_1Y+_2W+v)，這里(Y)和(W)都是外生的（與(u)、(v)不相關(guān)）。通過簡化式，內(nèi)生變量(P)被分解為外生部分（由(Y)、(W)決定）和誤差部分(v)。LIML的似然函數(shù)將同時考慮原方程（結(jié)構(gòu)方程）和簡化式方程的誤差項(xiàng)，假設(shè)它們的聯(lián)合分布是正態(tài)的，從而構(gòu)造出包含所有相關(guān)信息的似然函數(shù)。2.3似然函數(shù)的構(gòu)造：從誤差分布到聯(lián)合概率假設(shè)結(jié)構(gòu)方程的誤差(u)和簡化式方程的誤差(v)服從二維正態(tài)分布，均值為0，協(xié)方差矩陣為(=)。對于每個樣本(i)，觀測到的(Q_i)和(P_i)由結(jié)構(gòu)方程和簡化式方程共同決定，因此它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為(f(Q_i,P_i|,,,))。將所有樣本的密度函數(shù)相乘（取對數(shù)后求和），得到對數(shù)似然函數(shù)：[L=-||_{i=1}^n(u_i,v_i)^{-1}(u_i,v_i)’]其中(u_i=Q_iP_iY_i)，(v_i=P_i_0_1Y_i_2W_i)。LIML的目標(biāo)就是找到()、()、()和()的值，使得(L)最大。三、LIML的估計(jì)步驟：從數(shù)學(xué)推導(dǎo)到實(shí)際操作3.1簡化問題：消去干擾參數(shù)似然函數(shù)中包含結(jié)構(gòu)參數(shù)（如()、()）和簡化式參數(shù)（如()），以及協(xié)方差矩陣()，這些被稱為“干擾參數(shù)”（NuisanceParameters）。為了簡化計(jì)算，LIML通常先對干擾參數(shù)求極大似然估計(jì)，再代入似然函數(shù)中，得到僅關(guān)于結(jié)構(gòu)參數(shù)的“集中似然函數(shù)”（ConcentratedLikelihoodFunction）。具體來說，對于給定的()，可以通過OLS估計(jì)簡化式方程的參數(shù)()（因?yàn)楹喕椒匠痰慕忉屪兞慷际峭馍模琌LS是一致的）；同時，協(xié)方差矩陣()的極大似然估計(jì)可以用殘差的樣本協(xié)方差表示。將這些估計(jì)值代入對數(shù)似然函數(shù)，最終得到一個僅關(guān)于()的目標(biāo)函數(shù)，最大化該函數(shù)即可得到()的LIML估計(jì)量。3.2特征值問題：LIML的“數(shù)學(xué)密碼”經(jīng)過集中似然函數(shù)的處理，LIML的估計(jì)問題可以轉(zhuǎn)化為一個特征值問題。假設(shè)我們有(k)個內(nèi)生解釋變量，(m)個工具變量（(mk)），構(gòu)造兩個矩陣：(Z)是工具變量矩陣（包含外生解釋變量和額外工具變量），(X)是包含內(nèi)生解釋變量和外生解釋變量的矩陣。則LIML估計(jì)量對應(yīng)于最小化以下目標(biāo)函數(shù)：[=]其中()是矩陣(Z(Z’Z)^{-1}Z’)在((YX))方向上的“投影比例”。最小化()等價于最大化似然函數(shù)，而最優(yōu)的()對應(yīng)于該目標(biāo)函數(shù)的最小值，這可以通過求解廣義特征值問題得到。用更直白的話說，LIML在尋找一個參數(shù)()，使得模型殘差（(YX)）在工具變量空間中的投影盡可能小（因?yàn)楣ぞ咦兞颗c殘差不相關(guān)，投影小說明殘差主要由隨機(jī)誤差構(gòu)成）。這類似于在“約束”殘差與工具變量無關(guān)的情況下，讓殘差的方差最小，從而讓數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率最大。3.3實(shí)際操作：從軟件實(shí)現(xiàn)到結(jié)果解讀在實(shí)際應(yīng)用中，LIML估計(jì)不需要手動求解特征值問題，主流統(tǒng)計(jì)軟件（如Stata、R、EViews）都提供了現(xiàn)成的命令。例如，Stata中的ivregressliml命令，只需要指定內(nèi)生變量、工具變量和外生解釋變量，就能輸出估計(jì)結(jié)果。需要注意的是，LIML對弱工具變量比較敏感。如果工具變量與內(nèi)生解釋變量的相關(guān)性很弱（F統(tǒng)計(jì)量小于10），LIML的有限樣本偏差可能反而比2SLS更大。這時候需要結(jié)合其他方法（如GMM的穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤）或?qū)ふ腋鼜?qiáng)的工具變量。四、LIML的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：效率、穩(wěn)健性與有限樣本表現(xiàn)4.1漸近性質(zhì)：一致性與漸近正態(tài)性在滿足識別條件（工具變量外生且相關(guān)）、誤差項(xiàng)獨(dú)立同分布且具有有限方差等假設(shè)下，LIML估計(jì)量是一致的（隨著樣本量增大，估計(jì)值趨近于真實(shí)值），且漸近正態(tài)分布。其漸近方差與2SLS在正態(tài)誤差下相同，但在非正態(tài)誤差下，LIML可能更有效（因?yàn)槔昧朔植夹畔ⅲ?.2有限樣本性質(zhì)：偏差與方差的權(quán)衡LIML的有限樣本性質(zhì)一直是學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)。與2SLS相比，LIML在過度識別情況下通常有更小的偏差，尤其是當(dāng)工具變量數(shù)量較多時。例如，蒙特卡洛模擬顯示，當(dāng)有5個工具變量和1個內(nèi)生解釋變量時，LIML的平均絕對偏差可能比2SLS低30%。但LIML的方差可能更大，尤其是在弱工具變量場景下，其估計(jì)量可能出現(xiàn)“厚尾”現(xiàn)象（極端值更多）。這有點(diǎn)像投資中的“風(fēng)險-收益”權(quán)衡：LIML在多數(shù)情況下能給出更接近真實(shí)值的估計(jì)（低偏差），但偶爾會“跑偏”得更遠(yuǎn)（高方差）；而2SLS更“保守”，偏差稍大但方差更穩(wěn)定。實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題選擇——如果更在意偏差（如政策評估），LIML可能更合適；如果擔(dān)心極端值（如高頻金融數(shù)據(jù)），2SLS可能更穩(wěn)健。4.3與2SLS的關(guān)系：漸近等價與有限樣本差異在恰好識別（工具變量數(shù)量等于內(nèi)生解釋變量數(shù)量）時，LIML和2SLS是等價的，因?yàn)榇藭r特征值問題只有一個解，兩種方法得到相同的估計(jì)量。但在過度識別時，兩者分道揚(yáng)鑣：2SLS通過最小化殘差在工具變量空間的投影（第一階段回歸預(yù)測值的殘差平方和）來估計(jì)參數(shù)，而LIML通過最大化似然函數(shù)（考慮誤差的分布）來估計(jì)。打個比方，2SLS像“線性工程師”，用線性投影解決問題；LIML像“概率學(xué)家”，用概率分布優(yōu)化結(jié)果。在正態(tài)誤差下，LIML是“最優(yōu)”的，因?yàn)樗昧朔植夹畔?；在非正態(tài)誤差下，2SLS可能更穩(wěn)健，因?yàn)樗灰蕾嚪植技僭O(shè)。五、LIML的應(yīng)用場景：從勞動經(jīng)濟(jì)到金融研究5.1勞動經(jīng)濟(jì)學(xué)：教育回報(bào)率的內(nèi)生性校正教育對收入的影響是勞動經(jīng)濟(jì)學(xué)的經(jīng)典問題，但教育年限（(S)）可能與能力（未觀測到的(A)）相關(guān)，導(dǎo)致OLS高估回報(bào)率。此時，工具變量可以是“義務(wù)教育法改革”（外生政策變化，影響教育年限但不直接影響收入）。假設(shè)我們有方程(Y=S+X+u)，其中(S)是內(nèi)生變量，工具變量(Z)是改革虛擬變量。使用LIML估計(jì)時，首先估計(jì)簡化式方程(S=_0+_1Z+_2X+v)，然后構(gòu)造似然函數(shù)，最大化后得到()的估計(jì)值。與2SLS相比，LIML可能給出更準(zhǔn)確的回報(bào)率，尤其是在工具變量較多（如多個改革年份）時，偏差更小。5.2金融經(jīng)濟(jì)學(xué)：資產(chǎn)定價模型的聯(lián)立性處理資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）假設(shè)資產(chǎn)收益與市場組合收益線性相關(guān)，但市場組合可能與誤差項(xiàng)相關(guān)（如未觀測到的風(fēng)險因子）。此時，若有多個工具變量（如利率、通脹率等外生變量），可以用LIML估計(jì)貝塔系數(shù)。例如，方程(R_i=+R_m+u)，其中(R_m)是內(nèi)生的，工具變量(Z)是利率(r)和通脹()。LIML通過考慮(R_m)的簡化式（由(r)、()決定），構(gòu)造聯(lián)合似然函數(shù)，得到更穩(wěn)健的貝塔估計(jì)。這在高頻金融數(shù)據(jù)中尤為重要，因?yàn)檎龖B(tài)假設(shè)可能更接近實(shí)際（金融收益常被假設(shè)為正態(tài)分布）。5.3發(fā)展經(jīng)濟(jì)學(xué)：政策效果的因果推斷評估扶貧政策（如補(bǔ)貼(G)）對家庭消費(fèi)（(C)）的影響時，補(bǔ)貼可能與家庭的“努力程度”（未觀測到的(E)）相關(guān)（越努力的家庭越可能申請補(bǔ)貼），導(dǎo)致內(nèi)生性。工具變量可以是“地理距離”（離補(bǔ)貼發(fā)放點(diǎn)越遠(yuǎn)，申請成本越高，外生于消費(fèi)）。使用LIML估計(jì)(C=G+X+u)，其中(G)是內(nèi)生變量，工具變量(Z)是距離。LIML的優(yōu)勢在于，當(dāng)有多個工具變量（如距離、家庭人口等）時，能更有效地利用這些信息，減少估計(jì)偏差，從而更準(zhǔn)確地評估政策效果。六、總結(jié)與展望