專(zhuān)題3.1勾股定理的探究基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)知識(shí)點(diǎn)01勾股定理的發(fā)現(xiàn)1.勾股定理：文字語(yǔ)言：如圖，直角三角形兩直角邊的等于斜邊的。符號(hào)語(yǔ)言：如圖，在中，，則：。注意：勾股定理的使用條件：必須是，其他三角形不能使用！且要確定好哪條邊是。2.勾股定理的運(yùn)用：①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求；②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的；③在網(wǎng)格中繪制長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的；④解決一些生活實(shí)際問(wèn)題：梯子問(wèn)題、面積問(wèn)題等；⑤解決空間幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題，解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的證明1.勾股定理的證明方法：勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是法。圖1：趙爽弦圖證法；圖2：畢達(dá)哥拉斯證法；圖3：總統(tǒng)證法；圖4：其他面積證法；圖1圖2圖3圖42.用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：①圖形經(jīng)過(guò)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積；②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出。典型案例探究知識(shí)點(diǎn)01勾股定理的發(fā)現(xiàn)例1．（25-26八年級(jí)上·廣東隨堂練習(xí)）在中，，，則的長(zhǎng)是（）A．17 B．或13 C．17或 D．13或17【變式1】（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【變式2】（24-25八年級(jí)下·天津西青·期末）如圖，要在門(mén)上方的墻上點(diǎn)處裝一個(gè)由傳感器控制的燈，點(diǎn)離地面，任何東西只要移至該燈及內(nèi)范圍，燈就自動(dòng)發(fā)光．已知小軍身高，若他走到處燈剛好發(fā)光，則他離墻的水平距離是（

）A． B． C． D．2m【變式3】（24-25八年級(jí)下·陜西銅川·階段練習(xí)）如圖，在中，，分別以，為邊作正方形．若，則正方形和正方形的面積和為（

）A．64 B．36 C．12 D．6【變式4】（24-25八年級(jí)下·遼寧盤(pán)錦·階段練習(xí)）如圖，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外作正方形、半圓、等邊三角形、半圓，這四個(gè)圖形中，，之間的關(guān)系滿(mǎn)足的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式5】（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)．所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長(zhǎng)為，則正方形、、、的面積的和是．知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的證明例1．（2025八年級(jí)下·河南·專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．古代印度、希臘、阿拉伯等許多國(guó)家也都很重視對(duì)勾股定理的研究和應(yīng)用．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1】（24-25八年級(jí)下·安徽亳州·期末）【問(wèn)題提出】勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱(chēng)為“幾何學(xué)的基石”．（1）在我國(guó)最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為，，斜邊為）拼成，用它可以驗(yàn)證勾股定理；（2）圖2為美國(guó)第二十任總統(tǒng)加菲爾德的“總統(tǒng)證法”，它用兩個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為，，斜邊為）和直角邊為的等腰直角三角形拼成一個(gè)直角梯形，用它也可以驗(yàn)證勾股定理【問(wèn)題解決】（1）在直角三角形中，直角邊分別為，，斜邊為，從上述兩種方法中，任選一種方法證明勾股定理；（2）勾股定理的驗(yàn)證過(guò)程體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想是（

）；A．函數(shù)思想

B．整體思想

C．分類(lèi)討論思想

D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想【知識(shí)應(yīng)用】（3）如圖3，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)，，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)（，，在同一條直線上），并新修一條路，現(xiàn)測(cè)得千米，千米，千米，為最大限度節(jié)省鋪路的費(fèi)用（保證質(zhì)量的前提下），求新修路的長(zhǎng)．【變式2】（24-25九年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱(chēng)該圖為“趙爽弦圖”．如圖，“趙爽弦圖”是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案．如果該大正方形面積為49，小正方形面積為4，用，表示直角三角形的兩直角邊（），下列三個(gè)推斷：①；②；③．其中所有正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3課后作業(yè)A一、單選題1．直角三角形的周長(zhǎng)為，斜邊上的中線長(zhǎng)為1，則它的面積是（

）A．1 B． C． D． E．22．等腰三角形的腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為，它的底邊上的高線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．如圖，是第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)標(biāo)，數(shù)學(xué)元素?zé)o處不在，畫(huà)面非常幾何化，主畫(huà)面由圓和螺線組成，呈中心對(duì)稱(chēng)，其中的“弦圖”也是中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的徽標(biāo)，充分展示了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的燦爛，利用“弦圖”所證明的數(shù)學(xué)定理是（

）A．三角形內(nèi)角和定理 B．垂徑定理 C．正弦定理 D．勾股定理4．如圖，射線在的內(nèi)部，且，點(diǎn)P在上，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．若，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題5．如圖，在中，是邊上的中線，則的長(zhǎng)為．6．如圖，在中，是邊的中線，于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)是．7．如圖是一個(gè)外輪廓為長(zhǎng)方形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：），可以計(jì)算出兩孔中心B和C的距離為．8．圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME—7）的會(huì)徽?qǐng)D案．如圖2所示，如果，那么的長(zhǎng)為．三、解答題9．如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．10．如圖，在Rt中，的垂直平分線分別交于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．11．如圖，商場(chǎng)和超市都在筆直的街道上，小明家在街道外的處，已知小明家到商場(chǎng)的距離為1300米，到超市的距離為500米，且，則商場(chǎng)到超市的距離為多少米？12．如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊為，現(xiàn)將直角邊沿的角平分線折疊，使它落在斜邊上，且與重合，你能求出的長(zhǎng)嗎？B一、單選題1．如圖所示，四邊形中，為等邊三角形，，，，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．5 C． D．4 E．32．如圖，在中，，則邊上的高為（

）A．0.6 B． C．1.2 D．3．如圖，在中，，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，，且，那么的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．某研究院承擔(dān)了當(dāng)?shù)厣襟w隧道的設(shè)計(jì)工作，為了得到A，B兩點(diǎn)之間的距離，測(cè)得山體附近地形數(shù)據(jù)簡(jiǎn)圖如圖所示（此為山體從上往下看得到的圖形，圖中測(cè)量線拐點(diǎn)處均為直角），則隧道的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．二、填空題5．如圖，在中，，，，的垂直平分線分別交、于、兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．6．如圖，在中，，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)，，連接交邊于點(diǎn)，連接．若，則．7．如圖，在中，，分別以為直徑向外作半圓，半圓的面積分別記為，則的值為．（結(jié)果保留）8．如圖，這是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為．若，則的值是．三、解答題9．如圖，，，E是上的一點(diǎn)，且，．(1)是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．10．如圖，中，，，．(1)求的面積；(2)設(shè)點(diǎn)在上，若，求的長(zhǎng)；(3)設(shè)點(diǎn)在上，若為等腰三角形，求的長(zhǎng)．11．如圖，某辦公大樓正前方有一根高度為米的旗桿，從辦公樓頂端測(cè)得旗桿頂端的俯角是，旗桿底端到大樓前石階梯底邊沿的距離是米，石階梯坡長(zhǎng)是米，石階梯坡與水平地面成角，求：(1)大樓與旗桿的水平距離；(2)大樓的高度．12．（教材母題變式）如圖①，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，斜邊長(zhǎng)為．(1)用四個(gè)這樣的直角三角形拼成一大一小兩個(gè)正方形（如圖②）．①大正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______，小正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______；②大正方形的面積可以表示為_(kāi)_______，也可以表示為_(kāi)_______；③觀察兩種表示方法，可得出________，整理得________，從而驗(yàn)證勾股定理；(2)將兩個(gè)這樣的直角三角形按圖③所示擺放，使和在一條直線上，連接．請(qǐng)你類(lèi)比（1）中的方法用圖③驗(yàn)證勾股定理．C1．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為10，寬為5，高為24，點(diǎn)B為棱上一點(diǎn)，且，如果螞蟻要沿長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，求螞蟻爬行的最短路程是多少．2．如圖所示的遮陽(yáng)傘，其示意圖如圖，傘柄垂直于水平地面，傘圈能沿著傘柄滑動(dòng)，傘骨cm，，分別是傘骨上兩個(gè)定點(diǎn)．當(dāng)傘完全撐開(kāi)后，點(diǎn)，，在同一條直線上且平行于地面，此時(shí)cm．兩個(gè)身體寬度cm的人共撐這把傘并排站立，兩人之間間隔cm，問(wèn)他們是否會(huì)被垂直滴下的雨水淋到？3．閱讀嘉琪的數(shù)學(xué)日記，思考并解決問(wèn)題．2024年9月6日

星期五

天氣：晴從勾股定理到面積關(guān)系的思考經(jīng)過(guò)《探索勾股定理》一節(jié)的學(xué)習(xí)，我已經(jīng)知道：如圖1，分別以直角三角形的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用，，表示，則根據(jù)勾股定理，易得出，，之間的數(shù)量關(guān)系：________．如果將正方形改成其他圖形，那么這個(gè)面積關(guān)系是否仍然成立呢？對(duì)此，我展開(kāi)了探究：如圖2，分別以直角三角形的三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用、、表示，我發(fā)現(xiàn)，、、之間有如下數(shù)量關(guān)系：________．理由如下：