控制系統(tǒng)的建模與分析控

制

系

統(tǒng)

建

模

步

驟原理分析建立各模塊或元件數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的初步模型模型誤差是否允許？NY模型修正，如考慮非線性因素…...功能模塊劃分，獲得原理方框圖確定輸入/輸出信號，由信號傳遞變換關(guān)系，考慮負載效應(yīng)，連接各模塊，或聯(lián)立模塊方程組分析法實驗法……系統(tǒng)模型求解分析微分/差分方程，狀態(tài)空間方程，傳遞函數(shù)，脈沖傳遞函數(shù)，頻率特性……控制系統(tǒng)建模方法分析法對于已知運行機理的環(huán)節(jié)，確定性環(huán)節(jié)或?qū)ο笕缗ｎD力學(xué)定律、熱力學(xué)定律、基爾霍夫定律…實驗法（系統(tǒng)辨識

SystemRecognition，模式識別PatternRecognition

）對于未知環(huán)節(jié)，復(fù)雜、不確定環(huán)節(jié)或?qū)ο髸r域法、頻域法、統(tǒng)計法辨識、最小二乘法估計等……從實驗或運行中獲得足夠數(shù)據(jù)、圖表，進行數(shù)據(jù)處理、模式提煉與識別，歸結(jié)、擬合環(huán)節(jié)或?qū)ο蟮臄?shù)學(xué)模型及參數(shù)。典型控制系統(tǒng)的功能模塊分解及模型特點被控對象G2(s)測量變送F(s)控制器D(s)uy

r-e執(zhí)行器G1(s)體現(xiàn)控制算法，一般人為設(shè)置（第三章系統(tǒng)設(shè)計）最復(fù)雜多變一般已知運行規(guī)律可以調(diào)節(jié)、整定mb由元件、環(huán)節(jié)、子系統(tǒng)模型到系統(tǒng)模型微分方程，差分方程（時域模型）N元低階方程組一元高階方程考慮信號傳送單向性后級對前級負載效應(yīng)消去中間信號變量，系數(shù)歸一化為反映系統(tǒng)動態(tài)特性的參數(shù)，得輸入-輸出關(guān)系模型傳遞函數(shù)，脈沖傳遞函數(shù)（復(fù)域模型）對于線性系統(tǒng)，可利用方框圖的等效變換規(guī)則，由環(huán)節(jié)模型獲得系統(tǒng)模型由元件、子系統(tǒng)的微分方程到系統(tǒng)模型舉例[例]：天線方位角伺服系統(tǒng)，建立以電樞電壓ua為輸入信號，衛(wèi)星通信天線的驅(qū)動電機軸轉(zhuǎn)速ω、方位角θ為輸出信號的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。伺服電機電樞回路天線轉(zhuǎn)動機械子系統(tǒng)[解]系統(tǒng)中信號的傳遞與變換：（1）電樞回路電壓平衡方程（基爾霍夫定律）（2）電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程（達朗貝爾原理）（3）伺服系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩方程（電磁場感應(yīng)原理）（4）建立系統(tǒng)模型上述各部分方程聯(lián)立，得系統(tǒng)方程組

消去中間變量，得到輸入為電樞電壓ua，輸出為天線旋轉(zhuǎn)角速度ω的二階線性微分方程：（5）模型簡化在工程實踐中，忽略電動機電樞電感La；將摩擦阻尼轉(zhuǎn)矩Mc和風(fēng)力阻力矩Md作為干擾信號，另行處理，則簡化為一階線性微分方程：若以電動機轉(zhuǎn)角θ為輸出，有，則系統(tǒng)模型為：方程的求解微分方程的求解經(jīng)典法（正規(guī)解法）：利用特征方程求出齊次線性微分方程的通解，加上原方程的一個特解的解法。拉氏變換法：將線性定常微分方程通過拉氏變換化為求解代數(shù)方程，再反拉氏變換求得微分方程的解。利用MATLAB差分方程的求解基于解析方法的Z變換法基于計算機求解的迭代法利用MATLAB用拉普拉斯變換求解線性微分方程拉普拉斯變換

以時間t為自變量的函數(shù)f(t)，定義域為t≥0，則其拉普拉斯變換為：

設(shè)線性定?？刂葡到y(tǒng)由n階線性常微分方程描述：

求微分方程式的拉氏變換（假設(shè)為零初始條件），為s的有理分式：進行因式分解、部分分式展開，Y(s)表示為：基本響應(yīng)分量，或一個基本運動模式p0：輸入極點pi（i=1，2，…，n)：特征根，或系統(tǒng)極點利用MATLAB求解連續(xù)系統(tǒng)[r,p,k]=residue(num,den)展開余項n階微分方程特征根與各自由響應(yīng)分量（基本運動形式）用拉氏變換求解線性微分方程舉例[例]：彈簧-質(zhì)量-阻尼機械平移系統(tǒng)的運動方程，并求解。yFi得該機械平移系統(tǒng)的微分方程為：[解]（1）由牛頓第二定律建立系統(tǒng)微分方程：（2）已知如下，求該系統(tǒng)微分方程的解y(t)對系統(tǒng)微分方程各項進行拉氏變換，得：整理得輸出量的拉氏變換表達式：將上述分式用部分分式展開：系數(shù)C1、C2、C3的計算則：得系統(tǒng)方程的解，即系統(tǒng)的輸出動態(tài)響應(yīng)：對進行反拉氏變換，響應(yīng)曲線：由元件、環(huán)節(jié)、子系統(tǒng)模型到系統(tǒng)模型微分方程，差分方程N元低階方程組一元高階方程傳遞函數(shù)，脈沖傳遞函數(shù)，方框圖對于線性系統(tǒng)，可利用方框圖的等效變換規(guī)則，由環(huán)節(jié)模型獲得系統(tǒng)模型

傳遞函數(shù)，方框圖（結(jié)構(gòu)圖）傳遞函數(shù)經(jīng)典控制理論中一個重要的數(shù)學(xué)模型。表達了系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的傳遞關(guān)系，是系統(tǒng)的外部描述，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特征參數(shù)有關(guān)，而與輸入量無關(guān)。方框圖線圖方式的數(shù)學(xué)模型，是系統(tǒng)的組成原理、元部件或子系統(tǒng)的功能和信號流向的圖示化表示。傳遞函數(shù)的定義對于線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換Y(s)與輸入信號的拉氏變換R(s)之比——系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示為：……輸入的拉氏變換……輸出的拉氏變換設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為：令系統(tǒng)初始條件為零，上式兩邊取拉氏變換得：sys=tf(num,den)；傳遞函數(shù)多項式模型N(s)：系統(tǒng)的特征多項式；N(s)=0：系統(tǒng)的特征方程；N(s)=0的根（解）：系統(tǒng)的特征根或傳遞函數(shù)的極點；M(s)=0的根（解）：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的零點；N(s)的階次n：系統(tǒng)的階次，對于實際物理系統(tǒng)n≥m；ai、bj：與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)，為實數(shù)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點與增益——零極點增益模型：zi：傳遞函數(shù)的零點pi：傳遞函數(shù)的極點k：系統(tǒng)的放大倍數(shù)或增益，這里為根軌跡增益?zhèn)鬟f函數(shù)的零點、極點的分布決定了系統(tǒng)的特性sys=zpk(z,p,k);

零極點增益模型tf2zp;

多項式模型轉(zhuǎn)換為零極點增益模型zp2tf;零極點增益模型轉(zhuǎn)換為多項式模型以RC網(wǎng)絡(luò)為例：Ur(s)I(s)Uc(s)-比較點環(huán)節(jié)引出點或測量點信號線系統(tǒng)的方框圖模型simulink仿真建模方框圖的繪制：（1）寫出系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，用方框表示；（2）根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方框連接得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。方框圖的簡化（等效變換）系統(tǒng)一般由多個環(huán)節(jié)組成，通過對系統(tǒng)方框圖的等效簡化可以方便求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或輸出響應(yīng)；這個過程對應(yīng)于消去中間變量；簡化過程遵循變換前后變量關(guān)系保持等效的原則。串聯(lián)方框的等效并聯(lián)方框的等效可以推廣到n個環(huán)節(jié)的情況sys=series(sys1,sys2)；模塊的串聯(lián)運算或：sys=sys1﹡sys2﹡…﹡sysnsys=parallel(sys1,sys2)；模塊的并聯(lián)運算或：sys=sys1+sys2+…+sysn反饋方框的等效[證明]：前向通道反饋通道消去中間變量E(s)和B(s)，得到：式中閉環(huán)等效傳遞函數(shù)為：sys=feedback(sys1,sys2,sign)；反饋連接sys1：閉環(huán)前向通道傳遞函數(shù)sys2：反饋通道傳遞函數(shù)sign=-1負反饋（默認）；sign=1正反饋被控對象G2(s)測量變送F(s)控制器D(s)uy

r-e執(zhí)行器G1(s)等效變換m

ry[例]：位置控制系統(tǒng)（角度隨動系統(tǒng)）的方框圖與傳遞函數(shù)模型

控制任務(wù)：使輸出負載位置與輸入手柄位置協(xié)調(diào)。橋式電位器反饋位置控制系統(tǒng)方框圖：系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)（開環(huán)傳遞函數(shù)）：位置控制系統(tǒng)模型的簡化：（不考慮負載力矩，忽略電樞電感等）θi(t)θo(t)θe(t)_TM：機電時間常數(shù)

K：開環(huán)增益或（系數(shù)歸一化處理）θi(t)θo(t)等效變換

典型閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Gq(s)：前向通道傳遞函數(shù)Gq(s)=D(s)?G(s)R(s)：系統(tǒng)參考輸入（設(shè)定值）Y(s)：系統(tǒng)輸出（被控量）E(s)：誤差（偏差）信號N(s)：擾動信號D(s)：控制器傳遞函數(shù)G(s)：被控對象（過程）的傳遞函數(shù)U(s)：控制變量（控制器的輸出）F(s)：反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)B(s)：反饋信號，B(s)=F(s)?Y(s)（1）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)N(s)=0時系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：（2）系統(tǒng)在r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)（3）系統(tǒng)跟蹤r(t)的誤差傳遞函數(shù)以誤差信號為輸出量，以系統(tǒng)輸入信號為輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（4）系統(tǒng)的擾動誤差傳遞函數(shù)以誤差信號為輸出量，以系統(tǒng)擾動信號為輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)（5）系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)的應(yīng)用

利用誤差傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的誤差：（6）系統(tǒng)在擾動n(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)r(t)=0

利用傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）：分母部分：閉環(huán)傳遞函數(shù)分母相同，同一系統(tǒng)具有相同的特征方程：

1+開環(huán)傳遞函數(shù)=0

——解該方程得到閉環(huán)極點同一系統(tǒng)中各情況下閉環(huán)傳遞函數(shù)規(guī)律：分子部分：閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子等于對應(yīng)的所求傳遞函數(shù)的輸入信號到輸出信號所經(jīng)過的傳遞函數(shù)的乘積。

在實際應(yīng)用中，開環(huán)傳遞函數(shù)H0(s)或閉環(huán)傳遞函數(shù)H(s)通常由一些典型環(huán)節(jié)構(gòu)成，例如H0(s)：系統(tǒng)模型的典型環(huán)節(jié)分解對開環(huán)傳遞函數(shù)進行因式分解：相應(yīng)的開環(huán)頻率特性為：經(jīng)典控制系統(tǒng)中的一些基本環(huán)節(jié)信號變換環(huán)節(jié)（DAC，ADC）比例環(huán)節(jié)（或靜態(tài)環(huán)節(jié)）微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)（或一階環(huán)節(jié)，或單容積環(huán)節(jié)）振蕩環(huán)節(jié)（或欠阻尼二階環(huán)節(jié)）延遲環(huán)節(jié)（或滯后環(huán)節(jié)，或遲滯環(huán)節(jié)）ADC、DAC環(huán)節(jié)的模型簡化計算機ZOH廣義被控對象量化編碼計算機解碼保持廣義被控對象ADCDACT比例環(huán)節(jié)舉例：比例(P)調(diào)節(jié)器（或控制器）：齒輪系（減速箱）：_+AR1R2i誤差檢測差動電位器:比例環(huán)節(jié)舉例：比例環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖，對數(shù)坐標(biāo)圖)

用兩個對數(shù)坐標(biāo)圖來分別表示頻率特性的幅頻特性和相頻特性。對數(shù)相頻特性曲線：橫坐標(biāo)為

，對數(shù)分度；縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是度或弧度——半對數(shù)坐標(biāo)系。對數(shù)幅頻特性曲線：橫坐標(biāo)為

，按對數(shù)分度，單位是(rad/s)；縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻（線性）分度，單位是分貝(dB)——對數(shù)坐標(biāo)系。對數(shù)幅頻特性圖的坐標(biāo)系對數(shù)坐標(biāo)系L(ω)(dB)0.111010023橫坐標(biāo)對數(shù)分度縱坐標(biāo)均勻分度對數(shù)相頻特性圖的坐標(biāo)系0.111010023Φ(ω)(弧度或度)半對數(shù)坐標(biāo)系縱坐標(biāo)均勻分度Frequency(rad/sec)Phase(deg);Magnitude(dB)BodeDiagrams12.51313.51414.515From:U(1)10-1100101102-1-0.500.51To:Y(1)20lgK,k=5比例環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性圖（Bode圖）bode();繪制線性連續(xù)系統(tǒng)的bode圖函數(shù)積分環(huán)節(jié)舉例：積分(I)控制器：_+AR1CU2U1i5.2.2積分環(huán)節(jié)與微分環(huán)節(jié)的頻率特性積分環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型-20dB/dec積分環(huán)節(jié)Bode圖微分環(huán)節(jié)舉例：測速發(fā)電機（旋轉(zhuǎn)變壓器）：TGu(t)θ,ω直流測速發(fā)電機微分環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型20dB/dec微分環(huán)節(jié)Bode圖

直流伺服電動機的電樞電壓或控制電壓ua(t)到轉(zhuǎn)速

m(t)的微分方程、傳遞函數(shù)：K1：電動機傳遞系數(shù)Tm：電動機時間常數(shù)慣性環(huán)節(jié)舉例——伺服電動機SM

ua(t)電樞電壓ωm慣性環(huán)節(jié)舉例——濾波型控制器_+R1CR2慣性環(huán)節(jié)舉例——單容水槽控制閥門負載閥門慣性環(huán)節(jié)舉例——電加熱爐u5.2.3慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性慣性環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型-20dB/dec慣性環(huán)節(jié)Bode圖幅相曲線（Nyquist圖、極坐標(biāo)圖）

同時反應(yīng)幅頻特性、相頻特性隨輸入信號頻率

變化的軌跡。幅相曲線：以

為參變量，以復(fù)平面上的向量表示頻率特性的方法。幅相曲線的每一點都表示與特定

值相對應(yīng)的向量端點。坐標(biāo)系：橫軸——Re[G(j

)]，縱軸——Im[G(j

)]

參變量——(－∞→+∞)01ω=0ω=1（設(shè)：T=1）Re(

)Im(

)慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線：幅相曲線關(guān)于實軸對稱nyquist()；繪制線性連續(xù)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖函數(shù)振蕩環(huán)節(jié)舉例：質(zhì)量彈簧阻尼機械振蕩系統(tǒng)：RLC無源電網(wǎng)絡(luò)：微分方程（時域數(shù)學(xué)模型）：振蕩環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型振蕩環(huán)節(jié)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：振蕩環(huán)節(jié)的特征方程：解特征方程，得閉環(huán)極點（特征根）為：振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)特性阻尼比ζ的取值范圍與響應(yīng)的關(guān)系

>0

0<<1欠阻尼響應(yīng)振蕩收斂

=1臨界阻尼響應(yīng)單調(diào)收斂

>1過阻尼響應(yīng)較慢地單調(diào)收斂=0

無阻尼響應(yīng)等幅振蕩

<0-1<<0響應(yīng)振蕩發(fā)散<-1響應(yīng)單調(diào)發(fā)散ζ=0——

無阻尼狀態(tài)，及響應(yīng)情況這時閉環(huán)極點（特征根）為：js平面s1s2閉環(huán)極點在s平面的分布：0ty(t)1單位階躍響應(yīng)曲線：ζ=1——臨界阻尼狀態(tài)0t1y(t)j0s平面s1,2這時閉環(huán)極點（特征根）為：單位階躍響應(yīng)曲線：j0s平面s1s20t1y(t)ζ>1——過阻尼狀態(tài)這時閉環(huán)極點（特征根）為：單位階躍響應(yīng)曲線：0<ζ<1——欠阻尼狀態(tài)，及響應(yīng)情況這時閉環(huán)極點（特征根）為：××閉環(huán)極點在s平面的分布：零初始條件下該環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)：y(t)0t1ζ的取值范圍與二階環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)：工程上通常取ζ=0.4～0.81.0二階環(huán)節(jié)中的欠阻尼情況——振蕩環(huán)節(jié)其典型的單位階躍響應(yīng)曲線：

階躍響應(yīng)呈指數(shù)衰減（阻尼正弦）振蕩，周期性地趨于穩(wěn)態(tài)輸出y()——系統(tǒng)穩(wěn)定。-40dB/dec振蕩環(huán)節(jié)的bode圖振蕩環(huán)節(jié)不同阻尼比時的Bode圖：諧振（共振）現(xiàn)象振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率與諧振峰值由對數(shù)幅頻特性曲線，當(dāng)ζ較小時，曲線在某一頻率出現(xiàn)峰值，即諧振頻率；對應(yīng)的幅值為諧振峰值。當(dāng)輸入該頻率的正弦信號時，輸出的幅值最大。將

r代入得諧振峰值：延遲環(huán)節(jié)舉例——有純延遲的單容水槽—————————－－—－－－—－－－－－－－－－－－－－－－－－－－h(huán)Q1閥門2Q2水槽水位調(diào)節(jié)對象閥門1L液位延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)及頻率特性為：延遲（或滯后）環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型G平面0ImRe=0=2/-1延遲環(huán)節(jié)幅相曲線：L()

()

0--2延遲環(huán)節(jié)Bode曲線:第二章學(xué)習(xí)內(nèi)容：建模方法與步驟線性連續(xù)控制系統(tǒng)建模微分方程傳遞函數(shù)，方框圖（結(jié)構(gòu)圖）基本環(huán)節(jié)線性離散控制系統(tǒng)建模Z變換差分方程脈沖傳遞函數(shù)

線性連續(xù)系統(tǒng)

微分方程拉氏變換（s）傳遞函數(shù)

s平面

s平面上根軌跡頻率特性

↓

連續(xù)模型

線性離散系統(tǒng)差分方程

Z變換（z）脈沖傳遞函數(shù)

z平面

z平面上根軌跡頻率特性

↓

離散模型連續(xù)控制系統(tǒng)→離散控制系統(tǒng)，方案一：工作臺直流伺服電機反饋電位器W1指令電位器W2電機驅(qū)動減速器絲杠副XcXr△uurucEDACADC電機驅(qū)動離散控制系統(tǒng)典型方框圖模型之一A/DD/A數(shù)字控制器被控對象測量反饋

e*(t)r(t)e(t)

u*(t)uh(t)y(t)_r(t)e(t)u*(t)uh(t)y(t)b(t)T等效的離散控制系統(tǒng)方框圖連續(xù)控制系統(tǒng)→離散控制系統(tǒng)，方案二：工作臺直流伺服電機減速器絲杠副電機驅(qū)動ADCDACXcuc位移傳感器等效的離散控制系統(tǒng)方框圖之二離散控制系統(tǒng)典型方框圖模型之二D/A數(shù)字控制器被控對象測量反饋

e*(t)r*(t)

u*(t)uh(t)y(t)_A/Dr(t)e*(t)u*(t)uh(t)y(t)b(t)TT(A→D)(A→D)r*(t)數(shù)學(xué)工具：從S變換到Z變換設(shè)f(t)經(jīng)過采樣開關(guān)后的信號為f*(t)，采樣周期為T。設(shè)t<0時，f(t)=0，f*(t)可表示為：對上式兩邊進行拉氏變換得：

F*(s)是s的超越方程，運算困難，希望將無理函數(shù)F*(s)變換為有理函數(shù)，引入變量z，定義為：

這一級數(shù)若收斂，則稱F(z)為離散時間函數(shù)f*(t)的Z變換，記為：Z[f*(t)]=F(z)

——是以z為變量的函數(shù)代入上面的拉氏變換式可得：一般項f(kT)z-k的物理意義：f(kT)表示第k個采樣信號的幅值，z

的冪次k表示采樣脈沖出現(xiàn)的時刻。Z變換的說明：f(t)f*(t)δT(t)0t00ttT2T4TT2TZ變換是拉氏變換的一種推廣或變形，也稱脈沖拉氏變換，或離散拉氏變換；嚴格地，Z變換只適用于離散函數(shù)，Z變換式只能表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性，而不能反應(yīng)在采樣時刻之間的特性；

Z變換的說明：一一對應(yīng)不一定一一對應(yīng)f*(t)Z變換

f*(t)f(t)

S變換與Z變換的關(guān)系∴有s變量與z變量的基本映射關(guān)系：由Z變換定義，有：令：則f*(t)的Z變換為：Z平面可以將z變量表示在一復(fù)平面——z平面上：ReIms平面到z平面的映射關(guān)系分幾種情況討論它們的映射關(guān)系：

σ=0時；σ=ω=0時

σ＜0時；σ＞0時等σ線映射;等ω線映射由s變量與z變量的基本映射關(guān)系：可以得到s平面到z平面的基本映射關(guān)系。

虛軸原點為圓心的單位圓

ω：-∞

→+∞

相角周期變化當(dāng)σ=0時，s平面到z平面的映射關(guān)系jω[S]平面[Z]平面ImRe010σz是采樣角頻率ωs的周期函數(shù)∴Z平面到S平面的映射不唯一，是多值變換，即在Z平面的每個點，在S平面有無窮點與其對應(yīng)。

原點z=1的點當(dāng)σ=ω=0時，s到z的映射jω[S]平面[Z]平面ImRe010右半s平面的點單位圓外的點jω[S]平面[Z]平面ImRe010σ當(dāng)σ＞0時，s到z的映射左半s平面的點單位圓內(nèi)的點jω[S]平面[Z]平面ImRe010σ當(dāng)σ＜0時，s到z的映射jω[S]平面[Z]平面ImRe010σ1σσ2等σ線映射：s平面上的等σ垂線映射到z平面上以原點為圓心以eσT為半徑的圓。jω[S]平面[Z]平面ImRe00-11主頻帶主頻帶輔頻帶輔頻帶j3ωs/2-j3ωs/2jωs/2-jωs/2ω=ωs/2ω=-ωs/2ω=ωs/4ω=-ωs/4ω=0等ω線映射：在特定采樣周期T情況下，S平面上的等ω水平線映射到Z平面上的軌跡，是一簇從原點出發(fā)的射線(相角從正實軸計量）。主頻帶

當(dāng)采樣角頻率ωs較系統(tǒng)帶寬ωb高許多時，主要討論主頻帶：輔頻帶其余部分的頻帶稱為輔頻帶。Z變換的常用求解方法級數(shù)求和法（由Z變換定義）部分分式法（由拉氏變換及簡單時間函數(shù)的Z變換，查表）Z變化求解法之一：級數(shù)求合法對該級數(shù)求和，得f*(t)的z變換。用這一方法可以求得典型時間信號的Z變換Z變化求解法之二：部分分式法

由此，可以由拉氏變換求對應(yīng)的Z變換可以這樣求：由連續(xù)時間函數(shù)的拉氏變換F(s)，通過反拉氏變換求時間函數(shù)：f(t)=L-1[F(s)]，再由定義式或Z變換表求對應(yīng)的Z變換。[注]：不能將代入F(s)去求Z變換。因為Z變換與時間域中的離散時間序列f(kT)相對應(yīng)，而不能直接對應(yīng)于連續(xù)時間信號f(t)。Z變換的基本定理1.線性定理

2.滯后定理（右偏移）（延遲定理）3.超前定理（左偏移）

滯后和超前定理統(tǒng)稱為平移定理，是差分方程Z變換求解的依據(jù)，與用拉氏變換的微分定理求解微分方程類似。4.初值定理——可應(yīng)用Z變換求其離散序列的初值。5.終值定理*6.復(fù)平移定理*7.復(fù)微分定理*8.卷積定理

——在時域中乘以kT，對應(yīng)于在離散頻域中對z的微分?！獣r間域兩個離散時間序列f1(kT)、f2(kT)的離散卷積和等于Z域的乘積。Z反變換

已知函數(shù)f(kT)的Z變換F(z)，求離散時間序列f(kT)的過程，為Z反變換：Z反變換常用方法：長除法（冪級數(shù)展開法）部分分式展開法（查表法）

*留數(shù)法長除法（冪級數(shù)展開法）求z反變換部分分式法求z反變換

由于F(z)在分子中通常含有z，因此先將F(z)除以z，然后再展開為部分分式。[解]：離散控制系統(tǒng)的時域模型——差分方程差分方程：描述離散輸入和離散輸出函數(shù)之間的動態(tài)關(guān)系Gh(s)e(t)e*(t)r(t)y(t)-Teh(t)[例如]：例如，線性前向差分方程的一般形式：前向差分方程：輸出序列遞增，即y(k)、y(k+1)、y(k+2)、……后向差分方程：輸出序列遞減，即y(k)、y(k-1)、y(k-2)、……階數(shù)：輸出序列自變量序號中最高值和最低值之差差分方程的求解基于解析方法的Z變換法對差分方程進行Z變換；用Z變換的平移定理（超前或滯后定理）將時域差分方程轉(zhuǎn)化為Z域代數(shù)方程，代入初始條件并求解；求Z反變換，得差分方程的時域解?；谟嬎銠C求解的迭代法Z變換法求解差分方程舉例[例][解]方程兩邊做Z變換（應(yīng)用線性、超前定理）：代入初始條件，可以得到差分方程在Z域的解：進行Z反變換：查Z變換表得差分方程的時域解：迭代法求解差分方程舉例離散系統(tǒng)的z域模型——脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)（Z傳遞函數(shù)）定義

在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出采樣信號的Z變換Y(z)與輸入采樣信號的Z變換R(z)之比，定義為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。G(z)r(k)R(z)y(k)Y(z)SISO采樣系統(tǒng)方框圖脈沖傳遞函數(shù)與差分方程在零初始條件下，對n階離散系統(tǒng)的差分方程兩邊進行Z變換，可以得該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)——離散系統(tǒng)的Z域模型：sysd=tf(num,den,T)；脈沖傳遞函數(shù)多項式模型sysd=zpk(z,p,k,T)；脈沖傳遞函數(shù)零、極點模型discrete另一方面，已知離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，零初始條件下，可得相應(yīng)的差分方程，例如：

對Y(z)和R(z)進行