吉林大學微積分b期中考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x>1\)C.\(x\leq1\)D.\(x<1\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\(x=1\)處的導數(shù)為（）A.1B.2C.0D.34.若\(y=\cosx\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(\sinx\)B.-\(\sinx\)C.\(\cosx\)D.-\(\cosx\)5.曲線\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=3x+2\)C.\(y=-3x-2\)D.\(y=-3x+2\)6.已知\(f^\prime(x_0)=2\)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)等于（）A.1B.2C.4D.07.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx\)等于（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)（\(C\)為常數(shù)）C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)8.\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3\)B.\(\frac{1}{3}x^3+C\)C.\(3x^3\)D.\(3x^3+C\)9.函數(shù)\(y=\lnx\)的導數(shù)為（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(-\frac{1}{x}\)C.\(\frac{1}{x^2}\)D.\(-\frac{1}{x^2}\)10.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(\int_{a}^f(t)dt\)的關(guān)系是（）A.不相等B.相等C.互為相反數(shù)D.不確定答案：1.B2.B3.B4.B5.A6.B7.B8.B9.A10.B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是基本初等函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\log_2x\)2.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{x^2-1}\)的值可能是（）A.3B.\(\infty\)C.不存在D.03.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導的充分必要條件是（）A.左導數(shù)存在B.右導數(shù)存在C.左導數(shù)等于右導數(shù)D.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)4.下列求導公式正確的是（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((e^x)^\prime=e^x\)D.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)5.曲線\(y=f(x)\)在點\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率可能通過以下哪些方式得到（）A.\(f^\prime(x_0)\)B.\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)C.\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)D.\(f(x_0)\)6.下列積分中，屬于不定積分的有（）A.\(\intx^3dx\)B.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)C.\(\int\sinxdx\)D.\(\int_{1}^{2}e^xdx\)7.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(F(x)\)，則（）A.\(F^\prime(x)=f(x)\)B.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)C.\(f^\prime(x)=F(x)\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)8.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx\)（\(x>0\)）D.\(y=-x^2\)9.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可積的充分條件有（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界且只有有限個間斷點C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上無界10.下列等式成立的是（）A.\(\intdf(x)=f(x)+C\)B.\(d\intf(x)dx=f(x)dx\)C.\(\fracfd9f71v{dx}\intf(x)dx=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)答案：1.ABCD2.A3.ABC4.ABCD5.ABC6.AC7.ABD8.ABC9.ABC10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{-x^2-1}\)是一個實數(shù)函數(shù)。（）2.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)。（）3.若函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)，則\(f(x)\)在點\(x_0\)處一定可導。（）4.函數(shù)\(y=x^2\)的導數(shù)\(y^\prime=2x\)，則曲線\(y=x^2\)在點\((0,0)\)處的切線方程是\(y=0\)。（）5.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)。（）6.若\(F(x)\)和\(G(x)\)都是\(f(x)\)的原函數(shù)，則\(F(x)-G(x)\)為常數(shù)。（）7.函數(shù)\(y=\sinx\)在\(R\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）8.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值只與被積函數(shù)\(f(x)\)和積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)。（）9.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為\(0\)。（）10.函數(shù)\(y=x^3\)的導數(shù)大于\(0\)，所以\(y=x^3\)在\(R\)上是凹函數(shù)。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.×四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\frac{x^2+1}{x}\)的導數(shù)。答案：先將函數(shù)化簡為\(y=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}\)，根據(jù)求導公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，則\(y^\prime=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}\)。2.計算\(\int(2x+3)dx\)。答案：根據(jù)積分運算法則\(\int(2x+3)dx=\int2xdx+\int3dx\)。由\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），\(\intkdx=kx+C\)（\(k\)為常數(shù)），可得\(2\times\frac{1}{2}x^2+3x+C=x^2+3x+C\)。3.求\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。答案：對分子進行因式分解，\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，則原式\(=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)\)，把\(x=1\)代入得\(1+1=2\)。4.簡述函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導與連續(xù)的關(guān)系。答案：函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導，則一定在該點連續(xù)；但函數(shù)在點\(x_0\)處連續(xù)，不一定在該點可導。即可導是連續(xù)的充分不必要條件。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)性和極值。答案：先求導\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=\pm1\)。當\(x<-1\)或\(x>1\)時，\(y^\prime>0\)，函數(shù)遞增；當\(-1<x<1\)時，\(y^\prime<0\)，函數(shù)遞減。極大值為\(y(-1)=2\)，極小值為\(y(1)=-2\)。2.闡述定積分和不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：不定積分是所有原函數(shù)，定積分是原函數(shù)在區(qū)間上的增量，牛頓-萊布尼茨公式建立了兩者聯(lián)系\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)（\(F^\prime(x)=f(x)\)）。區(qū)別：不定積分結(jié)果是函數(shù)族，定積分結(jié)果是數(shù)值。3.討論如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。答案：若