高二數(shù)學(xué)第一次月考試題（使用時(shí)間9月21日）第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.向量a=(2x,1,3)，b=(?1,2y,6)，若a//bA.x=y=1 B.x=14，y=?1

C.x=?14，y=1 2.已知空間向量a=1,2,0,b=(0,?1,1),c=(2,3,m)A.1 B.2 C.3 D.43.已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q在△ABC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若對(duì)于空間中任意一點(diǎn)P，都有PQ=?2PA+5PB+mCPA.0 B.2 C.?1 D.?24.已知空知向量a=(2,?2,?1)，b=(3,0,1)，則向量b在向量a上的投影向量是(

)A.(109,?109,?59)5.如圖，在四面體OABC中，M是棱OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N，P分別是BC，MN的中點(diǎn).設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示OPA.OP=14a+14b+6.已知空間中三點(diǎn)A(?1,0,0)，B(0,1,?1)，C(?2,?1,2)，則點(diǎn)C到直線AB的距離為(

)A.63 B.62 C.7.在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA.15 B.56 C.8.在三棱錐P?ABC中，G為△ABC的重心，PD=λPA,PE=μPB，PF=12PC，λ，μ∈(0,1)，若PG交平面DEFA.12B.2C.1D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。A.兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別為n1=(2,?1,0)，n2=(?4,2,0)，則α//β

B.若直線l的方向向量a=(0,2,?1)，平面α的一個(gè)法向量n=(2,1,2)，則l⊥α

C.已知a=(?1,1,2)，b=(0,2,3)，若ka+b與2a?b垂直，則實(shí)數(shù)k=?34

D.已知A，10.空間直角坐標(biāo)系中，已知O0,0,0，OA=?1,2,1，OB=?1,2,?1，A.|AB|=2

B.?ABC是直角三角形

C.與OA平行的單位向量的坐標(biāo)為6611.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是DD1的中點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)

A.直線B1C//平面A1BD

B.B1C⊥BD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若空間向量a=(1,1,x)，b=(2,x,4)，向量a、b夾角為銳角，則x的取值范圍是

13.直線l的方向向量是s=(1,1,1)，平面α的法向量n=(1,x2?x,?x)，若直線l//平面α14.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q分別是CC1，BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足D1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知點(diǎn)A1,2,?1，B2,k,?3，C0,5,1(1)若AB→⊥a(2)求向量AC在向量a方向上的投影向量．16.(本小題15分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1(1)試用a,b,(2)若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=17.(本小題15分)如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC將△ADC折起，點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，使點(diǎn)P在平面ABC的射影H落在邊AB上.(1)證明：PA⊥BC；(2)求點(diǎn)B到平面PAC的距離；(3)若CM=2MP，求直線AC與平面AMB18.(本小題17分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，側(cè)棱DD1⊥平面ABCD，DD1=3．

(1)求二面角B?D1C?D的余弦值．

(2)設(shè)E是19.(本小題17分)

如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE．

(1)證明：平面ADE⊥平面ACD；

(2)在棱BC上是否存在一點(diǎn)G，使得直線FG與平面BCDE所成的角最大？若存在，求BG的長(zhǎng)度，若不存在，說明理由．

答案和解析1.【答案】C

解：因?yàn)閍/?/b，a=(2x,1,3)，b=(?1,2y,6)，由題意知y≠0，所以2x?1=2.【答案】A

解：因?yàn)閍=1,2,0,b=(0,?1,1)不共線，a,b所以x=22x?y=3y=m，解得x=2y=13.【答案】B

解：由題可得PQ=?2PA+5PB?mPC．又動(dòng)點(diǎn)Q在△ABC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以4.【答案】A

解：∵向量a=(2,?2,?1)，b=(3,0,1)，

∴a?b=2×3+(?2)×0+(?1)×1=5，a=3，

∴向量b在向量a上的投影向量為a·ba·aa=53·a3=59a=109,?109,?59解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，

∴A(1,0,0)，D1(0,0,3)，D(0,0,0)，B1(1,1,3)，AD1=(?1,0,3解：G為△ABC的重心，

則PG=PA+AG=PA+23×12(AB+AC)=PA+13(AP+PB+AP+9.【答案】ACD

解：∵n1=(2,?1,0)，n2=(?4,2,0)=?2n1，

∴n1和n2共線，∴α//β，故A正確；

對(duì)于B，若l⊥α，則a//n，

∴存在實(shí)數(shù)λ，使得(2,1,2)=λ(0,2,?1)，無(wú)解，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C.由題意可得的ka+b=(?k,k+2,2k+3)，2a?b=(?2,0,1)，

若ka+b與2a?b垂直，

則(ka+b)?(2a?b)=2k+2k+3=010.【答案】ABD

解：因?yàn)?/p>

OA=?1,2,1所以

AB=OB?OA=0,0,?2

，所以又因?yàn)?/p>

OC=2,3,?1

，所以

BC所以

AB?BC=0

，所以

?ABC

因?yàn)?/p>

|OA|=1+4+1=6

，所以與

OA

假設(shè)

OA

，

OB

，

OC

共面，則存在唯一的有序數(shù)對(duì)

x,y

使

OA=xOB即

(?1,2,1)=x(?1,2,?1)+y(2,3,?1)=(?x+2y,2x+3y,?x?y)

，所以

?1=?x+2y2=2x+3y1=?x?y

，此方程組無(wú)解，故

OA

，

OB

，

OC故可作為空間一組基底，選項(xiàng)D正確．11.【答案】AB

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，E(0,1,12)，

所以B1C=(0,1,?1)，BD1=(?1,1,1)，BD=(?1,1,0)，BA1=(?1,0,1)．

對(duì)于A，設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z)，則

n?BA1=0,n?BD=0,即?x+z=0,?x+y=0,取n=(1,1,1)，

則n?B1C=1×0+1×1+1×(?1)=0，即n⊥B1C，

又直線B1C?平面A1BD，

所以直線B1C/?/平面A1BD，故A正確;

12.【答案】?2解：因?yàn)橄蛄縜=(1,1,x)，b=(2,x,4)，且a、所以a?b>0且a當(dāng)a?b>0時(shí)，則1×2+x+4x>0當(dāng)a與b同向時(shí)，則a=tb(t>0)，即2t=1tx=14t=x，解得t=12x=2,

則a與b不同向時(shí)，x≠2故答案為：?13.【答案】1

解：線面平行時(shí)，直線的方向向量垂直于平面的法向量，即有s·n=0，

故s14.【答案】54【解析】解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則則DD則DM=故PM=因?yàn)锳Q⊥PM，所以，解得m=故答案為：5415.【答案】解：(1)由題意，AB=1,k?2,?2，a=所以AB?a=0，即?3+4k?8?10=0(2)由題意，AC=(?1,3,2)，a所以向量AC在向量上a上的投影向量為：(AC16.【答案】解：(1)∵BM=2A1M，C1N=2∴MN(2)a→+b→+c→217.【答案】解：(1)證明：由點(diǎn)P在平面ABC的射影H落在邊AB上可得PH⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以PH⊥BC，又BC⊥AB，且AB?平面PAB,PH?平面PAB,AB∩PH=H，所以BC⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以BC⊥PA．(2)過點(diǎn)B作BE⊥PC，垂足為E，由已知得PA⊥PC，

又BC⊥PA，且BC?平面PBC,PC?平面PBC,BC∩PC=C，所以PA⊥平面PBC，又PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，又BE?平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC,BE⊥PC，所以BE⊥平面PAC，BE即為點(diǎn)B到平面PAC的距離，在直角三角形PBC中，BC=3,PC=4，所以PB=故點(diǎn)B到平面PAC的距離為3(3)在直角三角形PAB中可得，PH=37分別以BC,BA所在直線為x軸，y軸，以過點(diǎn)B且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，B0,0,0,A0,4,0,P所以CM=23易知BA=設(shè)平面AMB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)所以BA?n=4y=0BM?又直線AC的一個(gè)方向向量為a=(?3,4,0)，

設(shè)直線AC與平面AMB所成的角為θ所以sin?θ=|故直線AC與平面AMB所成角的正弦值為3

18.【答案】解：(1)由題意，△ADB是正三角形，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，連接DM，則DM⊥AB，

所以DM⊥DC．

由DD1⊥平面ABCD，得DD1⊥DM，DD1⊥DC，即DD1，DM，DC兩兩垂直．

如圖，以DM，DC，DD1的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．

則D(0,0,0)，D1(0,0,3)，C(0,2,0)，B(3,1,0)．

顯然，平面D1CD的一個(gè)法向量是m=(1,0,0)．

設(shè)平面BD1C的法向量為n=(x,y,z)，

則n?BC=?3x+y=0,n?BD1=?3x?y+3z=0,

令x=3，得n=(3,3,2)．

設(shè)二面角B?D1C?D的平面角為θ.由圖可知θ為銳角，

則cosθ=|m?n||m|n=31×3+9+4=34．

故二面角B?D1C?D的余弦值為34．

(2)設(shè)D19.【答案】(1)證明：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，

則△ABD為等邊三角形，

因?yàn)辄c(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

所以DE⊥AB，又AB/?/CD，所以DE⊥CD，

因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，DE⊥CD，CD?平面BCDE，

所以CD⊥平面ADE，

又CD?平面ACD，

所以平面ADE⊥平面ACD；

(2)解：因?yàn)锳E⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，AE?平面ADE，

所以AE⊥平面BCDE，