第二講:公切線問題兩切線重合法:分別求出兩個曲線的切線,利用兩條直線重合的知識令其相等解出即可y一切線推及法:求出一個曲線的切線,使這條切線與另外一條曲線相切(常用于另外一條曲線為二次函數(shù))另外需要注意的是:必須區(qū)分清楚公切線與兩個曲線是否切于同一點,一般我們在求公切線時,默認其圖像交點不是公共切點。由于存在兩種情形:即①公切線與兩曲線切于同一點②公切線與兩曲線同時相切但不切于同一點【例1:方法一:兩直線重合法】(2016年全國II理數(shù)16)若直線y=kx+b是曲線y解:設(shè)y=kx+b與y則切線分別是y由1x1【例2:方法二:一切線推及法】若存在過點1,0的直線與曲線y=x3解:設(shè)直線y=kx?1與得x0=32時,y當(dāng)x0=0,第三講:利用切線求距離【例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是曲線y=x+4x解:由y=x+4xx>0,得y∴曲線y=x+4x最小值為2+【例2】(2012年全國卷理)設(shè)點P在函數(shù)fx=12ex的圖象上,點解:因為fx=12e設(shè)點P為x,y,則到直線y=x的距離為則?′x=1所以當(dāng)x∈?∞,ln2時,?當(dāng)x∈ln2,+∞時,所以?xmin所以PQ的最小值為2dmin第四講:極值點偏移定義:y=fx在a,b內(nèi)僅有一個極值點x0,fx【例1】（2016年全國I理數(shù)）fx=x?解:設(shè)x1<x2,知故x1+x2<2【注:有時候題里面說的是fx1=由fx2=將其代入到f2?【注:如果我們不能將參數(shù)a置換出來,那么我們就需要選取其他方法】設(shè)g故gx<g1=【例2】已知gx=lnx+解:令b=?lnxx,則b由b=?lnxxfx在0,e由0<x1<e<所以fx2設(shè)?x=?′′x=1+e2x2所以?x<?【例3】（2019年衡中押題卷理）fx=?a2lnx+解:證x1+x只需證fx1+只需證?2又?兩個式子相減得?lnx1只需證?2x1+x即證?2故在1取到最大值,而最大值為0,因此原不等式成立.第五講:最值函數(shù)的零點問題【例1】（2015年全國I理數(shù)）已知函數(shù)fx=x3+ax+14解:當(dāng)a≥0時,fx單調(diào)遞增,又f當(dāng)a<0時,fx在0當(dāng)f?a3>0當(dāng)f?a3當(dāng)f?a3<0即a<?當(dāng)f1<0即a∈?當(dāng)f1>0即a∈?綜上,a>?34或a<?54時一個零點;【例2】（2019年天津河北區(qū)?？迹ゝx=x3?3ax+第六講:韋達定理與代換【例1】fx=x2+1x解:f′x?x在0,1和所以存在x1∈1e2,1又?e<0,?e2>0所以fx有兩個極值點x1,x2則?又1x1∈e,e【同源練習(xí)】已知函數(shù)fx(1)討論fx的單調(diào)性,并證明f(2)設(shè)x0是fx的一個零點,證明曲線y=lnx在點解:(1)fx的定義域為0,1∪1,+∞.因為1,+∞單調(diào)遞增.因為fe=1有唯一零點x1,即fx1=00,1有唯一零點1x(2)因為1x0=e?lnx0lnx0=x0+1曲線y=ex在點B?lnx0,斜率也是1x0,所以曲線y=lnx在點【例2】已知?x=lnx+1解:?由m≤?322?令g當(dāng)x∈0,22時,g所以gxmin=g【例3】fx=12x2+aln解:FFx1+F第七講:任意存在類問題定義:⊙?x1∈a,b,?的子集.②?x1∈a,b,?非空.【例1】(2021屆南寧二中)fx證:?x1∈(解:求導(dǎo)可得fx利用切線放縮可得gx>a+所以fx【例2】fx=x2?求a的取值范圍.解:設(shè)fx在0,1a單調(diào)遞增,在由f0=f3設(shè)集合A={f由題意得等價于A當(dāng)32a>2即0<a<34時,由f3當(dāng)1≤32a≤且fx在2,+∞單調(diào)遞減,故A=?∞,有fx在1,+∞上包含?∞,0則當(dāng)32a<1即a>32時,有故B=1f1,0【例3】fx=exex,gx=ax?解:求導(dǎo)易知fx∈(0,1當(dāng)a≠0時,g此時gx在0,2其中g(shù)2a=2上總存在兩個不同的x1、則g2a第八講:數(shù)列放縮與導(dǎo)數(shù)【例1】設(shè)m為整數(shù),且對于任意正整數(shù)n,1+解:當(dāng)x∈1令x=1+ln故1而1+12【例2】證明:3解:由階差法可得即證3nn【例3】證明:1解:同時取對數(shù)可得ln因為ln所以ln第九講:零點差問題【例1】fx=1?x2e證明:令g令g′x=0得x由g′?1=2ey+m=2e所以x【例2】fx=e?xln證明:f′令gx下證fx再證fx設(shè)g因為gx1>f由gx3=e所以me?【例3】(大連一模理)已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=0時,求（2）若fx有兩個零點x1解:(1)y（2）由（1）得x1<F′x=又F′0=0,所以Fx故而Fx≥設(shè)y=2+2πx2因為y=2同理設(shè)Gx=故有2設(shè)y=2?2π則2因為y=2故x即1第十講:雙參數(shù)問題與固定變量法【例1】(2021屆考生供題)若不等式ax2+bx+則a+解:設(shè)fx=ax2+又x∈R,所以f′0當(dāng)a=0時,fx在?∞,0當(dāng)x=0時,當(dāng)a<0時,fx在?∞,1?當(dāng)x<1?2aa時,ax所以fx【例2】若不等式eax≥x+b解:由eax≥x+求導(dǎo)可得fx≥f?ln【例3】（2021屆長沙市炎德英才大聯(lián)考）fx任意x∈1,e,fx≥g解:分離參數(shù)可得k設(shè)tx=x?ln代入?x得k≤lnx0第十一講:必要探路法與整數(shù)解問題【例】（2020年天一“頂尖計劃