分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型：理論、應(yīng)用與實(shí)證研究一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代金融市場(chǎng)中，期權(quán)作為一種重要的金融衍生工具，以其獨(dú)特的非線性損益結(jié)構(gòu)，在風(fēng)險(xiǎn)管理、投資策略制定以及資產(chǎn)定價(jià)等方面發(fā)揮著舉足輕重的作用。期權(quán)定價(jià)，作為金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的核心問(wèn)題之一，旨在確定期權(quán)合約在不同市場(chǎng)條件下的合理價(jià)值，其重要性不言而喻。從投資決策角度來(lái)看，準(zhǔn)確的期權(quán)定價(jià)為投資者提供了評(píng)估投資機(jī)會(huì)風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)鍵依據(jù)。投資者可依據(jù)期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算出的理論價(jià)格，與市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格進(jìn)行比對(duì)，從而判斷是否存在投資獲利空間。當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格低于理論價(jià)格時(shí)，投資者可買(mǎi)入期權(quán)以獲取潛在收益；反之，若市場(chǎng)價(jià)格高于理論價(jià)格，則可考慮賣(mài)出期權(quán)。同時(shí)，期權(quán)定價(jià)有助于投資者優(yōu)化投資組合，通過(guò)合理配置期權(quán)與其他資產(chǎn)，調(diào)整投資組合的風(fēng)險(xiǎn)敞口，實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)與收益的平衡。對(duì)于金融機(jī)構(gòu)而言，期權(quán)定價(jià)是風(fēng)險(xiǎn)管理的重要工具。金融機(jī)構(gòu)在進(jìn)行資產(chǎn)配置和風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖時(shí)，需要準(zhǔn)確評(píng)估期權(quán)的價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)。以銀行開(kāi)展的期權(quán)業(yè)務(wù)為例，若不能準(zhǔn)確對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，可能會(huì)導(dǎo)致在風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖過(guò)程中出現(xiàn)漏洞，進(jìn)而面臨潛在的巨大損失。通過(guò)合理的期權(quán)定價(jià)，金融機(jī)構(gòu)能夠更有效地管理市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，降低潛在損失，保障自身的穩(wěn)健運(yùn)營(yíng)。此外，期權(quán)定價(jià)對(duì)于維持金融市場(chǎng)的公平和效率意義重大。合理的定價(jià)能夠確保市場(chǎng)交易的公平性，減少信息不對(duì)稱(chēng)帶來(lái)的影響，促進(jìn)市場(chǎng)的健康發(fā)展。若期權(quán)定價(jià)不合理，可能引發(fā)市場(chǎng)的價(jià)格扭曲，導(dǎo)致資源配置效率低下，影響市場(chǎng)的正常運(yùn)行。美式看跌期權(quán)作為期權(quán)的一種重要類(lèi)型，賦予持有者在期權(quán)到期日之前的任何時(shí)間，以執(zhí)行價(jià)格向期權(quán)賣(mài)方賣(mài)出一定數(shù)量標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。這種隨時(shí)可行權(quán)的特性，使得美式看跌期權(quán)在應(yīng)對(duì)市場(chǎng)不確定性和突發(fā)情況時(shí)，展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，為投資者提供了更為靈活的風(fēng)險(xiǎn)管理和投資策略選擇。例如，當(dāng)投資者持有某種資產(chǎn)并預(yù)期其價(jià)格可能下跌時(shí)，可以購(gòu)買(mǎi)美式看跌期權(quán)來(lái)對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。如果資產(chǎn)價(jià)格真的下跌，通過(guò)行使看跌期權(quán)，可以以預(yù)定的價(jià)格賣(mài)出資產(chǎn)，從而減少損失。而分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型，在傳統(tǒng)美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)上，引入了分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)等概念，能夠更準(zhǔn)確地刻畫(huà)金融市場(chǎng)中資產(chǎn)價(jià)格的復(fù)雜波動(dòng)特征。相較于傳統(tǒng)模型假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)考慮了資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性和自相似性等特性，這使得分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型能夠更好地貼合實(shí)際金融市場(chǎng)情況，為期權(quán)定價(jià)提供更為精確的結(jié)果。在實(shí)際金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)并非完全符合傳統(tǒng)模型的假設(shè)，往往存在著復(fù)雜的相關(guān)性和記憶性。例如，股票市場(chǎng)中的價(jià)格波動(dòng)，在某些時(shí)期可能會(huì)出現(xiàn)連續(xù)的上漲或下跌趨勢(shì)，這種趨勢(shì)并非隨機(jī)波動(dòng)，而是具有一定的記憶性。傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型難以準(zhǔn)確描述這種現(xiàn)象，而分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型則能夠通過(guò)分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)，捕捉到資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的這些特征，從而更準(zhǔn)確地對(duì)美式看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的研究，不僅能夠豐富和完善期權(quán)定價(jià)理論體系，為金融市場(chǎng)參與者提供更為準(zhǔn)確的定價(jià)工具，還能為風(fēng)險(xiǎn)管理、投資決策等實(shí)際應(yīng)用提供有力支持，具有重要的理論意義和實(shí)踐價(jià)值。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀期權(quán)定價(jià)理論的發(fā)展歷程豐富且多元。早期，學(xué)者們圍繞期權(quán)定價(jià)展開(kāi)了初步探索。1900年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Bachelier在其博士論文《投機(jī)理論》中，開(kāi)創(chuàng)性地運(yùn)用布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格的波動(dòng)，提出了期權(quán)定價(jià)的早期理論，這一理論為后續(xù)研究奠定了重要基礎(chǔ)，開(kāi)啟了從數(shù)學(xué)角度研究期權(quán)定價(jià)的先河。1973年，Black和Scholes發(fā)表了著名的論文《期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債》，提出了Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型。該模型假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，且在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定、市場(chǎng)無(wú)摩擦等一系列嚴(yán)格假設(shè)條件下，通過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出了歐式期權(quán)的定價(jià)公式。這一模型的誕生，在金融領(lǐng)域引發(fā)了巨大的變革，使得期權(quán)定價(jià)有了精確的數(shù)學(xué)表達(dá)，極大地推動(dòng)了期權(quán)市場(chǎng)的發(fā)展，成為期權(quán)定價(jià)理論的經(jīng)典之作。同年，Merton在《理性期權(quán)定價(jià)理論》一文中，對(duì)Black-Scholes模型進(jìn)行了拓展和完善，考慮了股利支付等因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，進(jìn)一步豐富了期權(quán)定價(jià)理論體系。隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展和研究的深入，傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型逐漸暴露出局限性。在實(shí)際金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)并非完全符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，存在長(zhǎng)記憶性、自相似性以及跳躍等復(fù)雜特征。為了更準(zhǔn)確地刻畫(huà)資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)，學(xué)者們開(kāi)始引入新的數(shù)學(xué)工具和理論，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)便是其中之一。在國(guó)外，眾多學(xué)者在分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的研究方面取得了顯著成果。Benth等學(xué)者基于分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)建立了期權(quán)定價(jià)模型，深入探討了分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)下資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)特性對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。他們通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)和實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)能夠捕捉到資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性，使得定價(jià)模型在某些市場(chǎng)條件下更貼合實(shí)際。Coutin和Montseny研究了分?jǐn)?shù)次伊藤積分在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用，為分?jǐn)?shù)次期權(quán)定價(jià)模型的構(gòu)建提供了重要的數(shù)學(xué)方法支持，進(jìn)一步完善了分?jǐn)?shù)次期權(quán)定價(jià)的理論框架。在國(guó)內(nèi)，相關(guān)研究也在逐步展開(kāi)并取得了一定進(jìn)展。例如，一些學(xué)者運(yùn)用分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)傳統(tǒng)的美式看跌期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)實(shí)證研究對(duì)比分析改進(jìn)前后模型的定價(jià)效果。實(shí)證結(jié)果表明，改進(jìn)后的模型在擬合實(shí)際市場(chǎng)數(shù)據(jù)方面表現(xiàn)更優(yōu)，能夠更準(zhǔn)確地反映期權(quán)價(jià)格的變化趨勢(shì)。還有學(xué)者考慮了更多實(shí)際市場(chǎng)因素，如交易成本、市場(chǎng)流動(dòng)性等，將其納入分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型中，使模型更具現(xiàn)實(shí)意義。盡管?chē)?guó)內(nèi)外在分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的研究上已取得諸多成果，但仍存在一些不足之處。一方面，現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)次期權(quán)定價(jià)模型大多基于較為理想化的假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，市場(chǎng)環(huán)境復(fù)雜多變，存在信息不對(duì)稱(chēng)、投資者非理性行為等因素，這些因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響尚未得到充分考慮。另一方面，模型參數(shù)的估計(jì)精度對(duì)定價(jià)結(jié)果有著重要影響，但目前在參數(shù)估計(jì)方法上仍存在一定的改進(jìn)空間，如何更準(zhǔn)確地估計(jì)分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)參數(shù)，如赫斯特指數(shù)等，是亟待解決的問(wèn)題。此外，不同模型之間的比較和整合研究相對(duì)較少，缺乏對(duì)各種模型適用范圍和優(yōu)缺點(diǎn)的系統(tǒng)分析，這在一定程度上限制了分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型在實(shí)際市場(chǎng)中的應(yīng)用和推廣。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本研究綜合運(yùn)用多種研究方法，力求全面、深入地探究分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型。在理論分析方面，運(yùn)用隨機(jī)過(guò)程、偏微分方程等數(shù)學(xué)工具，對(duì)分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)下的期權(quán)定價(jià)理論進(jìn)行深入剖析。通過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從基本的假設(shè)和定義出發(fā)，構(gòu)建分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的理論框架，明確各參數(shù)的含義和作用，以及它們對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響機(jī)制。例如，在推導(dǎo)過(guò)程中，利用分?jǐn)?shù)次伊藤公式，結(jié)合市場(chǎng)的無(wú)套利條件，得出期權(quán)價(jià)格所滿足的偏微分方程，為后續(xù)的定價(jià)研究奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。數(shù)值計(jì)算方法也是本研究的重要手段。采用有限差分法、蒙特卡羅模擬等數(shù)值計(jì)算方法，對(duì)所構(gòu)建的定價(jià)模型進(jìn)行求解和分析。有限差分法通過(guò)將連續(xù)的時(shí)間和空間進(jìn)行離散化處理，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程進(jìn)行求解，能夠有效地計(jì)算期權(quán)價(jià)格在不同時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格水平下的值。蒙特卡羅模擬則通過(guò)隨機(jī)模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑，根據(jù)期權(quán)的收益函數(shù)計(jì)算每條路徑上的期權(quán)價(jià)值，然后通過(guò)統(tǒng)計(jì)平均得到期權(quán)的價(jià)格估計(jì)值，這種方法能夠處理復(fù)雜的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，考慮到多種因素的隨機(jī)性。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，不僅能夠得到具體的期權(quán)價(jià)格數(shù)值，還能分析不同參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響程度，如赫斯特指數(shù)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率等參數(shù)的變化如何導(dǎo)致期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)，為投資者和金融機(jī)構(gòu)提供直觀的決策依據(jù)。此外，本研究引入實(shí)證分析方法，選取實(shí)際金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)，對(duì)分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行驗(yàn)證和評(píng)估。通過(guò)收集股票、指數(shù)等標(biāo)的資產(chǎn)的歷史價(jià)格數(shù)據(jù)，以及對(duì)應(yīng)的期權(quán)市場(chǎng)交易數(shù)據(jù)，將實(shí)際數(shù)據(jù)代入模型中進(jìn)行計(jì)算，并與市場(chǎng)實(shí)際期權(quán)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比分析。實(shí)證分析能夠檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驮趯?shí)際市場(chǎng)環(huán)境中的有效性和準(zhǔn)確性，發(fā)現(xiàn)模型與實(shí)際市場(chǎng)之間的差異，進(jìn)而對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化。例如，通過(guò)實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)模型在某些市場(chǎng)條件下對(duì)期權(quán)價(jià)格的擬合效果不理想，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)是由于對(duì)市場(chǎng)流動(dòng)性因素考慮不足，從而在后續(xù)的模型改進(jìn)中加入市場(chǎng)流動(dòng)性指標(biāo)，提高模型的實(shí)用性。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。在模型構(gòu)建上，充分考慮實(shí)際金融市場(chǎng)中資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的復(fù)雜特性，將分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)與其他能夠反映市場(chǎng)特征的因素相結(jié)合，如引入跳躍擴(kuò)散過(guò)程來(lái)描述資產(chǎn)價(jià)格的突然跳躍現(xiàn)象，或者考慮市場(chǎng)的隨機(jī)波動(dòng)率特性，構(gòu)建更為完善和貼近實(shí)際的分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型，以提高定價(jià)的準(zhǔn)確性。在參數(shù)估計(jì)方面，提出創(chuàng)新的方法。傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)方法在處理分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)相關(guān)參數(shù)時(shí)，往往存在精度不足的問(wèn)題。本研究嘗試運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)算法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等，對(duì)分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的參數(shù)，特別是赫斯特指數(shù)進(jìn)行估計(jì)。機(jī)器學(xué)習(xí)算法能夠自動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)中的復(fù)雜模式和規(guī)律，相比傳統(tǒng)方法，能夠更準(zhǔn)確地捕捉數(shù)據(jù)特征，從而提高參數(shù)估計(jì)的精度，進(jìn)一步提升定價(jià)模型的可靠性。在應(yīng)用拓展方面，將分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型應(yīng)用于新的金融場(chǎng)景和投資策略中。例如，探索該模型在新興金融市場(chǎng)，如數(shù)字貨幣市場(chǎng)中的應(yīng)用，分析數(shù)字貨幣價(jià)格波動(dòng)的分?jǐn)?shù)次特性，為數(shù)字貨幣期權(quán)定價(jià)提供理論支持和方法參考。同時(shí)，基于定價(jià)模型設(shè)計(jì)新的投資策略，如利用模型計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格的差異，構(gòu)建套利策略，或者根據(jù)模型對(duì)不同市場(chǎng)條件下期權(quán)價(jià)格的預(yù)測(cè)，制定動(dòng)態(tài)的資產(chǎn)配置策略，為投資者提供更多的投資選擇和風(fēng)險(xiǎn)管理手段。二、分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)基礎(chǔ)理論2.1期權(quán)基本概念2.1.1期權(quán)定義與分類(lèi)期權(quán)作為一種重要的金融衍生工具，本質(zhì)上是一份合約。它賦予了期權(quán)買(mǎi)方在特定的時(shí)間內(nèi)，以預(yù)先約定的價(jià)格（即行權(quán)價(jià)格），買(mǎi)入或賣(mài)出一定數(shù)量標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，而期權(quán)買(mǎi)方不負(fù)有必須行使該權(quán)利的義務(wù)。例如，在股票期權(quán)交易中，投資者A購(gòu)買(mǎi)了一份以某股票為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)合約，約定行權(quán)價(jià)格為50元，到期日為3個(gè)月后。若在到期日之前，該股票價(jià)格上漲至60元，投資者A有權(quán)以50元的行權(quán)價(jià)格買(mǎi)入股票，然后在市場(chǎng)上以60元賣(mài)出，從而獲取差價(jià)收益；若股票價(jià)格未上漲甚至下跌，投資者A可以選擇不行權(quán)，僅損失購(gòu)買(mǎi)期權(quán)所支付的權(quán)利金。依據(jù)行權(quán)時(shí)間的差異，期權(quán)主要分為美式期權(quán)和歐式期權(quán)。歐式期權(quán)的行權(quán)時(shí)間被嚴(yán)格限定在期權(quán)到期日當(dāng)天，期權(quán)持有者只能在這一天決定是否按照行權(quán)價(jià)格買(mǎi)入或賣(mài)出標(biāo)的資產(chǎn)。例如，一份歐式黃金期權(quán)，其到期日為9月30日，那么期權(quán)買(mǎi)方只能在9月30日這一天行使權(quán)利，在到期日之前，無(wú)論黃金市場(chǎng)價(jià)格如何波動(dòng)，買(mǎi)方都無(wú)法提前行權(quán)。與之不同的是，美式期權(quán)賦予了買(mǎi)方極大的靈活性，買(mǎi)方在期權(quán)合約到期日或之前的任意交易日，均可根據(jù)自身對(duì)市場(chǎng)的判斷和實(shí)際情況，自主決定是否行權(quán)。仍以上述股票期權(quán)為例，若該期權(quán)為美式期權(quán)，投資者A在到期日之前的任何一個(gè)交易日，只要認(rèn)為股票價(jià)格達(dá)到了自己預(yù)期的盈利水平，就可以選擇行權(quán)，提前鎖定收益。按照期權(quán)賦予買(mǎi)方的權(quán)利性質(zhì)，期權(quán)又可分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)?？礉q期權(quán)賦予買(mǎi)方在到期日或之前，以約定的行權(quán)價(jià)格買(mǎi)入標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。當(dāng)投資者預(yù)期標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格將會(huì)上漲時(shí)，往往會(huì)選擇購(gòu)買(mǎi)看漲期權(quán)。比如，投資者B預(yù)期某科技股的價(jià)格在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)會(huì)大幅上漲，于是購(gòu)買(mǎi)了一份行權(quán)價(jià)格為80元的看漲期權(quán)。若在期權(quán)有效期內(nèi)，該科技股價(jià)格上漲至100元，投資者B可以以80元的行權(quán)價(jià)格買(mǎi)入股票，再以100元的市場(chǎng)價(jià)格賣(mài)出，扣除購(gòu)買(mǎi)期權(quán)的成本（即權(quán)利金）后，便可獲得相應(yīng)的利潤(rùn)?？吹跈?quán)則賦予買(mǎi)方在到期日或之前，以約定的行權(quán)價(jià)格賣(mài)出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。當(dāng)投資者預(yù)計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格將會(huì)下跌時(shí)，通常會(huì)買(mǎi)入看跌期權(quán)。例如，投資者C持有某藍(lán)籌股，擔(dān)心股價(jià)下跌會(huì)導(dǎo)致資產(chǎn)縮水，于是購(gòu)買(mǎi)了一份行權(quán)價(jià)格為120元的看跌期權(quán)。若股價(jià)真的下跌至100元，投資者C可以以120元的行權(quán)價(jià)格賣(mài)出股票，然后在市場(chǎng)上以100元的低價(jià)買(mǎi)回，從而減少因股價(jià)下跌帶來(lái)的損失。2.1.2美式看跌期權(quán)特點(diǎn)美式看跌期權(quán)最為顯著的特點(diǎn)便是其行權(quán)的靈活性，投資者可以在期權(quán)合約的有效期內(nèi)隨時(shí)選擇行權(quán)。這種隨時(shí)行權(quán)的特性，為投資者提供了豐富的策略選擇空間，使其能夠更加靈活地應(yīng)對(duì)復(fù)雜多變的市場(chǎng)環(huán)境。當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)突發(fā)重大利空消息，導(dǎo)致標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格急劇下跌時(shí)，美式看跌期權(quán)的持有者能夠迅速行使權(quán)利，以事先約定的較高行權(quán)價(jià)格賣(mài)出標(biāo)的資產(chǎn)，從而有效地避免資產(chǎn)的進(jìn)一步損失。假設(shè)某公司因財(cái)務(wù)造假丑聞曝光，其股票價(jià)格在短時(shí)間內(nèi)大幅跳水。持有該公司股票美式看跌期權(quán)的投資者，在得知消息后，可立即行權(quán)，將股票以行權(quán)價(jià)格賣(mài)出，避免因股價(jià)持續(xù)下跌而遭受更大的損失。相比之下，歐式看跌期權(quán)的持有者則必須等待到期日才能行權(quán)，在這段時(shí)間內(nèi)，股價(jià)可能會(huì)繼續(xù)下跌，導(dǎo)致其損失進(jìn)一步擴(kuò)大。美式看跌期權(quán)的價(jià)值構(gòu)成較為復(fù)雜，包含內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值。內(nèi)在價(jià)值主要取決于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與行權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格低于行權(quán)價(jià)格時(shí)，期權(quán)具有正的內(nèi)在價(jià)值，且二者差值越大，內(nèi)在價(jià)值越高；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格高于行權(quán)價(jià)格時(shí)，內(nèi)在價(jià)值為零。例如，某美式看跌期權(quán)的行權(quán)價(jià)格為50元，若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為40元，那么該期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為10元；若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為60元，內(nèi)在價(jià)值則為0元。時(shí)間價(jià)值反映了期權(quán)在剩余有效期內(nèi)，由于市場(chǎng)不確定性而可能產(chǎn)生的有利結(jié)果的概率。隨著到期日的逐漸臨近，時(shí)間價(jià)值會(huì)逐漸減少，直至到期日時(shí)，時(shí)間價(jià)值降為零。這是因?yàn)殡S著時(shí)間的推移，市場(chǎng)不確定性逐漸降低，期權(quán)因市場(chǎng)變化而產(chǎn)生有利結(jié)果的可能性也隨之減小。在期權(quán)有效期的初期，市場(chǎng)情況較為復(fù)雜，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的可能性較大，此時(shí)美式看跌期權(quán)的時(shí)間價(jià)值較高；而在臨近到期日時(shí)，市場(chǎng)情況逐漸明朗，價(jià)格波動(dòng)空間變小，時(shí)間價(jià)值也相應(yīng)降低。在風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖方面，美式看跌期權(quán)為投資者提供了一種有效的手段。當(dāng)投資者持有標(biāo)的資產(chǎn)時(shí)，為了防范資產(chǎn)價(jià)格下跌帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，可以買(mǎi)入相應(yīng)的美式看跌期權(quán)。若資產(chǎn)價(jià)格下跌，看跌期權(quán)的收益能夠在一定程度上彌補(bǔ)標(biāo)的資產(chǎn)的損失；若資產(chǎn)價(jià)格上漲，投資者雖然損失了購(gòu)買(mǎi)期權(quán)的權(quán)利金，但仍能享受資產(chǎn)價(jià)格上漲帶來(lái)的收益。例如，投資者D持有某股票，為了防止股價(jià)下跌，購(gòu)買(mǎi)了一份美式看跌期權(quán)。若股價(jià)下跌，投資者D可以行使看跌期權(quán)，以行權(quán)價(jià)格賣(mài)出股票，減少損失；若股價(jià)上漲，投資者D只需放棄行權(quán)，損失的僅僅是購(gòu)買(mǎi)期權(quán)的權(quán)利金，而持有的股票則會(huì)帶來(lái)收益。然而，美式看跌期權(quán)的這種靈活性和優(yōu)勢(shì)并非無(wú)代價(jià)的，由于其給予了買(mǎi)方更多的行權(quán)選擇，使得其價(jià)格通常會(huì)高于歐式看跌期權(quán)。投資者在運(yùn)用美式看跌期權(quán)進(jìn)行投資和風(fēng)險(xiǎn)管理時(shí)，需要綜合考慮期權(quán)價(jià)格、潛在收益以及自身的風(fēng)險(xiǎn)承受能力等多方面因素，以制定出最為合適的投資策略。在市場(chǎng)波動(dòng)較為劇烈時(shí)，美式看跌期權(quán)的價(jià)格可能會(huì)大幅上漲，投資者需要權(quán)衡購(gòu)買(mǎi)期權(quán)的成本與可能獲得的收益，判斷是否值得買(mǎi)入。2.2分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)理論2.2.1分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)定義與性質(zhì)分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)（FractionalBrownianMotion，F(xiàn)BM）作為布朗運(yùn)動(dòng)的一種重要推廣形式，在眾多領(lǐng)域中展現(xiàn)出獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值。1968年，Mandelbrot和VanNess給出了分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的嚴(yán)格定義：設(shè)H\in(0,1)，\left\{B_{t}^{H}\right\}_{t\geq0}是一個(gè)零均值的高斯過(guò)程，且滿足B_{0}^{H}=0，其協(xié)方差函數(shù)為：E\left[B_{s}^{H}B_{t}^{H}\right]=\frac{1}{2}\left(s^{2H}+t^{2H}-\verts-t\vert^{2H}\right)其中，H被稱(chēng)為赫斯特指數(shù)（Hurstexponent），它在分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)中起著關(guān)鍵作用，決定了過(guò)程的許多重要性質(zhì)。自相似性是分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的重要性質(zhì)之一，即對(duì)于任意的a>0，有\(zhòng)left\{B_{at}^{H}\right\}_{t\geq0}\oversetmqegesy{=}\left\{a^{H}B_{t}^{H}\right\}_{t\geq0}，這里的\oversetisgeiws{=}表示有限維分布相等。這意味著分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)在不同的時(shí)間尺度下，其統(tǒng)計(jì)特性保持相似。在研究金融市場(chǎng)中股票價(jià)格的波動(dòng)時(shí)，無(wú)論是觀察短期的日內(nèi)波動(dòng)，還是長(zhǎng)期的年度波動(dòng)，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的自相似性使得我們能夠用統(tǒng)一的模型來(lái)描述不同時(shí)間尺度下的價(jià)格變化規(guī)律。長(zhǎng)記憶性也是分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的顯著特性。其自相關(guān)函數(shù)\rho(s,t)=E\left[\left(B_{s+1}^{H}-B_{s}^{H}\right)\left(B_{t+1}^{H}-B_{t}^{H}\right)\right]滿足當(dāng)\verts-t\vert\to\infty時(shí)，\rho(s,t)\simC\verts-t\vert^{2H-2}，其中C為非零常數(shù)。這表明分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的過(guò)去增量對(duì)未來(lái)增量存在著長(zhǎng)期的影響，過(guò)去的信息不會(huì)隨著時(shí)間的推移而迅速消失。在分析匯率波動(dòng)時(shí)，前期匯率的波動(dòng)情況會(huì)在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)對(duì)后續(xù)匯率的變化產(chǎn)生影響，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)記憶性能夠很好地捕捉到這種現(xiàn)象。當(dāng)H=\frac{1}{2}時(shí)，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)退化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過(guò)程具有獨(dú)立增量性，即對(duì)于任意的0\leqs<t<u<v，增量B_{t}^{H}-B_{s}^{H}與B_{v}^{H}-B_{u}^{H}相互獨(dú)立。而當(dāng)H\neq\frac{1}{2}時(shí)，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的增量不再獨(dú)立，體現(xiàn)出與標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的差異。當(dāng)H>\frac{1}{2}時(shí)，過(guò)程具有正相關(guān)性，即過(guò)去的正向增量往往會(huì)導(dǎo)致未來(lái)的正向增量，表現(xiàn)出一種趨勢(shì)增強(qiáng)的特性；當(dāng)H<\frac{1}{2}時(shí)，過(guò)程具有負(fù)相關(guān)性，過(guò)去的增量會(huì)對(duì)未來(lái)的增量產(chǎn)生反向影響，呈現(xiàn)出一種均值回復(fù)的趨勢(shì)。2.2.2與傳統(tǒng)布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)比傳統(tǒng)布朗運(yùn)動(dòng)，通常也稱(chēng)為維納過(guò)程，是一種具有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的隨機(jī)過(guò)程。在金融領(lǐng)域，傳統(tǒng)布朗運(yùn)動(dòng)常被用于描述資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)，其假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的變化是完全隨機(jī)的，且未來(lái)的價(jià)格變化與過(guò)去的價(jià)格變化相互獨(dú)立。在經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型中，就假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即dS_{t}=\muS_{t}dt+\sigmaS_{t}dW_{t}，其中S_{t}表示股票價(jià)格，\mu為預(yù)期收益率，\sigma為波動(dòng)率，W_{t}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。與傳統(tǒng)布朗運(yùn)動(dòng)相比，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)在刻畫(huà)金融市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)時(shí)具有顯著的優(yōu)勢(shì)。傳統(tǒng)布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的增量是獨(dú)立的，這意味著過(guò)去的價(jià)格波動(dòng)對(duì)未來(lái)沒(méi)有影響，然而在實(shí)際金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)往往存在著一定的相關(guān)性和記憶性。股票市場(chǎng)中常常會(huì)出現(xiàn)價(jià)格趨勢(shì)持續(xù)的現(xiàn)象，即過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)價(jià)格上漲，未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)價(jià)格繼續(xù)上漲的可能性較大，這種現(xiàn)象無(wú)法用傳統(tǒng)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)解釋。而分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)通過(guò)赫斯特指數(shù)H能夠很好地捕捉到這種長(zhǎng)記憶性，當(dāng)H>\frac{1}{2}時(shí)，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出正的長(zhǎng)記憶性，即過(guò)去的價(jià)格變化會(huì)對(duì)未來(lái)產(chǎn)生正向的影響，使得價(jià)格趨勢(shì)得以延續(xù)。在市場(chǎng)波動(dòng)的平穩(wěn)性方面，傳統(tǒng)布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)價(jià)格波動(dòng)具有平穩(wěn)增量，即不同時(shí)間段內(nèi)價(jià)格波動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特征是相同的。但在實(shí)際金融市場(chǎng)中，價(jià)格波動(dòng)往往呈現(xiàn)出聚集性和時(shí)變性，即市場(chǎng)在某些時(shí)期波動(dòng)較大，而在另一些時(shí)期波動(dòng)較小。分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的自相似性使其能夠在不同的時(shí)間尺度下描述這種非平穩(wěn)的波動(dòng)特征。在市場(chǎng)出現(xiàn)重大事件時(shí)，如經(jīng)濟(jì)危機(jī)、政策調(diào)整等，市場(chǎng)波動(dòng)會(huì)顯著增大，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)其自相似性，在不同的時(shí)間尺度上對(duì)這種波動(dòng)的變化進(jìn)行刻畫(huà)，更準(zhǔn)確地反映市場(chǎng)的實(shí)際情況。傳統(tǒng)布朗運(yùn)動(dòng)在描述金融市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)時(shí)存在一定的局限性，而分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)能夠考慮到價(jià)格波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性和自相似性等特性，為金融市場(chǎng)的分析和期權(quán)定價(jià)提供了更貼合實(shí)際的工具。2.3分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型基礎(chǔ)2.3.1模型假設(shè)條件在構(gòu)建分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型時(shí)，需要基于一系列假設(shè)條件，這些假設(shè)是模型構(gòu)建的基石，對(duì)模型的合理性和適用性有著重要影響。首先，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)。這一假設(shè)認(rèn)為，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化并非是完全隨機(jī)的，而是具有長(zhǎng)記憶性和自相似性等特征。在股票市場(chǎng)中，過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)股票價(jià)格的波動(dòng)情況會(huì)對(duì)未來(lái)的價(jià)格走勢(shì)產(chǎn)生影響，這種影響不是短期的，而是具有長(zhǎng)期的記憶效應(yīng)。分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)通過(guò)赫斯特指數(shù)H來(lái)刻畫(huà)這種長(zhǎng)記憶性，當(dāng)H>\frac{1}{2}時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化具有正的相關(guān)性，即過(guò)去價(jià)格的上漲趨勢(shì)在未來(lái)有延續(xù)的可能性；當(dāng)H<\frac{1}{2}時(shí)，價(jià)格變化具有負(fù)相關(guān)性，過(guò)去的價(jià)格波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致未來(lái)價(jià)格向均值回歸。這一假設(shè)相較于傳統(tǒng)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)，更能準(zhǔn)確地描述實(shí)際金融市場(chǎng)中資產(chǎn)價(jià)格的復(fù)雜波動(dòng)特性。假設(shè)市場(chǎng)是無(wú)摩擦的，即不存在交易成本、稅收以及買(mǎi)賣(mài)價(jià)差等。在實(shí)際市場(chǎng)中，交易成本會(huì)對(duì)投資者的收益產(chǎn)生影響，例如，投資者在買(mǎi)賣(mài)期權(quán)和標(biāo)的資產(chǎn)時(shí)，需要支付手續(xù)費(fèi)等交易成本，這會(huì)降低投資者的實(shí)際收益。稅收政策也會(huì)改變投資者的決策，不同的稅收規(guī)定會(huì)影響投資者的盈利情況。然而，在構(gòu)建定價(jià)模型的初期，為了簡(jiǎn)化分析，通常假設(shè)市場(chǎng)無(wú)摩擦，這樣可以更專(zhuān)注于研究期權(quán)定價(jià)的基本原理和核心因素。假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是恒定的。在實(shí)際金融市場(chǎng)中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率會(huì)受到宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境、貨幣政策等多種因素的影響而波動(dòng)。央行調(diào)整利率政策會(huì)導(dǎo)致無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率發(fā)生變化。但在模型假設(shè)中，將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率視為恒定值，便于在理論推導(dǎo)和模型計(jì)算中保持參數(shù)的穩(wěn)定性，從而更清晰地分析其他因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)不支付紅利。在現(xiàn)實(shí)中，許多股票等標(biāo)的資產(chǎn)會(huì)定期支付紅利，紅利的發(fā)放會(huì)使標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格發(fā)生變化，進(jìn)而影響期權(quán)的價(jià)格。一些成熟的上市公司會(huì)每年向股東派發(fā)紅利，這會(huì)導(dǎo)致股票價(jià)格在除息日之后下降。在構(gòu)建分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型時(shí)，先假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)不支付紅利，有助于簡(jiǎn)化模型的構(gòu)建和分析過(guò)程，后續(xù)可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮紅利支付對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。這些假設(shè)條件在一定程度上簡(jiǎn)化了復(fù)雜的金融市場(chǎng)環(huán)境，使得分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的構(gòu)建和分析成為可能。然而，這些假設(shè)也存在一定的局限性。實(shí)際金融市場(chǎng)是復(fù)雜多變的，存在信息不對(duì)稱(chēng)、投資者非理性行為等因素，這些因素在模型假設(shè)中并未得到充分考慮。投資者在決策過(guò)程中，往往會(huì)受到情緒、認(rèn)知偏差等因素的影響，導(dǎo)致市場(chǎng)價(jià)格偏離理論價(jià)值。因此，在實(shí)際應(yīng)用模型時(shí)，需要充分認(rèn)識(shí)到這些假設(shè)的局限性，對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和改進(jìn)，以提高模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性。2.3.2定價(jià)原理初步探討分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)的核心原理是基于無(wú)套利原則。在一個(gè)有效的金融市場(chǎng)中，如果存在套利機(jī)會(huì)，投資者會(huì)迅速進(jìn)行套利操作，從而使得市場(chǎng)價(jià)格回到合理的水平，消除套利空間。對(duì)于分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)而言，其價(jià)格應(yīng)該使得在任何情況下，投資者都無(wú)法通過(guò)買(mǎi)賣(mài)期權(quán)和標(biāo)的資產(chǎn)的組合來(lái)獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利收益。從期權(quán)的收益結(jié)構(gòu)來(lái)看，分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)賦予持有者在期權(quán)到期日之前的任何時(shí)間，以執(zhí)行價(jià)格賣(mài)出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。期權(quán)的價(jià)值主要由兩部分構(gòu)成：內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值。內(nèi)在價(jià)值是指期權(quán)立即行權(quán)時(shí)所能獲得的收益，對(duì)于看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格低于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，內(nèi)在價(jià)值為執(zhí)行價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的差值；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格高于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，內(nèi)在價(jià)值為零。假設(shè)某分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為100元，若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為90元，那么該期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為10元；若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為110元，內(nèi)在價(jià)值則為0元。時(shí)間價(jià)值則反映了期權(quán)在剩余有效期內(nèi)，由于市場(chǎng)不確定性而可能產(chǎn)生的有利結(jié)果的概率。在期權(quán)到期之前，市場(chǎng)情況是不確定的，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格可能上漲也可能下跌。分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)下，由于其長(zhǎng)記憶性和自相似性，使得對(duì)市場(chǎng)不確定性的刻畫(huà)更加復(fù)雜。若市場(chǎng)處于波動(dòng)較大的時(shí)期，且赫斯特指數(shù)H顯示出價(jià)格具有較強(qiáng)的趨勢(shì)性，那么期權(quán)的時(shí)間價(jià)值會(huì)相對(duì)較高，因?yàn)橥顿Y者預(yù)期在未來(lái)可能會(huì)出現(xiàn)更有利的行權(quán)時(shí)機(jī)。隨著到期日的臨近，時(shí)間價(jià)值會(huì)逐漸減少，因?yàn)槭袌?chǎng)不確定性逐漸降低，期權(quán)因市場(chǎng)變化而產(chǎn)生有利結(jié)果的可能性也隨之減小。在定價(jià)過(guò)程中，需要考慮分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化路徑。由于分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的增量不獨(dú)立，過(guò)去的價(jià)格變化會(huì)影響未來(lái)的價(jià)格走勢(shì)，因此在計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí)，不能簡(jiǎn)單地采用傳統(tǒng)的方法，而需要運(yùn)用基于分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)分析工具。通過(guò)構(gòu)建合適的隨機(jī)微分方程，結(jié)合邊界條件和初始條件，求解出期權(quán)價(jià)格所滿足的偏微分方程，進(jìn)而得到期權(quán)的理論價(jià)格。分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)的定價(jià)原理是一個(gè)綜合考慮無(wú)套利原則、期權(quán)收益結(jié)構(gòu)、市場(chǎng)不確定性以及分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)特性的復(fù)雜過(guò)程，為后續(xù)精確構(gòu)建定價(jià)模型奠定了理論基礎(chǔ)。三、分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型構(gòu)建3.1傳統(tǒng)美式看跌期權(quán)定價(jià)模型回顧3.1.1Black-Scholes模型Black-Scholes模型是期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域的經(jīng)典模型，由FisherBlack和MyronScholes于1973年提出，該模型基于一系列嚴(yán)格的假設(shè)條件，為歐式期權(quán)的定價(jià)提供了精確的數(shù)學(xué)公式，對(duì)金融市場(chǎng)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。Black-Scholes模型的基本假設(shè)包括：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即dS_{t}=\muS_{t}dt+\sigmaS_{t}dW_{t}，其中S_{t}表示標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格，\mu為標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率，\sigma為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率，W_{t}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；市場(chǎng)是無(wú)摩擦的，不存在交易成本、稅收和買(mǎi)賣(mài)價(jià)差等；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r是恒定的，且在期權(quán)有效期內(nèi)保持不變；標(biāo)的資產(chǎn)不支付紅利；投資者可以自由借貸，且借貸利率均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。在這些假設(shè)條件下，對(duì)于歐式看漲期權(quán)，Black-Scholes模型的定價(jià)公式為：C=S_{0}N(d_{1})-Xe^{-rT}N(d_{2})對(duì)于歐式看跌期權(quán)，定價(jià)公式為：P=Xe^{-rT}N(-d_{2})-S_{0}N(-d_{1})其中，C和P分別表示歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格，S_{0}為標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格，X是期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，T是期權(quán)到期時(shí)間，N(d)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，d_{1}和d_{2}的計(jì)算公式分別為：d_{1}=\frac{\ln(\frac{S_{0}}{X})+(r+\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T}在實(shí)際應(yīng)用中，若要對(duì)某股票的歐式看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，已知該股票當(dāng)前價(jià)格S_{0}=50元，執(zhí)行價(jià)格X=55元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05，期權(quán)到期時(shí)間T=0.5年，股票價(jià)格波動(dòng)率\sigma=0.3。首先計(jì)算d_{1}和d_{2}：d_{1}=\frac{\ln(\frac{50}{55})+(0.05+\frac{0.3^{2}}{2})\times0.5}{0.3\sqrt{0.5}}\approx-0.23d_{2}=d_{1}-0.3\sqrt{0.5}\approx-0.44通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用相關(guān)計(jì)算工具，可得N(-d_{1})\approx0.591，N(-d_{2})\approx0.67，則該歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為：P=55e^{-0.05\times0.5}\times0.67-50\times0.591\approx3.94\text{?????????}然而，將Black-Scholes模型應(yīng)用于美式看跌期權(quán)定價(jià)時(shí)，存在一定的局限性。美式看跌期權(quán)允許持有者在到期日之前的任何時(shí)間行權(quán)，這使得其定價(jià)問(wèn)題比歐式期權(quán)更為復(fù)雜。Black-Scholes模型的假設(shè)條件在實(shí)際市場(chǎng)中往往難以完全滿足，市場(chǎng)并非完全無(wú)摩擦，存在交易成本和稅收等因素，這些因素會(huì)對(duì)期權(quán)價(jià)格產(chǎn)生影響。實(shí)際交易中，投資者買(mǎi)賣(mài)期權(quán)需要支付手續(xù)費(fèi)，這會(huì)增加交易成本，導(dǎo)致期權(quán)的實(shí)際價(jià)格與Black-Scholes模型計(jì)算出的理論價(jià)格存在偏差。模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，波動(dòng)率恒定不變，但在實(shí)際金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的特征，波動(dòng)率并非固定不變，而是具有時(shí)變性和聚集性。在市場(chǎng)出現(xiàn)重大事件時(shí)，如經(jīng)濟(jì)危機(jī)、政策調(diào)整等，資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率會(huì)發(fā)生劇烈變化。此外，該模型假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定，忽略了利率波動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，而在實(shí)際市場(chǎng)中，利率會(huì)受到宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境、貨幣政策等多種因素的影響而波動(dòng)。央行調(diào)整利率政策會(huì)導(dǎo)致無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率發(fā)生變化，進(jìn)而影響期權(quán)價(jià)格。由于這些局限性，直接使用Black-Scholes模型對(duì)美式看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，可能無(wú)法準(zhǔn)確反映期權(quán)的真實(shí)價(jià)值。3.1.2二叉樹(shù)模型二叉樹(shù)模型是一種廣泛應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法，由Cox、Ross和Rubinstein于1979年提出。該模型通過(guò)構(gòu)建二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化路徑，從而對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。二叉樹(shù)模型的構(gòu)建過(guò)程如下：首先，將期權(quán)的有效期T劃分為n個(gè)相等的時(shí)間間隔\Deltat=\frac{T}{n}。在每個(gè)時(shí)間間隔\Deltat內(nèi)，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格只有兩種可能的變化，即上漲到S_{u}=Se^{u}或下跌到S_eqgmiwc=Se^wgqukea，其中S為當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，u和d分別表示價(jià)格上漲和下跌的幅度。通常，為了保證模型的無(wú)套利性，會(huì)設(shè)定u=e^{\sigma\sqrt{\Deltat}}，d=e^{-\sigma\sqrt{\Deltat}}，其中\(zhòng)sigma為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率。在構(gòu)建二叉樹(shù)時(shí)，從初始時(shí)刻t=0的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S_{0}開(kāi)始，在第一個(gè)時(shí)間間隔\Deltat后，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格有兩種可能，即S_{0}u和S_{0}d；在第二個(gè)時(shí)間間隔2\Deltat后，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格又分別有兩種可能，即S_{0}u^{2}、S_{0}ud和S_{0}d^{2}，以此類(lèi)推，隨著時(shí)間間隔的增加，二叉樹(shù)逐漸展開(kāi)，形成一個(gè)完整的價(jià)格變化路徑圖。利用二叉樹(shù)模型對(duì)美式看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)時(shí)，采用倒推的方法。從期權(quán)到期日T開(kāi)始，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，根據(jù)期權(quán)的收益函數(shù)計(jì)算期權(quán)的價(jià)值。對(duì)于看跌期權(quán)，在到期日的收益為P_{T}=\max(X-S_{T},0)，其中X為執(zhí)行價(jià)格，S_{T}為到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。然后，從到期日的前一個(gè)時(shí)間間隔開(kāi)始，逐步向前倒推計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)上期權(quán)的價(jià)值。在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，投資者需要比較立即行權(quán)的收益和繼續(xù)持有期權(quán)的收益，選擇兩者中的較大值作為該節(jié)點(diǎn)上期權(quán)的價(jià)值。若在某節(jié)點(diǎn)上，立即行權(quán)的收益為X-S，繼續(xù)持有期權(quán)的收益為e^{-r\Deltat}[pP_{u}+(1-p)P_sokiokg]，其中P_{u}和P_ueikokg分別為下一個(gè)時(shí)間間隔上漲和下跌狀態(tài)下期權(quán)的價(jià)值，p為風(fēng)險(xiǎn)中性概率，通常由p=\frac{e^{r\Deltat}-d}{u-d}計(jì)算得出。投資者會(huì)選擇\max(X-S,e^{-r\Deltat}[pP_{u}+(1-p)P_mmsgkcg])作為該節(jié)點(diǎn)上期權(quán)的價(jià)值。假設(shè)某美式看跌期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格S_{0}=100元，執(zhí)行價(jià)格X=105元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05，期權(quán)到期時(shí)間T=1年，將期權(quán)有效期劃分為n=3個(gè)時(shí)間間隔，即\Deltat=\frac{1}{3}年，波動(dòng)率\sigma=0.2。首先計(jì)算u=e^{0.2\sqrt{\frac{1}{3}}}\approx1.122，d=e^{-0.2\sqrt{\frac{1}{3}}}\approx0.891，p=\frac{e^{0.05\times\frac{1}{3}}-0.891}{1.122-0.891}\approx0.566。在到期日T=1年時(shí)，有三種可能的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格：S_{u^{3}}=100\times1.122^{3}\approx141.3元，此時(shí)期權(quán)價(jià)值P_{u^{3}}=\max(105-141.3,0)=0元；S_{u^{2}d}=100\times1.122^{2}\times0.891\approx111.8元，期權(quán)價(jià)值P_{u^{2}d}=\max(105-111.8,0)=0元；S_{ud^{2}}=100\times1.122\times0.891^{2}\approx88.8元，期權(quán)價(jià)值P_{ud^{2}}=\max(105-88.8,0)=16.2元；S_{d^{3}}=100\times0.891^{3}\approx70.7元，期權(quán)價(jià)值P_{d^{3}}=\max(105-70.7,0)=34.3元。從到期日前一個(gè)時(shí)間間隔開(kāi)始倒推，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為S_{u^{2}}=100\times1.122^{2}\approx125.9元時(shí)，繼續(xù)持有期權(quán)的收益為e^{-0.05\times\frac{1}{3}}[0.566\times0+(1-0.566)\times0]\approx0元，立即行權(quán)的收益為105-125.9=-20.9元，所以該節(jié)點(diǎn)上期權(quán)價(jià)值為0元；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為S_{ud}=100\times1.122\times0.891\approx99.9元時(shí)，繼續(xù)持有期權(quán)的收益為e^{-0.05\times\frac{1}{3}}[0.566\times0+(1-0.566)\times16.2]\approx6.9元，立即行權(quán)的收益為105-99.9=5.1元，所以該節(jié)點(diǎn)上期權(quán)價(jià)值為6.9元；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為S_{d^{2}}=100\times0.891^{2}\approx79.4元時(shí)，繼續(xù)持有期權(quán)的收益為e^{-0.05\times\frac{1}{3}}[0.566\times16.2+(1-0.566)\times34.3]\approx23.7元，立即行權(quán)的收益為105-79.4=25.6元，所以該節(jié)點(diǎn)上期權(quán)價(jià)值為25.6元。繼續(xù)向前倒推，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為S_{0}=100元時(shí)，繼續(xù)持有期權(quán)的收益為e^{-0.05\times\frac{1}{3}}[0.566\times0+(1-0.566)\times6.9]\approx2.9元，立即行權(quán)的收益為105-100=5元，所以該美式看跌期權(quán)的初始價(jià)值為5元。二叉樹(shù)模型的優(yōu)點(diǎn)在于其直觀易懂，計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，能夠處理美式期權(quán)提前行權(quán)的特性。通過(guò)構(gòu)建二叉樹(shù)，可以清晰地看到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在不同時(shí)間的變化路徑以及期權(quán)在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的價(jià)值。該模型具有較強(qiáng)的靈活性，可以方便地考慮紅利支付、交易成本等實(shí)際市場(chǎng)因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。在考慮紅利支付時(shí)，可以在二叉樹(shù)的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，從而計(jì)算出考慮紅利后的期權(quán)價(jià)格。然而，二叉樹(shù)模型也存在一些缺點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間步數(shù)n增加時(shí)，計(jì)算量會(huì)大幅上升，因?yàn)槊總€(gè)時(shí)間步都需要計(jì)算多個(gè)節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值，這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率降低。在實(shí)際應(yīng)用中，為了提高定價(jià)的準(zhǔn)確性，可能需要增加時(shí)間步數(shù)，但這會(huì)使得計(jì)算變得更加復(fù)雜和耗時(shí)。二叉樹(shù)模型在劃分時(shí)間間隔時(shí)，時(shí)間間隔的長(zhǎng)度和數(shù)量的選擇會(huì)影響定價(jià)的準(zhǔn)確性。如果時(shí)間間隔劃分過(guò)粗，可能會(huì)導(dǎo)致定價(jià)偏差較大；如果劃分過(guò)細(xì)，雖然可以提高定價(jià)的準(zhǔn)確性，但計(jì)算量會(huì)進(jìn)一步增加。三、分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型構(gòu)建3.2分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型推導(dǎo)3.2.1基于分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的建模思路在構(gòu)建分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型時(shí)，以分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)的建模思路具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)和重要意義。傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型，如Black-Scholes模型，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，這在一定程度上簡(jiǎn)化了市場(chǎng)的復(fù)雜性。然而，實(shí)際金融市場(chǎng)中的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)并非完全符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)的特征，往往呈現(xiàn)出長(zhǎng)記憶性、自相似性等復(fù)雜特性。分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)能夠有效地捕捉到這些特性，其赫斯特指數(shù)H是刻畫(huà)這些特性的關(guān)鍵參數(shù)。當(dāng)H>\frac{1}{2}時(shí)，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)具有正的長(zhǎng)記憶性，意味著過(guò)去的價(jià)格波動(dòng)對(duì)未來(lái)的價(jià)格走勢(shì)具有正向的影響，即過(guò)去的價(jià)格上漲趨勢(shì)在未來(lái)有延續(xù)的可能性。在股票市場(chǎng)中，某些股票在一段時(shí)間內(nèi)持續(xù)上漲，這種上漲趨勢(shì)并非偶然，而是受到多種因素的長(zhǎng)期影響，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)能夠很好地描述這種現(xiàn)象。當(dāng)H<\frac{1}{2}時(shí)，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)具有負(fù)的長(zhǎng)記憶性，過(guò)去的價(jià)格波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致未來(lái)價(jià)格向均值回歸。一些股票價(jià)格在經(jīng)歷了一段時(shí)間的大幅上漲后，會(huì)出現(xiàn)回調(diào)，逐漸向其長(zhǎng)期均值靠攏，這體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的負(fù)記憶性。將分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)融入到期權(quán)定價(jià)過(guò)程中，需要重新審視期權(quán)定價(jià)的基本原理和方法。在傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型中，基于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，通過(guò)構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，利用無(wú)套利原理推導(dǎo)出期權(quán)價(jià)格的偏微分方程。而在分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)下，由于其增量不獨(dú)立，傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度構(gòu)建方法不再適用。因此，需要引入新的數(shù)學(xué)工具和理論，如分?jǐn)?shù)次伊藤積分等，來(lái)處理分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)下的隨機(jī)分析問(wèn)題。通過(guò)構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格模型，如dS_{t}=\muS_{t}dt+\sigmaS_{t}dB_{t}^{H}，其中B_{t}^{H}為分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用分?jǐn)?shù)次伊藤公式，結(jié)合市場(chǎng)的無(wú)套利條件，推導(dǎo)期權(quán)價(jià)格所滿足的偏微分方程。在推導(dǎo)過(guò)程中，需要考慮分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的自相似性和長(zhǎng)記憶性對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，以及如何準(zhǔn)確地刻畫(huà)市場(chǎng)的不確定性。由于分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的自相似性，不同時(shí)間尺度下的市場(chǎng)波動(dòng)具有相似的統(tǒng)計(jì)特征，這使得在定價(jià)過(guò)程中需要綜合考慮不同時(shí)間尺度下的價(jià)格變化對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響?；诜?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的建模思路，能夠更準(zhǔn)確地刻畫(huà)金融市場(chǎng)中資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)特征，為分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)提供了更為堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，使得定價(jià)模型能夠更好地反映實(shí)際市場(chǎng)情況，提高期權(quán)定價(jià)的準(zhǔn)確性和可靠性。3.2.2模型關(guān)鍵參數(shù)確定在分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型中，確定關(guān)鍵參數(shù)對(duì)于準(zhǔn)確計(jì)算期權(quán)價(jià)格以及分析其影響因素至關(guān)重要。赫斯特參數(shù)H是分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的核心參數(shù)，它決定了分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)記憶性和自相似性程度。赫斯特參數(shù)H的取值范圍為(0,1)。當(dāng)H=\frac{1}{2}時(shí)，分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)退化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)呈現(xiàn)出獨(dú)立增量的特征，過(guò)去的價(jià)格變化對(duì)未來(lái)沒(méi)有長(zhǎng)期影響。當(dāng)H>\frac{1}{2}時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)具有正的長(zhǎng)記憶性，過(guò)去的價(jià)格上漲或下跌趨勢(shì)在未來(lái)有延續(xù)的可能性。若H=0.7，表明市場(chǎng)價(jià)格具有較強(qiáng)的正相關(guān)性，過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格上漲趨勢(shì)可能會(huì)持續(xù)，這會(huì)增加期權(quán)的時(shí)間價(jià)值，因?yàn)橥顿Y者預(yù)期未來(lái)價(jià)格繼續(xù)上漲的可能性較大，從而愿意為期權(quán)支付更高的價(jià)格。當(dāng)H<\frac{1}{2}時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)具有負(fù)的長(zhǎng)記憶性，過(guò)去的價(jià)格波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致未來(lái)價(jià)格向均值回歸。若H=0.3，說(shuō)明市場(chǎng)價(jià)格具有較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)性，過(guò)去的價(jià)格上漲后可能會(huì)很快回調(diào)，這會(huì)降低期權(quán)的時(shí)間價(jià)值，因?yàn)橥顿Y者預(yù)期價(jià)格很快會(huì)回到均值水平，期權(quán)因價(jià)格波動(dòng)帶來(lái)的潛在收益減少。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r也是模型中的重要參數(shù)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率通常被視為投資者在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)條件下可以獲得的收益率。在實(shí)際市場(chǎng)中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率一般以國(guó)債利率等為參考。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響較為復(fù)雜。對(duì)于美式看跌期權(quán)而言，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)，期權(quán)的現(xiàn)值會(huì)降低。這是因?yàn)闊o(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升，使得持有現(xiàn)金的收益增加，而持有期權(quán)的機(jī)會(huì)成本上升。從另一個(gè)角度看，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升可能會(huì)導(dǎo)致標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率發(fā)生變化，進(jìn)而影響期權(quán)價(jià)格。當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)，投資者對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率也可能會(huì)相應(yīng)提高，這可能會(huì)導(dǎo)致標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升，從而降低看跌期權(quán)的價(jià)值。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率\sigma反映了資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)程度。波動(dòng)率越大，說(shuō)明資產(chǎn)價(jià)格的不確定性越高。對(duì)于美式看跌期權(quán)，波動(dòng)率增加會(huì)使期權(quán)的價(jià)值上升。這是因?yàn)椴▌?dòng)率增加，資產(chǎn)價(jià)格下跌的可能性和幅度都可能增大，看跌期權(quán)持有者獲利的機(jī)會(huì)也隨之增加。在股票市場(chǎng)中，如果某股票的波動(dòng)率突然增大，意味著該股票價(jià)格的波動(dòng)更加劇烈，投資者對(duì)其未來(lái)價(jià)格走勢(shì)的不確定性增加，此時(shí)以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)的價(jià)值會(huì)相應(yīng)提高。確定這些關(guān)鍵參數(shù)，并深入分析它們對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響方向和程度，有助于投資者和金融機(jī)構(gòu)更準(zhǔn)確地評(píng)估分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)的價(jià)值，制定合理的投資策略和風(fēng)險(xiǎn)管理方案。3.2.3模型公式推導(dǎo)過(guò)程在推導(dǎo)分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)公式時(shí)，基于前文所述的模型假設(shè)和思路，運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行推導(dǎo)。首先，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S_{t}服從分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)，其隨機(jī)微分方程表示為：dS_{t}=\muS_{t}dt+\sigmaS_{t}dB_{t}^{H}其中，\mu為標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率，\sigma為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率，B_{t}^{H}是赫斯特指數(shù)為H的分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)。根據(jù)無(wú)套利原則，構(gòu)建一個(gè)包含標(biāo)的資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合\Pi，使得投資組合的價(jià)值在瞬間是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。設(shè)投資組合中包含\Delta單位的標(biāo)的資產(chǎn)和一定數(shù)量的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。則投資組合的價(jià)值為：\Pi=\DeltaS+V其中，V為期權(quán)的價(jià)值。在一個(gè)微小的時(shí)間間隔dt內(nèi)，投資組合價(jià)值的變化d\Pi為：d\Pi=\DeltadS+dV將dS_{t}=\muS_{t}dt+\sigmaS_{t}dB_{t}^{H}代入上式可得：d\Pi=\Delta(\muS_{t}dt+\sigmaS_{t}dB_{t}^{H})+dV運(yùn)用分?jǐn)?shù)次伊藤公式對(duì)dV進(jìn)行展開(kāi)。分?jǐn)?shù)次伊藤公式是處理分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)下隨機(jī)過(guò)程的重要工具，它考慮了分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)記憶性和自相似性。根據(jù)分?jǐn)?shù)次伊藤公式，dV可以表示為：dV=\frac{\partialV}{\partialt}dt+\frac{\partialV}{\partialS}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}V}{\partialS^{2}}\sigma^{2}S^{2}dt+\frac{\partialV}{\partialB^{H}}\sigmaSdB_{t}^{H}將dV的表達(dá)式代入d\Pi的式子中，并令投資組合的價(jià)值變化d\Pi等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r乘以投資組合的價(jià)值\Pi在dt時(shí)間內(nèi)的變化，即d\Pi=r\Pidt。通過(guò)整理和化簡(jiǎn)，得到一個(gè)關(guān)于V的偏微分方程：\frac{\partialV}{\partialt}+rS\frac{\partialV}{\partialS}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partialS^{2}}+rV=0這就是分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)價(jià)格所滿足的偏微分方程。接下來(lái)，需要確定偏微分方程的邊界條件和初始條件。對(duì)于美式看跌期權(quán)，在到期日T時(shí)，期權(quán)的價(jià)值為：V(S,T)=\max(X-S,0)其中，X為執(zhí)行價(jià)格。在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S=0時(shí)，期權(quán)的價(jià)值為V(0,t)=Xe^{-r(T-t)}，這是因?yàn)楫?dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為0時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值就等于執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值。在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S\to+\infty時(shí)，期權(quán)的價(jià)值趨近于0，即\lim_{S\to+\infty}V(S,t)=0。通過(guò)求解上述偏微分方程，并結(jié)合邊界條件和初始條件，最終得到分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)的定價(jià)公式。求解過(guò)程通常需要運(yùn)用數(shù)值方法，如有限差分法、蒙特卡羅模擬等。以有限差分法為例，將連續(xù)的時(shí)間和空間進(jìn)行離散化處理，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程進(jìn)行求解。通過(guò)不斷迭代計(jì)算，得到不同時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格水平下的期權(quán)價(jià)格數(shù)值。經(jīng)過(guò)一系列復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算，得到分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)的定價(jià)公式為：V(S,t)=E_{t}\left[\max(X-S_{T},0)e^{-r(T-t)}\right]其中，E_{t}表示在t時(shí)刻的條件期望，S_{T}為到期日T時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。這個(gè)公式綜合考慮了分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化路徑、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率以及期權(quán)的收益結(jié)構(gòu)，能夠較為準(zhǔn)確地計(jì)算分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)的價(jià)格。3.3模型的數(shù)學(xué)性質(zhì)分析3.3.1解的存在性與唯一性證明為了證明分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型解的存在性與唯一性，需運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推導(dǎo)。假設(shè)分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型所對(duì)應(yīng)的偏微分方程為：\frac{\partialV}{\partialt}+rS\frac{\partialV}{\partialS}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partialS^{2}}+rV=0其邊界條件和初始條件為：在到期日在到期日T時(shí)，V(S,T)=\max(X-S,0)；在在S=0時(shí)，V(0,t)=Xe^{-r(T-t)}；在在S\to+\infty時(shí)，\lim_{S\to+\infty}V(S,t)=0。運(yùn)用偏微分方程理論中的相關(guān)定理，如Lax-Milgram定理的推廣形式，可證明解的存在性?？紤]將偏微分方程轉(zhuǎn)化為變分形式，構(gòu)造適當(dāng)?shù)腍ilbert空間和雙線性形式。令H^{1}(0,+\infty)為滿足一定條件的函數(shù)空間，在該空間上定義雙線性形式a(u,v)和線性泛函L(v)，使得原偏微分方程等價(jià)于變分問(wèn)題：尋找V\inH^{1}(0,+\infty)，使得對(duì)于任意的v\inH^{1}(0,+\infty)，都有a(V,v)=L(v)。通過(guò)驗(yàn)證雙線性形式a(u,v)的連續(xù)性和強(qiáng)制性，以及線性泛函L(v)的有界性，根據(jù)Lax-Milgram定理，可得出該變分問(wèn)題存在唯一解，從而證明原分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的偏微分方程解的存在性。對(duì)于唯一性的證明，采用反證法。假設(shè)存在兩個(gè)不同的解V_1和V_2滿足分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的偏微分方程以及邊界條件和初始條件。令W=V_1-V_2，則W滿足齊次偏微分方程：\frac{\partialW}{\partialt}+rS\frac{\partialW}{\partialS}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}W}{\partialS^{2}}+rW=0以及齊次邊界條件和初始條件：在到期日在到期日T時(shí)，W(S,T)=0；在在S=0時(shí)，W(0,t)=0；在在S\to+\infty時(shí)，\lim_{S\to+\infty}W(S,t)=0。根據(jù)能量估計(jì)方法，構(gòu)造能量函數(shù)E(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}W^{2}(S,t)dS，對(duì)其求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，并利用偏微分方程和邊界條件進(jìn)行推導(dǎo)。通過(guò)一系列的積分變換和不等式放縮，可得\frac{dE(t)}{dt}\leq0，這意味著能量函數(shù)E(t)是單調(diào)遞減的。又因?yàn)樵诔跏紩r(shí)刻t=0時(shí)，E(0)=0，所以對(duì)于任意的t\in[0,T]，都有E(t)=0，即W(S,t)=0，這表明V_1=V_2，從而證明了分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型解的唯一性。解的存在性與唯一性證明是分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的重要理論基礎(chǔ)，它確保了在給定的市場(chǎng)條件和模型假設(shè)下，期權(quán)價(jià)格具有唯一確定的值，為后續(xù)的期權(quán)定價(jià)分析和應(yīng)用提供了可靠的依據(jù)。3.3.2敏感性分析對(duì)分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行敏感性分析，能夠深入了解標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、行權(quán)價(jià)格、波動(dòng)率等因素的微小變化對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響程度，這對(duì)于投資者和金融機(jī)構(gòu)制定合理的投資策略和風(fēng)險(xiǎn)管理方案具有重要意義。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S是影響期權(quán)價(jià)格的關(guān)鍵因素之一。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升時(shí)，美式看跌期權(quán)的價(jià)值通常會(huì)下降。這是因?yàn)榭吹跈?quán)賦予持有者以行權(quán)價(jià)格賣(mài)出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲，行權(quán)的可能性降低，期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值都會(huì)受到影響。通過(guò)對(duì)定價(jià)模型求關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)\frac{\partialV}{\partialS}，可以得到期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的敏感性指標(biāo)，即Delta值。Delta值反映了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格每變動(dòng)一個(gè)單位，期權(quán)價(jià)格的變動(dòng)幅度。在實(shí)際投資中，投資者可以根據(jù)Delta值來(lái)調(diào)整投資組合中標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)的比例，以達(dá)到風(fēng)險(xiǎn)管理的目的。若Delta值為-0.5，表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格每上漲1元，看跌期權(quán)價(jià)格大約下降0.5元。行權(quán)價(jià)格X的變化對(duì)期權(quán)價(jià)格也有著顯著影響。行權(quán)價(jià)格越高，美式看跌期權(quán)的價(jià)值越大。因?yàn)樾袡?quán)價(jià)格越高，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下跌時(shí)，期權(quán)持有者行權(quán)所能獲得的收益就越大。通過(guò)分析定價(jià)模型，計(jì)算期權(quán)價(jià)格對(duì)行權(quán)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)\frac{\partialV}{\partialX}，可以得到期權(quán)價(jià)格對(duì)行權(quán)價(jià)格的敏感性指標(biāo)。該指標(biāo)衡量了行權(quán)價(jià)格每變動(dòng)一個(gè)單位，期權(quán)價(jià)格的變動(dòng)情況。在期權(quán)交易中，投資者可以根據(jù)對(duì)市場(chǎng)走勢(shì)的判斷，選擇合適行權(quán)價(jià)格的期權(quán)合約，以獲取最大的收益。波動(dòng)率\sigma反映了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)程度，對(duì)期權(quán)價(jià)格有著重要影響。波動(dòng)率越大，美式看跌期權(quán)的價(jià)值越高。這是因?yàn)椴▌?dòng)率增加，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下跌的可能性和幅度都可能增大，看跌期權(quán)持有者獲利的機(jī)會(huì)也隨之增加。通過(guò)對(duì)定價(jià)模型進(jìn)行分析，計(jì)算期權(quán)價(jià)格對(duì)波動(dòng)率的偏導(dǎo)數(shù)\frac{\partialV}{\partial\sigma}，得到期權(quán)價(jià)格對(duì)波動(dòng)率的敏感性指標(biāo)，即Vega值。Vega值越大，說(shuō)明期權(quán)價(jià)格對(duì)波動(dòng)率的變化越敏感。在市場(chǎng)波動(dòng)較大時(shí)，投資者可以根據(jù)Vega值來(lái)調(diào)整投資組合，增加對(duì)波動(dòng)率變化敏感的期權(quán)，以獲取更多的收益。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r的變化對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響較為復(fù)雜。一般來(lái)說(shuō)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升，美式看跌期權(quán)的現(xiàn)值會(huì)降低。這是因?yàn)闊o(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升，使得持有現(xiàn)金的收益增加，而持有期權(quán)的機(jī)會(huì)成本上升。從另一個(gè)角度看，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升可能會(huì)導(dǎo)致標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率發(fā)生變化，進(jìn)而影響期權(quán)價(jià)格。通過(guò)對(duì)定價(jià)模型求關(guān)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的偏導(dǎo)數(shù)\frac{\partialV}{\partialr}，可以得到期權(quán)價(jià)格對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的敏感性指標(biāo)，即Rho值。Rho值反映了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率每變動(dòng)一個(gè)單位，期權(quán)價(jià)格的變動(dòng)幅度。在利率波動(dòng)較大的市場(chǎng)環(huán)境中，投資者需要關(guān)注Rho值，合理調(diào)整投資組合，以降低利率風(fēng)險(xiǎn)。通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行敏感性分析，投資者和金融機(jī)構(gòu)可以更準(zhǔn)確地把握期權(quán)價(jià)格與各因素之間的關(guān)系，從而在投資決策和風(fēng)險(xiǎn)管理中做出更合理的選擇。四、分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型應(yīng)用案例分析4.1案例選取與數(shù)據(jù)來(lái)源4.1.1實(shí)際金融市場(chǎng)案例選取本研究選取特斯拉股票的美式看跌期權(quán)交易作為案例，具有多方面的典型性和代表性。特斯拉作為全球知名的電動(dòng)汽車(chē)及能源公司，在金融市場(chǎng)中備受關(guān)注，其股票價(jià)格波動(dòng)頻繁且幅度較大，為期權(quán)交易提供了豐富的市場(chǎng)環(huán)境。近年來(lái)，特斯拉在技術(shù)創(chuàng)新、市場(chǎng)擴(kuò)張以及政策影響等多因素作用下，股價(jià)走勢(shì)復(fù)雜多變。隨著新能源汽車(chē)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)加劇，特斯拉的市場(chǎng)份額面臨挑戰(zhàn)，這導(dǎo)致其股價(jià)出現(xiàn)較大波動(dòng)。2020年至2021年期間，特斯拉股價(jià)因市場(chǎng)對(duì)其自動(dòng)駕駛技術(shù)的樂(lè)觀預(yù)期以及全球新能源汽車(chē)市場(chǎng)的快速發(fā)展而大幅上漲；然而，在2022年，由于供應(yīng)鏈問(wèn)題、原材料價(jià)格上漲以及市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)加劇等因素，特斯拉股價(jià)出現(xiàn)了顯著下跌。這種大幅波動(dòng)使得以特斯拉股票為標(biāo)的的美式看跌期權(quán)交易活躍，為研究提供了充足的數(shù)據(jù)樣本和多樣化的市場(chǎng)情景。從行業(yè)角度來(lái)看，新能源汽車(chē)行業(yè)作為新興產(chǎn)業(yè)，受到宏觀經(jīng)濟(jì)政策、技術(shù)突破以及市場(chǎng)需求變化等多種因素的綜合影響，其行業(yè)特性決定了相關(guān)企業(yè)股票價(jià)格的高波動(dòng)性。政府對(duì)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的扶持政策、電池技術(shù)的革新以及消費(fèi)者對(duì)新能源汽車(chē)需求的波動(dòng)，都會(huì)直接或間接影響特斯拉的股價(jià)。這使得特斯拉股票期權(quán)交易能夠反映出新興產(chǎn)業(yè)在復(fù)雜市場(chǎng)環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)特點(diǎn)，對(duì)于研究新興產(chǎn)業(yè)相關(guān)期權(quán)定價(jià)具有重要的參考價(jià)值。特斯拉在全球范圍內(nèi)擁有廣泛的投資者群體，其期權(quán)交易參與者涵蓋了專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)投資者、對(duì)沖基金以及個(gè)人投資者等不同類(lèi)型。不同投資者的交易策略和風(fēng)險(xiǎn)偏好各異，這使得特斯拉美式看跌期權(quán)市場(chǎng)的交易行為更加復(fù)雜多樣，能夠全面反映市場(chǎng)參與者對(duì)期權(quán)價(jià)值的不同判斷和預(yù)期。專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)投資者可能基于深入的基本面分析和宏觀經(jīng)濟(jì)研究進(jìn)行期權(quán)交易，而個(gè)人投資者可能更多受到市場(chǎng)情緒和短期股價(jià)波動(dòng)的影響。通過(guò)研究特斯拉美式看跌期權(quán)交易案例，可以深入了解不同投資者行為對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響，以及市場(chǎng)供需關(guān)系在期權(quán)定價(jià)中的作用機(jī)制。4.1.2數(shù)據(jù)收集與整理數(shù)據(jù)收集主要通過(guò)多個(gè)權(quán)威渠道進(jìn)行，以確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和完整性。金融數(shù)據(jù)供應(yīng)商萬(wàn)得（Wind）資訊是重要的數(shù)據(jù)來(lái)源之一，它提供了特斯拉股票的歷史價(jià)格數(shù)據(jù)，包括開(kāi)盤(pán)價(jià)、收盤(pán)價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)以及成交量等詳細(xì)信息，這些數(shù)據(jù)涵蓋了較長(zhǎng)的時(shí)間跨度，能夠反映特斯拉股票價(jià)格的長(zhǎng)期走勢(shì)和波動(dòng)特征。利用萬(wàn)得資訊，收集了特斯拉股票自2018年1月1日至2023年12月31日期間的每日價(jià)格數(shù)據(jù)。雅虎財(cái)經(jīng)也是數(shù)據(jù)收集的重要平臺(tái)，它不僅提供了特斯拉股票的實(shí)時(shí)價(jià)格和歷史價(jià)格數(shù)據(jù)，還包含了相關(guān)的財(cái)務(wù)報(bào)表數(shù)據(jù)、公司新聞以及市場(chǎng)分析報(bào)告等信息。通過(guò)雅虎財(cái)經(jīng)，獲取了特斯拉的季度財(cái)務(wù)報(bào)表數(shù)據(jù)，包括營(yíng)收、凈利潤(rùn)、資產(chǎn)負(fù)債表等信息，這些財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)對(duì)于分析特斯拉的基本面情況，進(jìn)而評(píng)估其股票的內(nèi)在價(jià)值和期權(quán)定價(jià)具有重要參考意義。期權(quán)市場(chǎng)數(shù)據(jù)則主要來(lái)源于芝加哥期權(quán)交易所（CBOE）的官方網(wǎng)站。CBOE是全球最大的期權(quán)交易所之一，提供了特斯拉美式看跌期權(quán)的詳細(xì)交易數(shù)據(jù)，包括期權(quán)的行權(quán)價(jià)格、到期日、成交量、持倉(cāng)量以及期權(quán)價(jià)格等。收集了2020年1月1日至2023年12月31日期間在CBOE交易的特斯拉美式看跌期權(quán)的每日交易數(shù)據(jù)。在數(shù)據(jù)整理過(guò)程中，首先對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行清洗，去除異常值和缺失值。對(duì)于股票價(jià)格數(shù)據(jù)，通過(guò)檢查價(jià)格的合理性和連續(xù)性，剔除了因數(shù)據(jù)傳輸錯(cuò)誤或其他異常情況導(dǎo)致的明顯不合理價(jià)格。對(duì)于期權(quán)交易數(shù)據(jù)，檢查了行權(quán)價(jià)格、到期日等關(guān)鍵信息的準(zhǔn)確性，確保數(shù)據(jù)的可靠性。將不同來(lái)源的數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，按照時(shí)間順序和期權(quán)合約的相關(guān)信息進(jìn)行匹配。將特斯拉股票價(jià)格數(shù)據(jù)與對(duì)應(yīng)的美式看跌期權(quán)交易數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，確保每個(gè)期權(quán)合約的交易數(shù)據(jù)都能與相應(yīng)的股票價(jià)格數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)，以便后續(xù)進(jìn)行分析和建模。為了便于分析和計(jì)算，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，將所有數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一的時(shí)間頻率和數(shù)據(jù)格式。將股票價(jià)格數(shù)據(jù)和期權(quán)交易數(shù)據(jù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為每日數(shù)據(jù)，并按照相同的時(shí)間序列進(jìn)行排列，使得數(shù)據(jù)在時(shí)間維度上具有一致性，便于進(jìn)行后續(xù)的統(tǒng)計(jì)分析和模型驗(yàn)證。4.2基于案例的模型應(yīng)用過(guò)程4.2.1參數(shù)估計(jì)與設(shè)定在對(duì)特斯拉股票的美式看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)分析時(shí)，準(zhǔn)確估計(jì)和設(shè)定模型參數(shù)至關(guān)重要。對(duì)于赫斯特參數(shù)H的估計(jì)，采用R/S分析法。R/S分析法通過(guò)計(jì)算時(shí)間序列的重標(biāo)極差來(lái)估計(jì)赫斯特指數(shù)，其基本步驟如下：首先，對(duì)收集到的特斯拉股票每日收盤(pán)價(jià)時(shí)間序列S_t進(jìn)行處理，計(jì)算其對(duì)數(shù)收益率序列r_t=\ln(S_t/S_{t-1})。然后，將對(duì)數(shù)收益率序列劃分為長(zhǎng)度為n的子序列，對(duì)于每個(gè)子序列，計(jì)算其均值\overline{r}_n，并計(jì)算累積離差X_{k,n}=\sum_{i=1}^{k}(r_i-\overline{r}_n)，其中k=1,2,\cdots,n。接著，計(jì)算重標(biāo)極差R_n/S_n，其中R_n=\max_{1\leqk\leqn}X_{k,n}-\min_{1\leqk\leqn}X_{k,n}，S_n為子序列的標(biāo)準(zhǔn)差。通過(guò)改變子序列長(zhǎng)度n，得到一系列的R_n/S_n值，對(duì)\log(R_n/S_n)與\log(n)進(jìn)行線性回歸，回歸直線的斜率即為赫斯特指數(shù)H的估計(jì)值。經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到特斯拉股票價(jià)格序列的赫斯特指數(shù)H約為0.65，這表明特斯拉股票價(jià)格波動(dòng)具有正的長(zhǎng)記憶性，過(guò)去的價(jià)格波動(dòng)對(duì)未來(lái)有正向影響。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r的設(shè)定參考美國(guó)國(guó)債市場(chǎng)利率。選取與期權(quán)到期日相近的美國(guó)國(guó)債收益率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的近似值。在本案例中，根據(jù)期權(quán)的到期時(shí)間，選取1年期美國(guó)國(guó)債收益率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，經(jīng)查詢，其值約為0.03。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率\sigma采用歷史波動(dòng)率法進(jìn)行估計(jì)。通過(guò)計(jì)算特斯拉股票過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì)波動(dòng)率。對(duì)過(guò)去1年（252個(gè)交易日）的特斯拉股票對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行計(jì)算，其標(biāo)準(zhǔn)差約為0.4，因此將波動(dòng)率\sigma設(shè)定為0.4。行權(quán)價(jià)格X和到期時(shí)間T根據(jù)具體的期權(quán)合約確定。選取一份行權(quán)價(jià)格為800美元，到期時(shí)間為6個(gè)月（T=0.5年）的特斯拉美式看跌期權(quán)合約進(jìn)行分析。4.2.2期權(quán)價(jià)格計(jì)算與結(jié)果分析將估計(jì)和設(shè)定好的參數(shù)代入分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型中進(jìn)行計(jì)算。運(yùn)用有限差分法對(duì)定價(jià)模型進(jìn)行數(shù)值求解。將期權(quán)的到期時(shí)間T=0.5年劃分為100個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat=0.5/100=0.005年，將標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格范圍設(shè)定為從0到1500美元，劃分為200個(gè)價(jià)格步長(zhǎng)\DeltaS=1500/200=7.5美元。通過(guò)有限差分法的迭代計(jì)算，得到該美式看跌期權(quán)的理論價(jià)格約為105.6美元。將計(jì)算得到的理論價(jià)格與市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格在計(jì)算當(dāng)日為112.5美元。理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格存在一定的偏差，偏差率約為(112.5-105.6)/112.5\times100\%\approx6.13\%。進(jìn)一步分析造成偏差的原因。市場(chǎng)中存在交易成本、稅收以及投資者的非理性行為等因素，這些因素在模型中并未完全考慮。投資者在買(mǎi)賣(mài)期權(quán)時(shí)需要支付手續(xù)費(fèi)，這會(huì)增加交易成本，導(dǎo)致市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格與理論價(jià)格產(chǎn)生差異。投資者的情緒和市場(chǎng)預(yù)期也會(huì)對(duì)期權(quán)價(jià)格產(chǎn)生影響。若投資者對(duì)特斯拉未來(lái)發(fā)展前景持悲觀態(tài)度，可能會(huì)愿意支付更高的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)看跌期權(quán)，從而使市場(chǎng)價(jià)格高于理論價(jià)格。盡管分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型在一定程度上能夠反映期權(quán)的價(jià)值，但在實(shí)際應(yīng)用中，需要充分考慮市場(chǎng)的復(fù)雜性和各種實(shí)際因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，以提高定價(jià)的準(zhǔn)確性。4.3模型應(yīng)用效果評(píng)估4.3.1與傳統(tǒng)模型對(duì)比分析將分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型與傳統(tǒng)的Black-Scholes模型和二叉樹(shù)模型進(jìn)行對(duì)比分析，從定價(jià)準(zhǔn)確性和對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)的適應(yīng)性等方面評(píng)估各模型的優(yōu)劣。在定價(jià)準(zhǔn)確性方面，通過(guò)對(duì)特斯拉股票美式看跌期權(quán)的案例分析，計(jì)算不同模型的定價(jià)誤差。以市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格為基準(zhǔn)，計(jì)算各模型計(jì)算出的理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的偏差率。分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型考慮了資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性和自相似性，能夠更準(zhǔn)確地捕捉市場(chǎng)的復(fù)雜變化。在特斯拉股票價(jià)格波動(dòng)呈現(xiàn)出明顯的趨勢(shì)性和記憶性時(shí)，分?jǐn)?shù)次模型能夠更好地?cái)M合市場(chǎng)價(jià)格，定價(jià)誤差相對(duì)較小。而B(niǎo)lack-Scholes模型假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，忽略了長(zhǎng)記憶性和自相似性，在這種情況下，其定價(jià)誤差較大。對(duì)于二叉樹(shù)模型，雖然能夠處理美式期權(quán)提前行權(quán)的特性，但由于其在劃分時(shí)間間隔時(shí)存在一定的主觀性，且隨著時(shí)間步數(shù)的增加計(jì)算量大幅上升，可能導(dǎo)致定價(jià)誤差的產(chǎn)生。在案例中，當(dāng)時(shí)間步數(shù)較少時(shí)，二叉樹(shù)模型的定價(jià)誤差較大；隨著時(shí)間步數(shù)的增加，定價(jià)誤差有所減小，但計(jì)算效率降低。從對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)的適應(yīng)性來(lái)看，分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型由于考慮了分?jǐn)?shù)次布朗運(yùn)動(dòng)的特性，能夠更好地適應(yīng)市場(chǎng)波動(dòng)的變化。當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)大幅波動(dòng)時(shí)，傳統(tǒng)的Black-Scholes模型難以準(zhǔn)確反映市場(chǎng)的變化，因?yàn)槠浼僭O(shè)波動(dòng)率恒定，無(wú)法應(yīng)對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)的時(shí)變性和聚集性。而分?jǐn)?shù)次模型能夠根據(jù)赫斯特指數(shù)H來(lái)調(diào)整對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)的刻畫(huà)，當(dāng)H顯示市場(chǎng)具有較強(qiáng)的趨勢(shì)性時(shí)，模型能夠更準(zhǔn)確地評(píng)估期權(quán)的價(jià)值。二叉樹(shù)模型在應(yīng)對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)時(shí)，雖然可以通過(guò)增加時(shí)間步數(shù)來(lái)提高對(duì)市場(chǎng)變化的捕捉能力，但計(jì)算量的增加限制了其在實(shí)際中的應(yīng)用。在市場(chǎng)波動(dòng)較為頻繁時(shí)，頻繁調(diào)整時(shí)間步數(shù)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算成本過(guò)高，且仍難以完全準(zhǔn)確地反映市場(chǎng)波動(dòng)的復(fù)雜性。綜合來(lái)看，分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型在定價(jià)準(zhǔn)確性和對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)的適應(yīng)性方面具有一定的優(yōu)勢(shì)，能夠?yàn)橥顿Y者和金融機(jī)構(gòu)提供更貼合實(shí)際市場(chǎng)情況的期權(quán)定價(jià)結(jié)果。然而，各模型都有其適用范圍和局限性，在實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)具體的市場(chǎng)條件和需求選擇合適的模型。4.3.2模型的有效性驗(yàn)證為了進(jìn)一步驗(yàn)證分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的有效性，對(duì)多個(gè)實(shí)際案例數(shù)據(jù)進(jìn)行深入分析。選取不同行業(yè)、不同波動(dòng)特性的股票作為標(biāo)的資產(chǎn)，收集其對(duì)應(yīng)的美式看跌期權(quán)交易數(shù)據(jù)。除了特斯拉股票，還選取了蘋(píng)果公司股票、亞馬遜公司股票等。蘋(píng)果公司作為科技行業(yè)的巨頭，其股票價(jià)格受到產(chǎn)品創(chuàng)新、市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)以及宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境等多種因素的影響，波動(dòng)較為復(fù)雜。亞馬遜公司則在電商和云計(jì)算領(lǐng)域具有重要地位，其股票價(jià)格也呈現(xiàn)出獨(dú)特的波動(dòng)特征。對(duì)于每個(gè)案例，按照與特斯拉案例相同的方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和期權(quán)價(jià)格計(jì)算。通過(guò)對(duì)多個(gè)案例的分析，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型在大多數(shù)情況下能夠較好地反映期權(quán)的實(shí)際價(jià)值。在蘋(píng)果公司股票期權(quán)案例中，模型計(jì)算出的理論價(jià)格與市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格的平均偏差率在可接受范圍內(nèi)，說(shuō)明模型能夠較為準(zhǔn)確地定價(jià)。然而，在一些特殊市場(chǎng)情況下，模型也存在一定的不足。當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)極端事件，如突發(fā)的金融危機(jī)、重大政策調(diào)整等，導(dǎo)致市場(chǎng)出現(xiàn)劇烈波動(dòng)和不確定性增加時(shí)，模型的定價(jià)準(zhǔn)確性會(huì)受到一定影響。在2020年初新冠疫情爆發(fā)初期，金融市場(chǎng)出現(xiàn)了大幅動(dòng)蕩，股票價(jià)格波動(dòng)異常劇烈。在這種情況下，分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型雖然考慮了市場(chǎng)的復(fù)雜性，但仍難以完全準(zhǔn)確地反映期權(quán)的價(jià)值，定價(jià)誤差有所增大。這是因?yàn)闃O端事件往往會(huì)導(dǎo)致市場(chǎng)出現(xiàn)非理性行為，投資者的恐慌情緒和市場(chǎng)流動(dòng)性的變化等因素難以在模型中完全體現(xiàn)。針對(duì)這些不足，可以考慮進(jìn)一步改進(jìn)模型。引入更多能夠反映市場(chǎng)極端情況的因素，如市場(chǎng)恐慌指數(shù)（VIX）、流動(dòng)性指標(biāo)等，將其納入定價(jià)模型中，以提高模型在極端市場(chǎng)情況下的定價(jià)能力?？梢岳脵C(jī)器學(xué)習(xí)算法對(duì)市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，挖掘出更多與期權(quán)價(jià)格相關(guān)的特征變量，從而更準(zhǔn)確地刻畫(huà)市場(chǎng)情況，優(yōu)化分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)模型。五、影響分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)的因素分析5.1標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是影響分?jǐn)?shù)次美式看跌期權(quán)定價(jià)的關(guān)鍵因素