此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場號(hào)座位號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場號(hào)座位號(hào)數(shù)學(xué)（一）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值組成的集合是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，，當(dāng)，即時(shí)，顯然滿足條件；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以或，即或，解得或，綜上，實(shí)數(shù)的取值組成的集合是，故選D．2．i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則下列說法正確的是（）A． B．C．z的虛部為 D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限【答案】D【解析】由已知，所以，，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；的虛部是，C錯(cuò)；對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第三象限，D正確，故選D．3．下列有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是（）A．的增區(qū)間為B．“”是“”的充分不必要條件C．若集合中只有兩個(gè)子集，則D．對(duì)于命題p：存在，使得，則任意，均有【答案】C【解析】A．令，由，解得，由二次函數(shù)的性質(zhì)知：t在上遞增，在上遞減，又在上遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在上遞增，故正確；B．當(dāng)時(shí)，成立，故充分，當(dāng)成立時(shí)，解得或，故不必要，故正確；C．若集合中只有兩個(gè)子集，則集合只有一個(gè)元素，即方程有一根，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，所以或，故錯(cuò)誤；D．因?yàn)槊}p：存在，使得是存在量詞命題，則其否定為全稱量詞命題，即任意，均有，故正確，故選C．4．在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．若，，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)列遞增 B．C．?dāng)?shù)列前2020項(xiàng)和最小 D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，即，，所以，．因?yàn)?，，所以，，所以公差，所以?shù)列是遞增數(shù)列，其前1010項(xiàng)和最小，所以C錯(cuò)誤，故選C．5．若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，令，，則在上是單調(diào)增函數(shù)，又，所以，即，故選A．6．在棱長為1的正方體中，M為底面ABCD的中心，，，N為線段AQ的中點(diǎn)，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）①CN與QM共面；②三棱錐的體積跟的取值無關(guān)；③當(dāng)時(shí)，過A，Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為；④時(shí)，．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在中，因?yàn)镸，N為AC，AQ的中點(diǎn)，所以，所以CN與QM共面，所以①正確；由，因?yàn)镹到平面ABCD的距離為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無關(guān)，所以②正確；當(dāng)時(shí)，取，連接，則，又，所以，所以共面，即過A，Q，M三點(diǎn)的正方體的截面為ACHQ，由，則ACHQ是等腰梯形，且，所以平面截正方體所得截面的周長為，所以③正確；當(dāng)時(shí)，，可得，，取的中點(diǎn)分別為，連接，則，在直角三角形中，，則，所以不成立，所以④不正確，所以正確的命題個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選C．7．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且，則直線OM的斜率的最大值為（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋O(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則要想求解直線OM的斜率的最大值，此時(shí)，設(shè)，因?yàn)椋裕?，解得，由于，所以，即，由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故直線OM的斜率的最大值為，故選C．8．已知定義域?yàn)榈膯握{(diào)遞增函數(shù)滿足：，有，則方程的解的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】因定義域?yàn)榈膯握{(diào)遞增函數(shù)滿足：，有，則存在唯一正實(shí)數(shù)使得，且，即，于是得，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，因此，，方程，于是得方程的解的個(gè)數(shù)是函數(shù)與的圖象公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象如圖，觀察圖象知，函數(shù)與的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以方程的解的個(gè)數(shù)為3，故選A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．立德中學(xué)舉行黨史知識(shí)競賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照[50，60）?[60，70）?[70，80）?[80，90）?[90，100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）A．圖中的x值為 B．這組數(shù)據(jù)的極差為50C．得分在80分及以上的人數(shù)為400 D．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為77【答案】ACD【解析】由，可解得，故選項(xiàng)A正確；頻率分布直方圖無法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故選項(xiàng)B不正確；得分在80分及以上的人數(shù)的頻率為，故人數(shù)為，故選項(xiàng)C正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：，故選項(xiàng)D正確，故選ACD．10．已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為B．是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心C．是曲線的一條對(duì)稱軸D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】，，A對(duì)；是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心，B錯(cuò)；，，，時(shí)，，∴是的一條對(duì)稱軸，C對(duì)；，，，∴在上單調(diào)遞增，D對(duì)，故選ACD．11．圓和圓的交點(diǎn)為，，則有（）A．公共弦所在直線方程為B．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為C．公共弦的長為D．圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABD【解析】圓的圓心，半徑，選項(xiàng)A：由和兩式作差得，則公共弦所在直線方程為，判斷正確；選項(xiàng)B：圓心到直線的距離為，則圓上動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值為，判斷正確；選項(xiàng)C：公共弦的長．判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：圓心到直線的距離為，又圓的半徑，則圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為．判斷正確，故選ABD．12．如圖，圓О是邊長為的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)D，點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，（，），則可以取值為（）A． B． C． D．1【答案】CD【解析】根據(jù)三角形面積公式得到，可得到內(nèi)切圓的半徑為1；以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，，∵，∴，∴，，∴，，，，故選項(xiàng)CD滿足，故選CD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，，，且，，，則__________．【答案】或【解析】由，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，又，所以．由余弦定理，即，解得或（舍去），由正弦定理得，即，所以，故答案為．14．設(shè)，則______．【答案】1【解析】由題意令，可得，令，可得，所以，故答案為1．15．某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有多少種？【答案】120【解析】由題設(shè)可得4種顏色必須全用上，1，5，6這三塊共有種栽種方法，如果2與5或6同色，則2，3，4共有；如果2與5或6異色，則2，3，4共有；故不同的栽種方法總數(shù)為，故答案為120．16．有五個(gè)球編號(hào)分別為號(hào)，有五個(gè)盒子編號(hào)分別也為號(hào)，現(xiàn)將這五個(gè)球放入這五個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)球，則恰有四個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)不同的放法種數(shù)為_________（用數(shù)字作答），記為盒子與球的編號(hào)相同的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望___________．【答案】，1【解析】恰有四個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)不同，就是恰有1個(gè)編號(hào)相同，先選出1個(gè)小球，放到對(duì)應(yīng)序號(hào)的盒子里，有種情況，不妨設(shè)5號(hào)球放在5號(hào)盒子里，其余四個(gè)球的放法為，1，4，，，3，4，，，4，1，，，1，4，，，4，1，，，4，2，，，1，2，，，3，1，，，3，2，共9種，故恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同的投放方法總數(shù)為種；若恰有2個(gè)編號(hào)相同，先在五個(gè)球中任選兩個(gè)球投放到與球編號(hào)相同的盒子內(nèi)有種，剩下的三個(gè)球，不妨設(shè)編號(hào)為3，4，5，投放3號(hào)球的方法數(shù)為，則投放4，5號(hào)球的方法只有一種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種；若恰有3個(gè)編號(hào)相同，先在五個(gè)盒子中確定3個(gè)，使其編號(hào)與球的編號(hào)相同，有種情況，剩下有2個(gè)盒子放2個(gè)球；其編號(hào)與球的編號(hào)不同，只有1種情況；由分步計(jì)數(shù)原理可知共有種；若恰有5個(gè)編號(hào)相同（不可能恰有4個(gè)相同），有1種方法，因?yàn)檫@五個(gè)球放入這五個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)球共有種方法，所以0個(gè)編號(hào)相同的方法為種，綜上，可取的值為0，1，2，3，5，，，，故答案為45，1．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若D為BC上一點(diǎn)，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，因?yàn)?，所以由正弦定理得，即．因?yàn)椋?，即，因?yàn)椋裕?）在中，因?yàn)?，，所以．由余弦定理得，即，解得（舍去）．因?yàn)椋?，即．因?yàn)?，所以，解得，所以的面積，即的面積為．18．（12分）如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，M為棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面平面PAC；（2）若異面直線AM與BC所成角的余弦值為，求此時(shí)平面ABM與平面PBC所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)樵凇鰽BC中，，，，所以由余弦定理得，所以，所以，所以．又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC．又平面ABM，所以平面平面PAC．（2）由（1）知直線AB，AC，AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，，設(shè)，則，所以，．設(shè)異面直線AM與BC所成的角為，則，即，解得，所以．設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，所以；設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，所以，所以，所以平面ABM與平面PBC所成銳二面角的余弦值為．19．（12分）已知數(shù)列滿足，且，若，的前項(xiàng)和為．（1）求證：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求滿足不等式的最小正整數(shù)的值．【答案】（1）證明見解析，；（2），最小正整數(shù)．【解析】（1），又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，．（2）由（1）得：，則，，兩式作差得：，；，又，，，單調(diào)遞增，又，滿足不等式的最小正整數(shù)．20．（12分）1G和2G時(shí)代．我們的聽覺得以隨時(shí)隨地的延伸，掏出手機(jī)撥通電話，地球那頭的聲音近在咫尺．到了3G時(shí)代，我們的視覺也開始同步延伸，視頻通話隨時(shí)隨地，一個(gè)手機(jī)像一個(gè)小小窗口，面對(duì)面輕聲閑聊笑靨如花，天涯若比鄰．4G時(shí)代，我們的思想和觀念得以延伸，隨時(shí)的靈感隨時(shí)傳上網(wǎng)，隨手的視頻隨手拍和發(fā)，全球同步可讀可轉(zhuǎn)可評(píng)，個(gè)人所有的思想和觀點(diǎn)能夠在全球的信息網(wǎng)絡(luò)中延伸、保存、碰撞、交流，博客、微博、微信朋友圈、抖音等等這些我們生活中極其常見的社交網(wǎng)絡(luò)正是延伸與交流之所．現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y（單位，百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖．月份x123456收入y（百萬元）6．68．616．121．633．341．0（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（3）從前6個(gè)月的收入中隨機(jī)抽取2個(gè)，求恰有1個(gè)月的收入超過20百萬元的概率．參考數(shù)據(jù)：其中，設(shè)，．參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】（1）；（2），7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入；（3）．【解析】（1）散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布不是一條直線，相鄰兩點(diǎn)在軸上的差距是增大的趨勢．故選用作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程更合適．（2）由，取對(duì)數(shù)可得，設(shè)，所以，，，，，所以，，所以，，即，當(dāng)時(shí)，．（3）由題意可知1，2，3月的收入沒有超過20百萬，4，5，6月的收入超過20百萬．從前6個(gè)月的收入中隨機(jī)抽取2個(gè)，共有種不同的取法，其中恰有1個(gè)月的收入超過20百萬元共有種取法，則從前6個(gè)月的收入中隨機(jī)抽取2個(gè)，求恰有1個(gè)月的收入超過20百萬元的概率．21．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，，過點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，（點(diǎn)，異于點(diǎn)，），連接直線，交于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)位于第二象限時(shí)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意知，，又，所以，故橢圓