復合函數(shù)求導題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=(2x+1)^3$的導數(shù)是（）A.$3(2x+1)^2$B.$6(2x+1)^2$C.$2(2x+1)^2$D.$6(2x+1)$2.若$y=\sin(3x)$，則$y^\prime$等于（）A.$\cos(3x)$B.$3\cos(3x)$C.$-3\cos(3x)$D.$-\cos(3x)$3.函數(shù)$y=e^{2x-1}$的導數(shù)為（）A.$e^{2x-1}$B.$2e^{2x-1}$C.$-e^{2x-1}$D.$-2e^{2x-1}$4.對于函數(shù)$y=\ln(5x)$，其導數(shù)是（）A.$\frac{1}{x}$B.$\frac{1}{5x}$C.$\frac{5}{x}$D.$\frac{5}{5x}$5.函數(shù)$y=(x^2+1)^2$的導數(shù)是（）A.$2(x^2+1)$B.$4x(x^2+1)$C.$2x(x^2+1)$D.$4(x^2+1)$6.若$y=\cos(4x+1)$，則$y^\prime$是（）A.$-\sin(4x+1)$B.$-4\sin(4x+1)$C.$4\sin(4x+1)$D.$\sin(4x+1)$7.函數(shù)$y=e^{-x}$的導數(shù)為（）A.$e^{-x}$B.$-e^{-x}$C.$xe^{-x}$D.$-xe^{-x}$8.對于函數(shù)$y=\ln(x^2)$，其導數(shù)是（）A.$\frac{2}{x}$B.$\frac{1}{x}$C.$\frac{2}{x^2}$D.$\frac{1}{x^2}$9.函數(shù)$y=(3x-2)^4$的導數(shù)是（）A.$4(3x-2)^3$B.$12(3x-2)^3$C.$3(3x-2)^3$D.$16(3x-2)^3$10.若$y=\sin(x^3)$，則$y^\prime$等于（）A.$3x^2\cos(x^3)$B.$x^2\cos(x^3)$C.$3\cos(x^3)$D.$\cos(x^3)$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)求導正確的有（）A.若$y=\cos(ax)$，則$y^\prime=-a\sin(ax)$B.若$y=e^{bx}$，則$y^\prime=be^{bx}$C.若$y=\ln(cx)$，則$y^\prime=\frac{1}{x}$（$c\neq0$）D.若$y=(dx+e)^2$，則$y^\prime=2(dx+e)$2.以下復合函數(shù)求導公式正確的是（）A.$[\sin(u(x))]^\prime=\cos(u(x))\cdotu^\prime(x)$B.$[e^{u(x)}]^\prime=e^{u(x)}\cdotu^\prime(x)$C.$[\ln(u(x))]^\prime=\frac{u^\prime(x)}{u(x)}$（$u(x)>0$）D.$[u(x)^n]^\prime=nu(x)^{n-1}\cdotu^\prime(x)$3.求函數(shù)$y=\sin(2x+3)$的導數(shù)用到的公式有（）A.復合函數(shù)求導法則B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(ax+b)^\prime=a$D.$(\cosx)^\prime=-\sinx$4.函數(shù)$y=e^{x^2}$求導過程中涉及（）A.復合函數(shù)求導法則B.$(e^x)^\prime=e^x$C.$(x^2)^\prime=2x$D.乘積求導法則5.下列求導正確的函數(shù)有（）A.$y=\cos(x^2+1)$，$y^\prime=-2x\sin(x^2+1)$B.$y=\ln(2x+1)$，$y^\prime=\frac{2}{2x+1}$C.$y=(x^3-1)^3$，$y^\prime=9x^2(x^3-1)^2$D.$y=e^{-2x}$，$y^\prime=-2e^{-2x}$6.對于復合函數(shù)求導，以下說法正確的是（）A.要先確定函數(shù)的復合結(jié)構(gòu)B.按照從外層到內(nèi)層依次求導C.最后將各層導數(shù)相乘D.可以隨意顛倒求導順序7.函數(shù)$y=\sin^2x$的求導方法可以是（）A.看成$y=u^2$，$u=\sinx$用復合函數(shù)求導B.利用二倍角公式$y=\frac{1-\cos(2x)}{2}$再求導C.直接根據(jù)$(\sin^nx)^\prime=n\sin^{n-1}x\cosx$求導D.看成$y=\sinx\cdot\sinx$用乘積求導法則求導8.若函數(shù)$y=f(g(x))$，則求導過程中（）A.先對$f(u)$關(guān)于$u$求導（設$u=g(x)$）B.再對$g(x)$求導C.導數(shù)為$f^\prime(g(x))\cdotg^\prime(x)$D.導數(shù)為$f^\prime(u)\cdotg^\prime(x)$（$u=g(x)$）9.以下哪些函數(shù)求導會用到復合函數(shù)求導法則（）A.$y=\tan(3x)$B.$y=\sqrt{x^2+1}$C.$y=\cot(2x-1)$D.$y=\sec(x^3)$10.求函數(shù)$y=\ln(\sinx)$的導數(shù)，用到（）A.復合函數(shù)求導法則B.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$C.$(\sinx)^\prime=\cosx$D.$(\cosx)^\prime=-\sinx$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\cos(2x)$的導數(shù)是$y^\prime=\sin(2x)$。（）2.若$y=e^{3x}$，則$y^\prime=3e^{3x}$。（）3.函數(shù)$y=\ln(4x)$的導數(shù)是$\frac{1}{4x}$。（）4.對于復合函數(shù)$y=f(g(x))$，其導數(shù)為$y^\prime=f^\prime(x)g^\prime(x)$。（）5.函數(shù)$y=(x+1)^3$的導數(shù)是$3(x+1)^2$。（）6.若$y=\sin(x^2)$，則$y^\prime=2x\cos(x^2)$。（）7.函數(shù)$y=e^{-x^2}$的導數(shù)是$-2xe^{-x^2}$。（）8.復合函數(shù)求導時，只要對最外層函數(shù)求導即可。（）9.函數(shù)$y=\ln(x^3)$的導數(shù)是$\frac{3}{x}$。（）10.若$y=\cos(5x+2)$，則$y^\prime=-5\sin(5x+2)$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述復合函數(shù)求導法則。答案：設$y=f(u)$，$u=g(x)$，則復合函數(shù)$y=f(g(x))$的導數(shù)為$y^\prime=f^\prime(u)\cdotg^\prime(x)$，即先對$f(u)$關(guān)于$u$求導，再乘以$u$關(guān)于$x$的導數(shù)。2.求函數(shù)$y=(2x-1)^5$的導數(shù)步驟。答案：設$u=2x-1$，則$y=u^5$。先對$y$關(guān)于$u$求導，$y^\prime_{u}=5u^4$；再對$u$關(guān)于$x$求導，$u^\prime_{x}=2$。根據(jù)復合函數(shù)求導法則，$y^\prime=y^\prime_{u}\cdotu^\prime_{x}=5(2x-1)^4\times2=10(2x-1)^4$。3.說明求$y=\ln(\cosx)$導數(shù)的思路。答案：此為復合函數(shù)，設$u=\cosx$，$y=\lnu$。先對$y$關(guān)于$u$求導得$y^\prime_{u}=\frac{1}{u}$，再對$u$關(guān)于$x$求導得$u^\prime_{x}=-\sinx$。由復合函數(shù)求導法則，$y^\prime=\frac{1}{u}\cdot(-\sinx)=-\frac{\sinx}{\cosx}=-\tanx$。4.求復合函數(shù)$y=e^{\sinx}$導數(shù)的方法。答案：設$u=\sinx$，$y=e^{u}$。先求$y$關(guān)于$u$的導數(shù)$y^\prime_{u}=e^{u}$，再求$u$關(guān)于$x$的導數(shù)$u^\prime_{x}=\cosx$。根據(jù)復合函數(shù)求導法則，$y^\prime=e^{u}\cdot\cosx=e^{\sinx}\cosx$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論復合函數(shù)求導法則在實際解題中的應用技巧。答案：首先要準確識別復合結(jié)構(gòu)，從外層到內(nèi)層逐步分析。對于復雜函數(shù)，可適當設中間變量簡化。求導時嚴格按法則依次求導再相乘。多做練習積累經(jīng)驗，遇到多層復合時，有條不紊地進行，注意計算準確。2.復合函數(shù)求導與普通函數(shù)求導有何聯(lián)系與區(qū)別？答案：聯(lián)系是復合函數(shù)求導最終還是基于普通函數(shù)求導公式，通過中間變量轉(zhuǎn)化。區(qū)別在于復合函數(shù)有多層結(jié)構(gòu)，需按法則分層求導再結(jié)合，普通函數(shù)求導直接用對應公式，相對簡單。3.舉例說明復合函數(shù)求導在物理或其他學科中的應用。答案：在物理中，如位移隨時間變化關(guān)系$s=s(v(t))$，$v$是速度關(guān)于時間$t$的函數(shù)，$s$是位移關(guān)于速度的函數(shù)。求位移對時間的變化率（加速度相關(guān)）就需復合函數(shù)求導，$s^\prime(t)=s^\prime(v)\cdotv^\prime(t)$。4.如何培養(yǎng)快速準確進行復合函數(shù)求導的能力？答案：要熟練掌握基本函數(shù)求導公式，多做不同類型復合函數(shù)