高中數(shù)學(xué)空間向量教學(xué)練習(xí)題集前言空間向量作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是解決立體幾何問題的有力工具。它將幾何問題代數(shù)化，通過運(yùn)算簡(jiǎn)化了傳統(tǒng)幾何中繁瑣的邏輯推理和空間想象。本練習(xí)題集旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)掌握空間向量的基本概念、運(yùn)算方法及其在立體幾何中的應(yīng)用，提升利用向量思想解決實(shí)際問題的能力。練習(xí)題的設(shè)置注重層次性與遞進(jìn)性，從基礎(chǔ)鞏固到綜合應(yīng)用，希望能為大家的學(xué)習(xí)提供有益的輔助。使用時(shí)，建議同學(xué)們先回顧相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，再動(dòng)手實(shí)踐，遇到疑難問題多思考、多總結(jié)，方能真正領(lǐng)會(huì)空間向量的精髓。第一章空間向量的基本概念與線性運(yùn)算核心知識(shí)點(diǎn)回顧空間向量的定義、表示方法（有向線段、字母表示）；向量的模、零向量、單位向量、相反向量、相等向量；共線向量（平行向量）、共面向量的概念；空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義和運(yùn)算律；向量共線的充要條件；向量共面的充要條件。練習(xí)題一、基礎(chǔ)鞏固1.判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：(1)若兩個(gè)空間向量的模相等，則這兩個(gè)向量相等。(2)空間中任意兩個(gè)單位向量必相等。(3)零向量沒有方向。(4)若向量$\vec{a}$與$\vec$共線，向量$\vec$與$\vec{c}$共線，則向量$\vec{a}$與$\vec{c}$共線。(5)空間中任意三個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底。2.已知空間四邊形$ABCD$，連接$AC$、$BD$，設(shè)$M$、$N$分別是$AB$、$CD$的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式：(1)$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}$(2)$\vec{AB}+\frac{1}{2}(\vec{BD}+\vec{BC})$(3)$\vec{MN}-\frac{1}{2}(\vec{MA}+\vec{MC})$3.設(shè)$\vec{a}$，$\vec$是不共線的兩個(gè)向量，判斷下列各組向量是否共線：(1)$\vec{m}=2\vec{a}-\vec$，$\vec{n}=-4\vec{a}+2\vec$(2)$\vec{m}=\vec{a}+2\vec$，$\vec{n}=2\vec{a}+\vec$4.已知$O$是空間任意一點(diǎn)，$A$、$B$、$C$、$D$四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且$\vec{OA}=2x\vec{BO}+3y\vec{CO}+4z\vec{DO}$，求$2x+3y+4z$的值。二、能力提升5.如圖，在平行六面體$ABCD-A'B'C'D'$中，$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AD}=\vec$，$\vec{AA'}=\vec{c}$，點(diǎn)$P$是$CA'$的中點(diǎn)，點(diǎn)$M$是$CD'$的中點(diǎn)，試用$\vec{a}$、$\vec$、$\vec{c}$表示向量$\vec{AP}$和$\vec{AM}$。6.已知$A$、$B$、$C$三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)$O$，若$\vec{OP}=\frac{3}{4}\vec{OA}+\frac{1}{8}\vec{OB}+t\vec{OC}$，則$t$為何值時(shí)，$P$、$A$、$B$、$C$四點(diǎn)共面？7.設(shè)$\vec{a}$，$\vec$，$\vec{c}$是空間的三個(gè)不共面的向量，向量$\vec{p}=\vec{a}+\vec-\vec{c}$，$\vec{q}=3\vec{a}-2\vec+\vec{c}$，$\vec{r}=\vec{a}+4\vec-3\vec{c}$，試問向量$\vec{p}$、$\vec{q}$、$\vec{r}$是否共面？并說(shuō)明理由。第二章空間向量的數(shù)量積核心知識(shí)點(diǎn)回顧空間向量數(shù)量積的定義（$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\langle\vec{a},\vec\rangle$）及其幾何意義；數(shù)量積的性質(zhì)（$\vec{a}\perp\vec\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec=0$；$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$）；數(shù)量積的運(yùn)算律（交換律、數(shù)乘結(jié)合律、分配律）；利用數(shù)量積求向量的模、夾角，判斷或證明向量垂直。練習(xí)題一、基礎(chǔ)鞏固1.已知空間向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=\sqrt{3}$，$\langle\vec{a},\vec\rangle=30^\circ$，求$\vec{a}\cdot\vec$，$|\vec{a}+\vec|$。2.已知空間向量$\vec{a}$，$\vec$，$\vec{c}$，且$\vec{a}\perp\vec$，$\langle\vec{a},\vec{c}\rangle=60^\circ$，$\langle\vec,\vec{c}\rangle=30^\circ$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec|=2$，$|\vec{c}|=3$，求$\vec{a}+\vec+\vec{c}$的模。3.已知空間四邊形$OABC$中，$OA=OB=OC$，且$\angleAOB=\angleBOC=\angleCOA=60^\circ$，$M$、$N$分別是$OA$、$BC$的中點(diǎn)，求$\vec{MN}\cdot\vec{OA}$。4.設(shè)$\vec{a}$，$\vec$是空間兩個(gè)非零向量，若$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|$，則向量$\vec{a}$與$\vec$有何關(guān)系？若$\vec{a}\cdot\vec=-|\vec{a}||\vec|$呢？二、能力提升5.如圖，在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱長(zhǎng)為$a$，求：(1)$\vec{A_1B}\cdot\vec{D_1B_1}$；(2)$\vec{AC_1}$與$\vec{B_1C}$的夾角。6.已知空間三點(diǎn)$A$、$B$、$C$，向量$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AC}=\vec$，且$\vec{a}\cdot\vec<0$，則$\triangleABC$()A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不確定7.設(shè)$\vec{a}$，$\vec$，$\vec{c}$是空間的三個(gè)向量，證明：$|\vec{a}+\vec+\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a}\cdot\vec+\vec\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a})$。并利用此結(jié)論證明三角形不等式：$|\vec{a}|+|\vec|+|\vec{c}|\geq|\vec{a}+\vec+\vec{c}|$。第三章空間向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算核心知識(shí)點(diǎn)回顧空間直角坐標(biāo)系的建立；空間向量的坐標(biāo)表示；向量的坐標(biāo)運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積）；利用坐標(biāo)判斷向量共線；利用坐標(biāo)判斷向量垂直；利用坐標(biāo)求向量的模、夾角；空間中點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的關(guān)系；線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。練習(xí)題一、基礎(chǔ)鞏固1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$A(1,2,3)$，$B(-1,0,1)$，求：(1)向量$\vec{AB}$及其模；(2)線段$AB$的中點(diǎn)坐標(biāo)；//(3)點(diǎn)$A$關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)$A'$的坐標(biāo)；(4)向量$\vec{AB}$的單位向量。2.已知空間向量$\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec=(-1,4,-2)$，$\vec{c}=(7,5,\lambda)$，若$\vec{a}$、$\vec$、$\vec{c}$.共面，求實(shí)數(shù)$\lambda$的值。3.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(-2,m,n)$，分別求滿足下列條件的$m$，$-n$的值：(1)$\vec{a}\parallel\vec$.；(2)$\vec{a}\perp\vec$.；(3)$\vec{a}.$與.$vec$.的夾角為鈍角$(m=n)$.4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$P(1,√2,√√√)$，求點(diǎn)$P$到坐標(biāo)平面.$zOx$的距離。二、能力提升*.*5.已知$A(1,t,-√√)$，$B(2,t-√,√√)$，若$|\vec{AB}|=√√$，求實(shí)數(shù)$t$的值。6.如圖，在棱長(zhǎng)為$√$的正方體$ABCD-A_1B_√C_1D_1$中,$E$、$F$分別是$BB_1$、$CD$的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量$\vec{AE}$與$\vec{D_1F}$的夾角的余弦值。7.***已知空間三點(diǎn)$A(√,√,√)$，$B(√,√,√)$，$C(√,√,√)$，試判斷$\triangleABC$的形狀，并證明你的結(jié)論。第四章空間向量的應(yīng)用核心知識(shí)點(diǎn)回顧利用空間向量證明空間中的平行關(guān)系（線線平行、線面平行、面面平行）；利用空間向量證明空間中的垂直關(guān)系（線線垂直、線面垂直、面面垂直）；利用空間向量求空間角（異面直線所成的角；直線與平面所成*角；二面角）；利用空間向量求空間距離（點(diǎn)到平面的距離為主，了解異面直線間距離等）。練習(xí)題**一、基礎(chǔ)鞏固*.*1.已知空間四邊形$ABCD$中，$AB⊥CD*,$$AC⊥BD$，求證：$AD⊥BC$。2.如圖，在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$是棱$BC$的中點(diǎn)，求證：$BD_1\parallel$平面$C_1DE$。3.在三棱錐$P-ABC$中，$PA⊥$平面$ABC$，$AB⊥AC$，$PA=AB=AC$，$E$是$PC$的中點(diǎn)，求證：$AE⊥$平面$PBC$。4.已知正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱長(zhǎng)為$a$，求異面直線$A_1B$與$B_1C$所成的角。二、能力提升5.如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA⊥$平面$ABCD$，$PA=AD=√$，$AB=√$，點(diǎn)$E$是線段$PD$的中點(diǎn)。(1)求證：$AE⊥$平面$PCD$；(2)求直線$EC$與平面$ABCD$所成角的正切值。6.如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$∠ABC=90°$，$AB=BC=AA_1=√$，點(diǎn)$D$為$A_1C_1$的中點(diǎn)。(1)求證：$B_1D⊥$平面$A_1BC$；(2)求二面角$A-BC-A_1$的余弦值。7.在棱長(zhǎng)為$√$的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，求點(diǎn)$A_1$到平面$AB_1D_1$的距離。參考答案與提示（注：此處僅提供簡(jiǎn)要答案或提示思路，詳細(xì)解題過程需同學(xué)們自行完成）第一章空間向量的基本概念與線性運(yùn)算一、基礎(chǔ)鞏固1.(1)假；(2)假；(3)假；(4)假（需考慮零向量）；(5)假。2.(1)$\vec{AD}$；(2)$\vec{AN}$；(3)$\vec{0}$。3.(1)共線；(2)不共線。4.$-1$（提示：利用共面向量定理的推論，將所有向量用$\vec{OA}$、$\vec{OB}$、$\vec{OC}$、$\vec{OD}$表示，并令其系數(shù)和為$1$）。二、能力提升5.$\vec{AP}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec+\frac{1}{2}\vec{c}$；$\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec+\frac{1}{2}\vec{c}$。6.$t=\frac{1}{8}$（提示：利用四點(diǎn)共面的充要條件，系數(shù)和為$1$）。7.共面（提示：假設(shè)$\vec{r}=x\vec{p}+y\vec{q}$，解方程組看是否有解）。第二章空間向量的數(shù)量積一、基礎(chǔ)鞏固1.$\vec{a}\cdot\vec=3$；$|\vec{a}+\vec|=\sqrt{7+6\sqrt{3}}$。2.$|\vec{a}+\vec+\vec{c}|=\sqrt{25+6\sqrt{3}}$。3.$\vec{MN}\cdot\vec{OA}=\frac{1}{4}OA^2$。4.$\vec{a}$與$\vec$同向；$\vec{a}$與$\vec$反向。二、能力提升5.(1)$\vec{A_1B}\cdot\vec{D_1B_1}=a^2$；(2)夾角為$60^\circ$。6.B。7.（略，展開證明即可；三角形不等式可結(jié)合絕對(duì)值性質(zhì)或平方后利用數(shù)量積非負(fù)性證