第十五章《軸對(duì)稱》章節(jié)測(cè)試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．漢字是中華文化的瑰寶，下列漢字是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，AB=4cm，AC=5cm，BC=6cmA．9cm B．10cm C．11cm D．3．如圖，△ABC中，∠B=∠C，AD為BC邊上的高，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．AB=AC B．AD=BCC．BD=CD D．∠BAD=∠CAD4．如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，連接AD，△ABD與△ACD的面積比是5:4，AB=10，AC=8，∠BAC=50°，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°5．如圖，正方形ABCD中，若△MBC是等邊三角形，則∠AMD=（

）A．120° B．135° C．150° D．165°6．定義：等腰三角形的底邊長與其腰長的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰三角形的周長為16?cm，一邊長為6?cm，則它的“優(yōu)美比”k為（A．23 B．65 C．23或65 7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長為半徑作弧交AC，AB于點(diǎn)M，N；分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線AP，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，若DE=3，∠B=30°，則ABA．8 B．8.5 C．9 D．9.58．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上的一點(diǎn)，∠BAD=28°，在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE、DE，DE交AC于點(diǎn)O，若CE∥AB，則∠DOC的度數(shù)為（A．124° B．102° C．92° D．88°9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB經(jīng)過原點(diǎn)，且OA=3，OB=1，點(diǎn)P在y軸上，若以PAB為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么這樣的Р點(diǎn)有幾個(gè)（

）A．4 B．5 C．6 D．710．如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是CB的延長線和BA的延長線上的點(diǎn)，AE=BD，延長DA交CE于點(diǎn)F，G是AD上一點(diǎn)，且CG=CA，CG交AB于點(diǎn)H.下列結(jié)論：①∠DFC=60°；②∠DCG=2∠ACE；③CF?AF=GF；④GH+BD=GDA．4 B．3 C．2 D．1二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．把兩個(gè)相同的含有30°角的直角三角尺像如圖所示那樣放置，其中M是AD與BC的交點(diǎn)，MC=4，若AB=m，則S△ABM=.(用含m12．如圖△ABC中、AB=AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BA的延長線于點(diǎn)E，連接CE，若CD=32，CE=4，則BE的長為13．如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為4cm，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，將△CDE沿直線DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，且點(diǎn)C′在△ABC14．如圖．在△ABC中，BC=5，AC=9，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，∠ABD=∠A，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，此時(shí)CE平分∠BCD，則DE的長為．15．如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△FEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在AD上，若∠ACE=10°，則∠AEF的度數(shù)為°．16．如圖，點(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PAC=21°．如果∠PBC=30°，∠PBA=9°，則∠APC的度數(shù)是．三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（6分）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A4,0，B?1,4(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為(2)求△ABC的面積．18．（6分）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線．(1)若AC=6，△ABD的周長是13，求△ABC的周長(2)若△ABC中，∠B=62°，∠C=36°19．（8分）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)(1)求∠F的度數(shù)；(2)若C是DF的中點(diǎn)，DE=2，求CF的長．20．（8分）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP相交于點(diǎn)P．(1)試探索∠BPC與∠BAC的關(guān)系；(2)若∠BPC=40°，求∠CAP的度數(shù)．21．（10分）如圖，AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于點(diǎn)E；(1)尺規(guī)作圖：過A作CE的垂線，垂足為F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，求證：CF=EF．22．（10分）如圖，△ABC與△ADE都是等邊三角形(AB>AD)，BD和CE相交于點(diǎn)P，連接AP．(1)求證：BD=CE；(2)求∠APB，∠DPE的度數(shù)；(3)探索PA，PD，PE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．23．（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BC=BD，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，將△PBC沿BP翻折得△PBQ．(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，請(qǐng)僅用圓規(guī)在圖2中確定點(diǎn)Q的位置（保留作圖痕跡），并證明AQ=CD；(3)連接AQ，DQ，當(dāng)△ADQ是等腰三角形時(shí)，求∠CBP的度數(shù)．24．（12分）在等邊△ABC的兩邊AB,AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M,N,D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=CD．探究：當(dāng)M,N分別在直線AB,AC上移動(dòng)時(shí)，BM,CN,MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M,N在邊AB,AC上，且DM=DN時(shí)，BM,CN,MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)LQ=(2)如圖2，點(diǎn)M,N在邊AB,AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；(3)如圖3，當(dāng)M,N分別在邊AB，CA的延長線上時(shí)，若AN=x，則L=（用x、Q表示）．參考答案一．選擇題1．C【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．據(jù)此解答即可．【詳解】解：A、選項(xiàng)中的漢字不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；B、選項(xiàng)中的漢字不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；C、選項(xiàng)中的漢字是軸對(duì)稱圖形，故符合題意；D、選項(xiàng)中的漢字不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選：C．2．B【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)DE是AC的垂直平分線得DC=DA，繼而得到AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC，可得答案．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DC=DA，∴AD+DB=CD+DB=BC=6cm∴AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC=4+6=10cm∴△ABD周長為10cm故選：B．3．B【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．由△ABC中，∠B=∠C，AD為BC邊上的高，根據(jù)等角對(duì)等邊與三線合一的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：∵∠B=∠C，AD為BC邊上的高，∴AB=AC，∠BAD=∠CAD，BD=CD．無法確定AD=BC．故A、C、D正確，B錯(cuò)誤．故選：B．4．B【分析】本題考查了角平分線的判定，三角形面積公式．設(shè)D到AB和AC的距離分別為?1和?2，先根據(jù)三角形的面積公式得到?1=?2，即點(diǎn)D到AB和【詳解】解：設(shè)D到AB和AC的距離分別為?1和?∵S△ABD∴12∴?1即點(diǎn)D到AB和AC的距離相等，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=1故選：B．5．C【分析】本題考查了正方形、等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，先根據(jù)正方形、等邊三角形的性質(zhì)得出BC=BM=CM，∠CBM=∠BCM=∠BMC=60°，AB=BM=CM=CD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到∠AMB，∠CMD的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=90°，∵△MBC是等邊三角形，∴BC=BM=CM，∠CBM=∠BCM=∠BMC=60°，∴∠ABM=∠DCM=90°?60°=30°，AB=BM=CM=CD，∴∠AMB=12180°?∠ABM∴∠AMD=360°?∠AMB?∠BMC?∠CMD=150°．故選：C6．C【分析】本題主要考查了新定義——“優(yōu)美比”，熟練掌握新定義，等腰三角形定義，三角形的三邊關(guān)系，分類討論，是解決問題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：6?cm為底邊或腰長，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的腰長或底邊，再求優(yōu)美比k【詳解】解：當(dāng)6?cm周長為16?cm，兩腰之和為16?6=10(cm)，則腰長為驗(yàn)證：5+5>6，滿足三角形三邊關(guān)系．∴k=62．當(dāng)6?cm為腰長時(shí)，周長為16底邊長為16?2×6=4(cm驗(yàn)證：6+4>6，滿足三角形三邊關(guān)系．∴k=4綜上，優(yōu)美比k為23或6故選：C．7．C【分析】本題主要考查了30°直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的判定及性質(zhì)，垂線定義．由30°直角三角形的性質(zhì)得BE=2DE=6，由作圖知AD平分∠BAC，∠CAD=∠EAD，進(jìn)而證明AC∥ED，得∠CAD=∠EDA，∠EAD=∠EDA，從而得【詳解】解：∵DE⊥BC，DE=3，∠B=30°，∴BE=2DE=6，由作圖知AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵DE⊥BC，∴∠C=∠EDB=90°，∴AC∥∴∠CAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE=3，∵BE=6，∴AB=9，故選：C．8．C【分析】根據(jù)題意由SAS可證△ABD≌△AEC，得到∠ABD=∠ACE，結(jié)合兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)和等邊對(duì)等角可推出∠ABD=∠BCA=∠ACE=13×180°=60°，從而得到△ABC是等邊三角形，進(jìn)而推出△ADE是等邊三角形，可知∠ADE=60°【詳解】解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE?∠DAC=∠BAC?∠DAC，即∠EAC=∠DAB，∵AB=AC，AE=AD，∴△ABD≌△AECSAS∴∠ABD=∠ACE，∵CE∥∴∠ABD+∠BCE=180°，∴∠ABD+∠BCA+∠ACE=180°，∵AB=AC，∴∠ABD=∠BCA，∴∠ABD=∠BCA=∠ACE=1∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，∵AE=AD，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE=60°，∵∠BAD=28°，∴∠OAD=∠BAC?∠BAD=60°?28°=32°，∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°．故選：C．9．B【分析】分別以A、B為圓心，以AB長為半徑畫圓，確定與y軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此外作AB的垂直平分線，確定與y軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求解．【詳解】解：分別以A、B為圓心，以AB=4長為半徑畫圓，如下圖：此時(shí)與y軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，作AB的垂直平分線，如上圖：此時(shí)與y軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，故選：B10．B【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．①利用SAS證明△ABD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，∠D=∠E，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可判斷②由CG=CA，可得∠CAD=∠CGA，即∠BAC+∠BAD=∠DCG+∠D，即可判斷②正確；③作∠BCG的平分線交AD于點(diǎn)K，可證得△CFK是等邊三角形，得出CF=FK=CK，利用SAS證明△ACF≌△GCK，即可判斷結(jié)論③正確；④由△ABD≌△CAE，可得∠D+∠BAD=∠E+∠ACE=60°．由③得∠HCE=∠E．則EH=CH．可得出GH+BD=BH．即可判斷結(jié)論④錯(cuò)誤．【詳解】解：①∵△ABC∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC．∴∠ABD=∠CAE=120°．在△ABD和△CAE中，AB=AC∠ABD=∠CAE∴△ABD≌△CAESAS∴∠BAD=∠ACE，∠D=∠E．∵∠ACE+∠E=∠BAC=60°，∴∠BAD+∠E=60°．∵∠BAD=∠EAF，∴∠EAF+∠E=60°．∵∠DFC=∠EAF+∠E，∴∠DFC=60°；故①正確．②∵CG=CA∴∠CAD=∠CGA，即∠BAC+∠BAD=∠DCG+∠D．∵∠BAC=∠E+∠ACE，∴∠E+2∠ACE=∠DCG+∠D．∴∠DCG=2∠ACE；故②正確．③如圖，作∠BCG的平分線交AD于點(diǎn)K，則∠DCK=∠GCK=1∵∠DCG=2∠ACE，∴∠DCK=∠GCK=∠ACE．∴∠DCK+∠ACK=∠ACE+∠ACK．即∠ACB=∠ECK=60°．∵∠DFC=60°，∴∠ECK=∠DFC=60°．∴△CFK是等邊三角形．∴CF=FK=CK．在△ACF和△GCK中，CF=CK∴△ACF≌△GCKSAS．∴AF=GK．∴FK?AF=FK?GK．∴CF?AF=GF；故③正確．④∵△ABD≌△CAE∴BD=AE，∠D=∠E，∠BAD=∠ACE．∴∠D+∠BAD=∠E+∠ACE=60°．由③得∠GCK=∠ACE，∠ECK=60°．∴∠GCK+∠HCE=60°．∴∠HCE=∠E．∴EH=CH．∴AH+AE=CG?GH．∴AH+BD=AB?GH．∴GH+BD=AB?AH=BH．∴GH+BD=BH．故④錯(cuò)誤．故正確的有①②③，3個(gè)，故選：B．二．填空題11．2m【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，列代數(shù)式，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)推出MH=MC．過M作MH⊥AB于H，由角平分線的性質(zhì)推出MH=MC=4，于是得到S△ABM【詳解】解：過M作MH⊥AB于H，∵∠BAD=30°,∠CAB=60°，∴∠CAM=60°?30°=30°，∴∠CAM=∠BAM，∴AM平分∠CAB，∵M(jìn)C⊥AC,MH⊥AB，∴MH=MC=4，∴S故答案為：2m．12．7【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC，推出ED是AC的垂直平分線，得到AE=CE，再根據(jù)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，得到AC=3，進(jìn)而得到AB=3，即可求解．【詳解】解：∵在△ACE中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC，∴ED是AC的垂直平分線，∴AE=CE，∵CE=4，∴AE=CE=4，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，CD=3∴AC=2CD=3，∵AB=AC，∴AB=3，∴BE=AB+AE=7．故答案為：7．13．12【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，折疊問題，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)推出DC由折疊的性質(zhì)得到：DC【詳解】解：∵△ABC是邊長為4cm∴AB=AC=BC=4cm由折疊的性質(zhì)得到：DC∴三個(gè)陰影部分的周長的和=AD+DC故答案為：12．14．2【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)知識(shí)是解決此題的關(guān)鍵．由CE⊥BD且CE平分∠BCD，可推出△BCE?△DCE，則可得BC=DC，DE=BE=12BD，由等角對(duì)等邊可知BD=AD【詳解】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCD=∠DCB，∵CE⊥BD，∴∠BEC=∠DEC，∵CE=CE，∴△BCE?△DCEASA∴BC=DC，DE=BE，∵BC=5，AC=9，∴BC=DC=5，∴AD=AC?BC=9?5=4，∵∠ABD=∠A，∴BD=AD=4，∴DE=BE=1故答案為：2．15．80°【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．先證明△BCE是等邊三角形，再求得∠FEC=∠ACB=70°，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接EB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠ABC=∠ACB，AD是線段BC的垂直平分線，∴EB=EC，∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△FEC，∴BC=EC，∠ABC=∠FEC=∠ACB，∴BC=EC=EB，∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC=∠ECB=60°，∠DEC=30°，∵∠ACE=10°，∴∠ABC=∠ACB=10°+60°=70°，∴∠FEC=∠ACB=70°，∴∠AEF=180°?30°?70°=80°，故答案為：80°．16．141°【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．延長AC到點(diǎn)D，使得AD=AB，連接BD,PD，延長AP交BD于點(diǎn)E，證明△ABP≌△ADPSAS，得到∠PDA=∠ABP=9°,PB=PD，進(jìn)一步證明△PDB是等邊三角形，得到∠PBD=60°，則BC平分∠PBD，得到BC垂直平分PD，則PC=CD，得到∠CPD=∠PDC=9°，則∠CPE=∠DPE+∠CPD=39°，即可求出∠APC=180°?∠CPE=141°【詳解】解：延長AC到點(diǎn)D，使得AD=AB，連接BD,PD，延長AP交BD于點(diǎn)E，∵∠PAB=∠PAC=21°．AP=AP，∴△ABP≌△ADPSAS∴∠PDA=∠ABP=9°,PB=PD∵∠BPE=∠PAB+∠PBA=30°,∠DPE=∠PAC+∠ADP=30°，∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=60°∴△PDB是等邊三角形，∴∠PBD=60°，∵∠PBC=30°，∴∠CBD=∠PBD?∠PBC=30°∴BC平分∠PBD，∴BC垂直平分PD，∴PC=CD，∴∠CPD=∠PDC=9°，∴∠CPE=∠DPE+∠CPD=39°，∴∠APC=180°?∠CPE=141°．故答案為141°．三．解答題17．（1）解：如圖所示，△A；∴A′4,0、B′（2）解：S△ABC18．（1）∵DE是AC的垂直平分線，∴DA=DC，∵△ABD的周長是13，∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=13，∴△ABC的周長=AB+BC+AC=13+6=19；（2）在△ABC中，∠B=62°，∠C=36°，∴∠BAC＝180°?∠B?∠C＝82°，∵DA＝DC，∴∠DAC=∠C=36°，∴∠BAD=∠BAC?∠DAC=82°?36°=46°．19．（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60∵DE∥∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°?∠EDC=30°；（2）解：∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4，∵C為DF的中點(diǎn)，∴CF=120．（1）解：∠BPC=1∵∠PCD=∠PBC+∠BPC，∴∠BPC=∠PCD?∠PBC，∵PB,PC分別平分∠ABC,∠ACD，∴∠BPC=1∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠ACD?∠ABC=∠BAC，∴∠BPC=1（2）解：如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥BD于點(diǎn)Q，PR⊥AC于點(diǎn)R，PM⊥BA交BA延長線于點(diǎn)M，∵PB,PC分別是∠ABC,∠ACD的平分線，∴PQ=PM,PQ=PR，∴PR=PM，∴點(diǎn)P在∠CAM的平分線上，即PA平分∠CAM，由（1）得∠BAC=2∠BPC=80°，∴∠CAM=100°，∴∠CAP=121．（1）解：如圖，AF即為所求：（2）證明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD，∴∠AEC=∠ACE，∴AC=AE，又∵AF⊥CE，∴點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，即CF=EF．22．（1）證明：∵△ABC與△ADE都是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD與△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴∠AEC=∠ADB，∵∠ANE=∠DNP，∴∠DPE=∠DAE=60°；∴∠BPE=120°，作AG⊥BD,AH⊥CE，∵△BAD≌△CAE，BD=CE，∴AG=AH，∴PA平分∠BPE，∴∠APB=1（3）解：PE=AP+PD，證明：如圖，在線段PE上截取OE=PD，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，在△AOE與△APD中，OE=PD∠BDA=∠CEA∴△AOE≌△APD，∴AP=AO，∠PAD=∠OAE，∴∠PAO=∠DAE=60°，∴△APO是等邊三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD．23．（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵BC=DB，∴∠C=∠BDC，設(shè)∠ABD=∠CBD=x，則∠ABC=∠C=∠BDC=2x，∴∠A=∠BDC?∠ABD=x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠ABC=2×36°=72°；（2）解：如圖，點(diǎn)Q即為所求；∵AB=AC,BD=BC,∠ABC=72°，∴∠BDC=∠C=∠ABC=72°，連接DQ，∵將△PBC沿BP翻折得△PBQ，∴BC=BQ，∠CBP=∠DBQ=36°，CD=DQ，∠BDC=∠BDQ=72°，∴∠ADQ=180°?72°?72°=36°，∴∠A=∠ADQ，∴AQ=DQ，∴AQ=CD；（