人教版數(shù)學(xué)

八年級下第十七章

勾股定理17.2.1勾股定理的逆定理1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、定理的概念、關(guān)系及勾股數(shù).（重點(diǎn)）2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形.（難點(diǎn)）

學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）打13個等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3段，4段，5段的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.情境導(dǎo)入思考：從前面我們知道古埃及人認(rèn)為一個三角形三邊長分別為3,4,5,那么這個三角形為直角三角形.按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎?大禹治水相傳，我國古代的大禹在治水時(shí)也用了類似的方法確定直角.情境導(dǎo)入下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題1

分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是知識點(diǎn)一

勾股定理的逆定理知識講解下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a,b,c:

①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題2

這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.問題3

古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個等式嗎？∵32+42=52，∴滿足.a2+b2=c2知識講解問題4

據(jù)此你有什么猜想呢?由上面幾個例子，我們猜想：命題2如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.我覺得這個猜想不準(zhǔn)確，因?yàn)闇y量結(jié)果可能有誤差.我也覺得猜想不嚴(yán)謹(jǐn)，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.知識講解勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.ACBabc

勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長邊所對應(yīng)的角為直角.特別說明：歸納總結(jié)知識講解△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc例1已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′知識講解證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，

∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.則ACaBbc知識講解例2

下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個三角形不是直角三角形.根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.知識講解例3

若△ABC的三邊a,b,c滿足a:b:c=3:4:5，試判斷△ABC的形狀.解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.已知三角形三邊的比例關(guān)系判斷三角形形狀：先設(shè)出參數(shù)，表示出三條邊的長，再用勾股定理的逆定理判斷其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三邊中有兩個相同的數(shù)，那么該三角形還是等腰三角形.知識講解

解：AF⊥EF.理由如下：設(shè)正方形的邊長為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.知識講解如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).知識點(diǎn)二

勾股數(shù)知識講解常見勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：

一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).知識講解

例1下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法點(diǎn)撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計(jì)算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.知識講解命題1

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.

命題2

如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.前面我們學(xué)習(xí)了兩個命題，分別為：知識點(diǎn)三

互逆命題與互逆定理知識講解命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：直角三角形a2+b2=c2題設(shè)結(jié)論

它們是題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個命題.問題1

兩個命題的條件和結(jié)論分別是什么？問題2兩個命題的條件和結(jié)論有何聯(lián)系？知識講解

一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題既可能成立，也可能不成立.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，我們稱這兩個定理互為逆定理.勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理.

題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個命題，叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題.歸納總結(jié)知識講解例1說出下列命題的逆命題,這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；(2)如果兩個實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；

(3)全等三角形的對應(yīng)角相等；

(4)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.內(nèi)錯角相等，兩條直線平行.如果兩個實(shí)數(shù)的絕對值相等，那么它們相等.

對應(yīng)角相等的三角形全等.

在角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

成立不成立不成立成立知識講解1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()

A.3，4，7B.5，12，13C.0.5，2，2.5D.1，3，52.將直角三角形的三邊長擴(kuò)大同樣的倍數(shù),則得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形BA隨堂練習(xí)3.在△ABC中，∠A,

∠B,∠C的對邊分別為a,b,c.①若∠C-∠B=∠A,則△ABC是直角三角形；②若c2=b2-a2,則△ABC是直角三角形,且∠C=90°；③若(c+a)(c-a)=b2,則△ABC是直角三角形;④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形.以上命題中的假命題有（）A.1個B.2個C.3個D.4個A

隨堂練習(xí)4.已知a、b、c是△ABC三邊的長，且滿足關(guān)系式

，則△ABC的形狀________________．等腰直角三角形5.(1)一個三角形的三邊長分別為15cm、20cm、25cm，則這個三角形最長邊上的高是_______cm;12(2)“等腰三角形兩底角相等”的逆定理為_______________________________________．有兩個角相等的三角形是等腰三角形隨堂練習(xí)6.已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n為大于1的正整數(shù)).試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由.解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2