2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫——模型構(gòu)建與決策實(shí)施題型解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，樣本量越大，估計(jì)的置信區(qū)間通常會(huì)發(fā)生什么變化？A.變寬B.變窄C.不變D.可能變寬也可能變窄2.假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤是指什么？A.接受了真實(shí)為假的假設(shè)B.拒絕了真實(shí)為假的假設(shè)C.接受了真實(shí)為真的假設(shè)D.拒絕了真實(shí)為真的假設(shè)3.在簡單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，β?的經(jīng)濟(jì)含義通常是什么？A.Y的截距B.X對Y的影響程度C.X的方差D.模型的標(biāo)準(zhǔn)誤差4.進(jìn)行方差分析（ANOVA）的主要目的是什么？A.檢驗(yàn)總體均值是否相等B.檢驗(yàn)總體方差是否相等C.檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系D.估計(jì)總體參數(shù)5.時(shí)間序列模型ARIMA(p,d,q)中，參數(shù)d通常代表什么？A.自回歸項(xiàng)數(shù)B.差分次數(shù)C.滑動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)D.時(shí)間序列的階數(shù)6.在回歸分析中，如果發(fā)現(xiàn)殘差圖中存在明顯的系統(tǒng)性模式，這通常意味著什么？A.模型擬合良好B.模型存在異方差性C.模型存在多重共線性D.數(shù)據(jù)存在異常值7.以下哪種統(tǒng)計(jì)方法主要用于檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)性？A.t檢驗(yàn)B.方差分析C.相關(guān)系數(shù)D.卡方檢驗(yàn)8.在模型診斷中，檢驗(yàn)是否存在多重共線性，常用的指標(biāo)是什么？A.R2B.F統(tǒng)計(jì)量C.VIF（方差膨脹因子）D.標(biāo)準(zhǔn)誤差9.根據(jù)模型預(yù)測結(jié)果，計(jì)算出未來銷售額的95%置信區(qū)間，這意味著什么？A.未來實(shí)際銷售額有95%的可能性落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)B.模型有95%的概率是正確的C.如果重復(fù)抽樣，95%的置信區(qū)間會(huì)包含真實(shí)的銷售額均值D.這個(gè)區(qū)間包含了95%的樣本數(shù)據(jù)10.在將統(tǒng)計(jì)模型結(jié)果用于決策實(shí)施時(shí)，最重要的考慮因素是什么？A.模型的復(fù)雜程度B.模型的統(tǒng)計(jì)顯著性C.模型結(jié)果對實(shí)際業(yè)務(wù)的潛在影響和可行性D.模型的計(jì)算效率二、計(jì)算題1.某公司隨機(jī)抽取了15名員工，記錄了他們的月工作經(jīng)驗(yàn)（年）和月工資（元），計(jì)算得到樣本均值工作經(jīng)驗(yàn)為5年，樣本均工資為8000元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差工作經(jīng)驗(yàn)為2年，樣本標(biāo)準(zhǔn)差工資為1200元，樣本相關(guān)系數(shù)為0.6。假設(shè)月工資與工作經(jīng)驗(yàn)呈線性關(guān)系，請計(jì)算：(1)簡單線性回歸方程（Y對X）。(2)當(dāng)某員工有8年工作經(jīng)驗(yàn)時(shí)，預(yù)測其月工資的點(diǎn)估計(jì)值。2.某工廠想要比較三種不同生產(chǎn)方法對產(chǎn)品合格率的影響，隨機(jī)抽取了30件產(chǎn)品，分為三組（每組10件），分別采用三種方法生產(chǎn)，記錄合格產(chǎn)品數(shù)量如下：方法A：8,7,9,6,8,7,9,8,7,8；方法B：5,6,4,7,5,6,5,7,6,5；方法C：9,10,11,8,9,10,11,9,10,12。請進(jìn)行方差分析，檢驗(yàn)三種生產(chǎn)方法的合格率是否存在顯著差異。（假設(shè)滿足ANOVA的基本假設(shè)）3.抽樣調(diào)查了100名消費(fèi)者對某品牌產(chǎn)品的滿意度（分為“滿意”、“一般”、“不滿意”三個(gè)等級），其中“滿意”的有60人，“一般”的有30人，“不滿意”的有10人。請檢驗(yàn)消費(fèi)者對品牌的滿意度是否與性別（男/女）存在關(guān)聯(lián)性。（假設(shè)數(shù)據(jù)如下：男性50人，其中滿意20人，一般15人，不滿意15人；女性50人，其中滿意40人，一般15人，不滿意5人）4.某零售商記錄了連續(xù)20周某種產(chǎn)品的銷售額數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)上升趨勢且存在季節(jié)性波動(dòng)。經(jīng)過一階差分后，數(shù)據(jù)近似滿足平穩(wěn)性。請說明如何選擇合適的ARIMA模型來擬合該時(shí)間序列，并簡述選擇過程中需要考慮的關(guān)鍵因素。三、簡答題1.簡述假設(shè)檢驗(yàn)中顯著性水平α的含義。如果α=0.05，意味著什么？2.解釋回歸分析中多重共線性問題的定義及其可能帶來的后果。3.在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模時(shí)，選擇模型的基本原則有哪些？四、分析題某快消品公司希望了解其線上廣告投放方式（方式A：社交媒體廣告；方式B：搜索引擎廣告）對新產(chǎn)品銷量的影響，并希望基于歷史數(shù)據(jù)預(yù)測未來一個(gè)月的銷量。公司收集了過去12個(gè)月的月銷量數(shù)據(jù)（單位：萬件）以及當(dāng)月投入的兩種廣告費(fèi)用（單位：萬元）。數(shù)據(jù)如下（僅為示例，非真實(shí)數(shù)據(jù)）：月份1至12的銷量分別為：5,6,7,6,8,9,10,11,10,12,11,13；當(dāng)月社交媒體廣告費(fèi)用分別為：2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,4,6；當(dāng)月搜索引擎廣告費(fèi)用分別為：1,2,1,2,2,3,2,3,3,4,3,4。請根據(jù)上述信息，構(gòu)建一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型來分析廣告費(fèi)用對銷量的影響，并預(yù)測未來一個(gè)月（假設(shè)社交媒體廣告費(fèi)用投入4萬元，搜索引擎廣告費(fèi)用投入3萬元）新產(chǎn)品的銷量。在進(jìn)行分析和預(yù)測時(shí)，請說明你的模型選擇理由、關(guān)鍵步驟和結(jié)果解讀，并簡要提出該公司應(yīng)如何根據(jù)分析結(jié)果調(diào)整廣告策略的建議。試卷答案一、選擇題1.B2.A3.B4.A5.B6.B7.D8.C9.C10.C二、計(jì)算題1.(1)設(shè)月工資為Y，工作經(jīng)驗(yàn)為X，回歸方程為Y=β?+β?Xβ?=r*(sY/sX)=0.6*(1200/2)=360β?=Y?-β?X?=8000-360*5=4600回歸方程為：Y?=4600+360X(2)預(yù)測值?=4600+360*8=8280元2.(1)計(jì)算各方法樣本均值：A=7.8,B=5.6,C=10.2(2)計(jì)算總體均值和各組平方和：GrandMean=7.8,SSbetween=10*(7.8^2+5.6^2+10.2^2)-30*7.8^2=294.88-194.04=100.84(3)計(jì)算組內(nèi)平方和：SStotal=(8^2+7^2+...+12^2)-30*7.8^2=2496-194.04=2305.96SSw=SStotal-SSbetween=2305.96-100.84=2205.12(4)計(jì)算均方：MSbetween=SSbetween/(k-1)=100.84/2=50.42MSwithin=SSw/(n-k)=2205.12/27≈81.90(5)計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：F=MSbetween/MSwithin=50.42/81.90≈0.615(6)查F分布表或使用軟件，得到p值（假設(shè)df1=2,df2=27，顯著水平α=0.05時(shí)，臨界值約3.35）。由于計(jì)算得到的F值0.615遠(yuǎn)小于臨界值，且p值大于0.05。結(jié)論：沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，即三種生產(chǎn)方法的合格率沒有顯著差異。3.(1)列聯(lián)表：||滿意|一般|不滿意|合計(jì)||---------|------|------|-------|------||男性|20|15|15|50||女性|40|15|5|50||合計(jì)|60|30|20|100|(2)計(jì)算期望頻數(shù)：E11=(50*60)/100=30,E12=(50*30)/100=15,E13=(50*20)/100=10E21=(50*60)/100=30,E22=(50*30)/100=15,E23=(50*20)/100=10(3)計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量：χ2=Σ((O-E)2/E)=((20-30)2/30)+((15-15)2/15)+((15-10)2/10)+((40-30)2/30)+((15-15)2/15)+((5-10)2/10)χ2=(400/30)+(0/15)+(25/10)+(100/30)+(0/15)+(25/10)=13.33+2.5+8.33=24.16(4)查卡方分布表，df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)=2，顯著水平α=0.05時(shí)，臨界值約5.991。由于計(jì)算得到的χ2值24.16遠(yuǎn)大于臨界值，且p值小于0.05。結(jié)論：有足夠的證據(jù)認(rèn)為消費(fèi)者對品牌的滿意度與性別存在關(guān)聯(lián)性。4.(1)選擇ARIMA模型的一般步驟：a.分析時(shí)間序列數(shù)據(jù)的圖形，觀察趨勢、季節(jié)性和周期性。b.對數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，直到數(shù)據(jù)達(dá)到平穩(wěn)性（即均值和方差穩(wěn)定，無趨勢和季節(jié)性）。c.對平穩(wěn)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖分析，以識別自回歸項(xiàng)數(shù)p和滑動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)q。d.選擇最合適的ARIMA(p,d,q)模型，通?；贏IC或BIC等信息準(zhǔn)則，并進(jìn)行模型診斷（如殘差白噪聲檢驗(yàn)）。(2)對于本例，數(shù)據(jù)一階差分后平穩(wěn)，需要通過ACF和PACF圖來確定p和q。假設(shè)ACF呈現(xiàn)拖尾，PACF在滯后1處截尾，則模型選擇ARIMA(1,1,0)。若ACF和PACF均拖尾，則可能需要ARIMA(1,1,1)或其他更復(fù)雜模型。選擇時(shí)需考慮模型簡潔性、擬合優(yōu)度和預(yù)測能力。三、簡答題1.顯著性水平α是研究者愿意承擔(dān)的犯第一類錯(cuò)誤（即拒絕了一個(gè)實(shí)際上為真的原假設(shè)）的最大概率。α=0.05意味著在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)是真的，那么平均每100次檢驗(yàn)中，錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)的次數(shù)不超過5次。它設(shè)定了判斷“統(tǒng)計(jì)顯著”的標(biāo)準(zhǔn)閾值。2.多重共線性是指回歸模型中兩個(gè)或多個(gè)自變量之間存在高度線性相關(guān)的關(guān)系。后果包括：①回歸系數(shù)估計(jì)值的方差增大，導(dǎo)致系數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確，置信區(qū)間變寬；②回歸系數(shù)的符號可能與預(yù)期相反或變得不穩(wěn)定，難以解釋單個(gè)自變量對因變量的獨(dú)立影響；③模型的預(yù)測能力可能下降；④模型檢驗(yàn)（如F檢驗(yàn)）可能失效。3.選擇模型的基本原則：①明確研究目的和問題；②數(shù)據(jù)質(zhì)量要高，符合模型假設(shè)；③模型應(yīng)盡可能簡潔（遵循奧卡姆剃刀原則）；④模型具有良好的擬合優(yōu)度（如較高的R2）；⑤模型結(jié)果應(yīng)具有合理的經(jīng)濟(jì)或業(yè)務(wù)解釋；⑥模型應(yīng)具有良好的預(yù)測能力；⑦考慮模型的穩(wěn)健性。四、分析題(1)模型選擇與構(gòu)建：假設(shè)銷量Y對兩個(gè)廣告費(fèi)用X?（社交媒體）和X?（搜索引擎）呈線性關(guān)系，選擇多元線性回歸模型：Y=β?+β?X?+β?X?+ε。(2)數(shù)據(jù)整理與計(jì)算（假設(shè)使用統(tǒng)計(jì)軟件完成）：輸入數(shù)據(jù)，進(jìn)行多元線性回歸分析。得到模型輸出結(jié)果（此處假設(shè)結(jié)果如下，非真實(shí)計(jì)算）：模型：Sales=3.5+1.8*SocialMedia+0.9*SearchEngineR2=0.85,Adj.R2=0.83,F統(tǒng)計(jì)量=45.2(p<0.01),標(biāo)準(zhǔn)誤差=1.2。系數(shù)檢驗(yàn)：β?(社交媒體費(fèi)用)的p值=0.03(顯著)，β?(搜索引擎費(fèi)用)的p值=0.15(不顯著)。模型診斷（假設(shè)殘差分析通過，滿足基本假設(shè)）。(3)結(jié)果解讀：模型解釋了銷量變異的85%以上（R2=0.85），在統(tǒng)計(jì)上顯著（F檢驗(yàn)p<0.01）。社交媒體廣告費(fèi)用每增加1萬元，銷量預(yù)計(jì)平均增加1.8萬件（β?=1.8，p=0.03），其影響在統(tǒng)計(jì)上顯著。搜索引擎廣告費(fèi)用對銷量的影響不顯著（β?=0.9，p=0.15），在當(dāng)前模型中，該變量可能不是銷量的有效預(yù)測因子。(4)預(yù)測：當(dāng)未來一個(gè)月社交媒體廣告費(fèi)用投入4萬元，搜索引擎廣告費(fèi)用投入3萬元時(shí)