大學(xué)高數(shù)b1期中考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)的無(wú)窮小是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^x-1\)3.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)是\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.設(shè)\(y=\sin^2x\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(2\sinx\)B.\(2\cosx\)C.\(\sin2x\)D.\(\cos2x\)5.曲線\(y=x^3-3x\)的拐點(diǎn)是（）A.\((0,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,2)\)D.不存在6.已知\(f^\prime(x_0)=2\)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{2h}\)等于（）A.1B.2C.4D.87.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(2x)dx\)等于（）A.\(F(2x)+C\)B.\(\frac{1}{2}F(2x)+C\)C.\(2F(2x)+C\)D.\(F(x)+C\)8.函數(shù)\(y=x^2\)在區(qū)間\([0,1]\)上滿足拉格朗日中值定理的\(\xi\)是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)9.\(\intxe^{-x}dx\)等于（）A.\(-xe^{-x}-e^{-x}+C\)B.\(xe^{-x}+e^{-x}+C\)C.\(-xe^{-x}+e^{-x}+C\)D.\(xe^{-x}-e^{-x}+C\)10.設(shè)\(f(x)\)為可導(dǎo)函數(shù)，且\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0-2\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}=4\)，則\(f^\prime(x_0)\)等于（）A.2B.\(-2\)C.4D.\(-4\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^x\)2.下列極限中，值為1的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)C.\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)3.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則下列式子成立的有（）A.\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)B.\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)C.\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}\)D.\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}\)4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^{-x^2}\)D.\(y=x^3\)5.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(F(x)\)，則（）A.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)B.\(F^\prime(x)=f(x)\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)D.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)6.下列曲線中，有水平漸近線的是（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\frac{x}{x+1}\)C.\(y=e^{-x}\)D.\(y=\arctanx\)7.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f^\prime(x)>0\)，則（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最小值為\(f(a)\)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最大值為\(f(b)\)D.存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)\)8.下列積分中，值為0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x\sinxdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx\)D.\(\int_{-1}^{1}\cosxdx\)9.已知\(y=f(x)\)可導(dǎo)，且\(y^\prime=f^\prime(x)\)，則\(\fracgouiway{dx}f(2x)\)等于（）A.\(2f^\prime(2x)\)B.\(f^\prime(2x)\)C.\(\frac{1}{2}f^\prime(2x)\)D.令\(u=2x\)，則\(\fraccaokqua{dx}f(2x)=f^\prime(u)\cdot2=2f^\prime(2x)\)10.函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)（）A.在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增B.在\((0,2)\)上單調(diào)遞減C.在\((2,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.有極大值\(1\)，極小值\(-3\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定有定義。（）2.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的乘積一定是無(wú)窮小量。（）3.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）4.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）5.\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)。（）6.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）7.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）8.曲線\(y=x^4\)沒有拐點(diǎn)。（）9.設(shè)\(f(x)\)是連續(xù)函數(shù)，則\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)。（）10.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，且\(f^\prime(x_0)>0\)，則存在\(\delta>0\)，使得\(f(x)\)在\((x_0-\delta,x_0+\delta)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\)答案：利用洛必達(dá)法則，分子分母分別求導(dǎo)兩次，原式\(=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}\)。2.求函數(shù)\(y=x^3-6x^2+9x-5\)的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：\(y^\prime=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=1\)，\(x=3\)。在\((-\infty,1)\)和\((3,+\infty)\)上\(y^\prime>0\)，函數(shù)遞增；在\((1,3)\)上\(y^\prime<0\)，函數(shù)遞減。極大值\(y(1)=-1\)，極小值\(y(3)=-5\)。3.計(jì)算\(\intx\cosxdx\)答案：用分部積分法，令\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)，則\(du=dx\)，\(v=\sinx\)，\(\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C\)。4.簡(jiǎn)述函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。答案：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。即若函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值，從而連續(xù)；但連續(xù)函數(shù)在某些點(diǎn)可能不存在切線，即不可導(dǎo)，如\(y=|x|\)在\(x=0\)處。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的漸近線情況。答案：垂直漸近線：令\(x^2-1=0\)，得\(x=\pm1\)，所以\(x=\pm1\)是垂直漸近線；水平漸近線：\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2-1}=0\)，所以\(y=0\)是水平漸近線。2.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(a)=f(b)\)，請(qǐng)說明羅爾定理的意義及作用。答案：羅爾定理表明在此條件下，至少存在一點(diǎn)\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi)=0\)。意義在于揭示了函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)值相等時(shí)，內(nèi)部必有導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。作用是為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)提供理論基礎(chǔ)，常用于證明等式等。3.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常通過求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)（不定積分），再用牛頓-萊布尼茨公式求解。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果含任意常數(shù)；定積分是一個(gè)數(shù)值，由被積函數(shù)、積分區(qū)間確定，與積分變量無(wú)關(guān)。4.舉例說明如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)。若\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，\(x\inI\)，則\(f(x)\)在\(I\)上是凹的；若\(f^{\prime\prime}(x)<0\)，\(x\inI\)，則\(f(x)\)在\(I\)上是凸的。例如\(y=x^2\)，\(y^\prime=2x\)，\(y^{\prime\prime