中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《銳角三角函數(shù)》常考點試卷考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題20分）一、單選題（5小題，每小題4分，共計20分）1、如圖，用一塊直徑為4的圓桌布平鋪在對角線長為4的正方形桌面上，若四周下垂的最大長度相等，則桌布下垂的最大長度為（）A． B． C． D．2、學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的相關(guān)知識后，小麗測量了斜坡上一棵垂直于地面的大樹的高度．如圖，小麗先在坡角為的斜坡上的點A處，測得樹尖E的仰角為，然后沿斜坡走了10米到達(dá)坡腳B處，又在水平路面上行走20米到達(dá)大樹所在的斜坡坡腳C處，大樹所在斜坡的坡度，且大樹與坡腳的距離為15米，則大樹的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：結(jié)果精確到0.1）A．10.9米 B．11.0米 C．6.9米 D．7.0米3、如圖1所示，△DEF中，∠DEF＝90°，∠D＝30°，B是斜邊DF上一動點，過B作AB⊥DF于B，交邊DE（或邊EF）于點A，設(shè)BD＝x，△ABD的面積為y，圖2是y與x之間函數(shù)的圖象，則△ABD面積的最大值為（）A．8 B．16 C．24 D．484、如圖，為測量一幢大樓的高度，在地面上與樓底點相距30米的點處，測得樓頂點的仰角，則這幢大樓的高度為（）A．米 B．米 C．米 D．米5、如圖所示，九（二）班的同學(xué)準(zhǔn)備在坡角為α的河堤上栽樹，要求相鄰兩棵樹之間的水平距離為8m，那么這兩棵樹在坡面上的距離AB為（）A．8m B．m C．8sinam D．m第Ⅱ卷（非選擇題80分）二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）1、計算：2cos60°+（π﹣1）0＝_____．2、如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tan∠A的值為__________．3、如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后折痕DE分別交AB、AC于點E、G，連接GF，給出下列結(jié)論：①∠AGD＝110.5；②2tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BF＝OF；⑥S△OGF＝1，則正方形ABCD的面積是12＋8，其中正確的是_____．（只填寫序號）4、在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC分別是和，則∠BAC的度數(shù)是________．5、如圖，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延長CD至A1，使DA1=CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1為一邊，在CC1的延長線上作菱形A2C1C2D2，連接A1A2，得到△A1D1A2…按此規(guī)律，得到△A2020D2020A2021，記△ADA1的面積為S1，△A1D1A2的面積為S2…，△A2020D2020A2021的面積為S2021，則S2021=____．三、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、．2、如圖，已知矩形ABCD（AB＜AD）．（1）請用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：①以點A為圓心，以AD長為半徑畫弧交邊BC于點E，連接AE；②在線段CD上作一點F，使得∠EFC＝∠BEA；③連接EF．（2）在（1）作出的圖形中，若AB＝4，AD＝5，求tan∠DAF的值．3、定義：如果一個三角形一條邊上的高與這條邊的比值叫做這條邊所對角的準(zhǔn)對（記作qad）．如圖1，在△ABC中，AH⊥BC于點H，則qad∠BAC＝．當(dāng)qad∠BAC＝時，則稱∠BAC為這個三角形的“金角”．已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，△ACE的“金角”∠EAC所對的邊CE在BC邊上，將△ACE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△A'CE'，A'C交AD邊于點F．（1）如圖2，當(dāng)α＝45°時，求證：∠ACF是“金角”．（2）如圖3，當(dāng)點E'落在AD邊上時，求qad∠AFC的值．4、如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，與BD交O一點，直線EF過點O分別交直線AB，CD，BC于E，F(xiàn)，H．（1）求證：△BOE≌△DOF；（2）若OC2＝HC?BC，OC：BH＝3，求sin∠BAC；（3）在△AOF中，若AF＝8，AO＝OF＝4，求平行四邊形ABCD的面積．5、計算：sin260°+|tan45°﹣|﹣2cos45°．6、【問題背景】如圖1，P是等邊△ABC內(nèi)一點，∠APB＝150°，則PA2+PB2＝PC2．小剛為了證明這個結(jié)論，將△PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，請幫助小剛完成輔助線的作圖；【遷移應(yīng)用】如圖2，D是等邊△ABC外一點，E為CD上一點，AD∥BE，∠BEC＝120°，求證：△DBE是等邊三角形；【拓展創(chuàng)新】如圖3，EF＝6，點C為EF的中點，邊長為3的等邊△ABC繞著點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，直線AE、BF交于點P，M為PG的中點，EF⊥FG于F，F(xiàn)G＝4，請直接寫出MC的最小值．-參考答案-一、單選題1、B【分析】作出圖象，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，求出弦心距，再用半徑減弦心距即可．【詳解】如圖，正方形是圓內(nèi)接正方形，，點是圓心，也是正方形的對角線的交點，作，垂足為，∵直徑，∴，又∵是等腰直角三角形，由垂徑定理知點是的中點，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故選：B．【點睛】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖像，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題．2、D【分析】過點A作AG⊥ED交ED延長線于點G，過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，延長BC交ED的延長線于點H，可知四邊形AFHG為矩形，解直角三角形ABF得AF=5，BF=，解直角三角形CDH得DH=9，CH=12，從而得到AG，再通過解直角三角形AGE求得EG的長，進(jìn)一步得出結(jié)論．【詳解】解：過點A作AG⊥ED交ED延長線于點G，過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，延長BC交ED的延長線于點H，如圖，則四邊形AFHG為矩形，∴AG=FH，GH=AF在Rt△ABF中，∴∴在Rt△CHD中，，∴可設(shè)，由勾股定理得，∴解得，∴∴∴在Rt△AGE中，∴∴故選：D【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．3、C【分析】由圖得點A到達(dá)點E時，面積最大，此時，由三角函數(shù)算出AB，由三角形面積公式即可求解．【詳解】由圖可得：點A到達(dá)點E時，面積最大，此時，，∴．故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像問題以及解直角三角形，由題判斷點A運動到哪里能使面積最大是解題的關(guān)鍵．4、C【分析】利用在Rt△ABO中，tan∠BAO＝即可解決．【詳解】：解：如圖，在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，∠A＝65°，AO＝30m，∴tan65°＝，∴BO＝30?tan65°米．故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知正切函數(shù)為對邊比鄰邊．5、B【分析】運用余弦函數(shù)求兩樹在坡面上的距離AB．【詳解】解：∵坡角為α，相鄰兩樹之間的水平距離為8米，∴兩樹在坡面上的距離（米）．故選：B．【點睛】此題主要考查解直角三角形中的坡度坡角問題及學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運用能力．二、填空題1、2【解析】【分析】本題涉及零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值等考點．針對每個考點分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．【詳解】解：2cos60°+（π﹣1）0=1+1=2．故答案為：2．【點睛】本題考查了實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是掌握零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值等考點的運算．2、5【解析】【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，再找到對應(yīng)的直角邊長，最后根據(jù)三角函數(shù)的意義求解即可．【詳解】解：如圖，過點B作BD⊥AC的延長線于點D，∴在中，BD=5，AD=6，∴tan∠A故答案為：56【點睛】此題考查了求網(wǎng)格問題中銳角的三角函數(shù)值，掌握利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形、正切的定義是解決此題的關(guān)鍵．3、④⑤⑥【解析】【分析】①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折疊的性質(zhì)，可求得∠ADG的度數(shù)，從而求得∠AGD；②利用∠GAD與∠ADG度數(shù)求得∠AED度數(shù)可得；③證△AEG≌△FEG得AG＝FG，由FG＞OG即可得；④由折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，易得△AEG是等腰三角形，由AE＝FE、AG＝FG即可得證；⑤設(shè)OF＝a，先求得∠EFG＝45°，從而知BF＝EF＝GF＝OF；⑥由S△OGF＝1求出GF的長，進(jìn)而可得出BE及AE的長，利用正方形的面積公式可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠ADO＝45°，由折疊的性質(zhì)可得：∠ADG＝∠ADO＝22.5°，∴∠AGD＝180°﹣∠GAD﹣∠ADG＝112.5°，故①錯誤．∵∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠ADE＝67.5°，∴tan∠AED≠1，則2tan∠AED≠2，故②錯誤；由折疊的性質(zhì)可得：AE＝EF，∠EFD＝∠EAD＝90°，在△AEG和△FEG中，∵，∴△AEG≌△FEG（SAS），∴AG＝FG，在Rt△GOF中，∵AG＝FG＞GO，∴S△AGD＞S△OGD，故③錯誤；∵∠AGE＝∠GAD＋∠ADG＝67.5°＝∠AED，∴AE＝AG，又∵AE＝FE、AG＝FG，∴AE＝EF＝GF＝AG，∴四邊形AEFG是菱形，故④正確；設(shè)OF＝a，∵四邊形AEFG是菱形，且∠AED＝67.5°，∴∠FEG＝∠FGE＝67.5°，∴∠EFG＝45°，又∵∠EFO＝90°，∴∠GFO＝45°，∴GF＝EF＝a，∵∠EFO＝90°，∠EBF＝45°，∴BF＝EF＝GF＝a，即BF＝OF，故⑤正確；∵S△OGF＝1，∴OG2＝1，即a2＝1，則a2＝2，∵BF＝EF＝a，且∠BFE＝90°，∴BE＝2a，又∵AE＝EF＝a，∴AB＝AE＋BE＝2a＋a＝（2＋）a，則正方形ABCD的面積是（2＋）2a2＝（6＋4）×2＝12＋8，故⑥正確；故答案為：④⑤⑥．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4、15°或75°##75°或15°【解析】【分析】由題意可知半徑為1，弦AB、AC分別是和，作OM⊥AB，ON⊥AC，根據(jù)垂徑定理可求出AM與AN的長度，然后分別在直角三角形AOM與直角三角形AON中，利用余弦函數(shù)，可求出∠OAM=45°，∠OAN=30°，然后根據(jù)AC與AB的位置情況分兩種進(jìn)行討論即可．【詳解】解：如圖，作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂徑定理，可得AM=AB，AN=AC，∵弦AB、AC分別是、，∴AM=，AN=；∵半徑為1，∴OA=1；∵cos∠OAM=∴∠OAM=45°；同理∵cos∠OAN=∴∠OAN=30°；∴∠BAC=∠OAM+∠OAN或∠OAM-∠OAN∴∠BAC=75°或15°．【點睛】本題主要考查垂徑定理、勾股定理以及三角形函數(shù)．本題綜合性強，關(guān)鍵是畫出圖形，作好輔助線，利用垂徑定理和直角三角形的特殊余弦值求得角的度數(shù)，注意要考慮到兩種情況．5、24038?【解析】【分析】由題意得∠BCD=60°，AB=AD=CD=1，則有△ADA1為等邊三角形，同理可得△A1D1A【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴AB=AD=CD=1，AD∥∵∠ABC=120°，∴∠BCD=60°，∴∠ADA∵DA∴DA∴△ADA同理可得△A1D過點B作BE⊥CD于點E，如圖所示：∴BE=BC?sin∴S1同理可得：S2∴由此規(guī)律可得：Sn∴S2021故答案為：24038【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．三、解答題1、【解析】【分析】先去掉絕對值，再計算三角函數(shù)值和零指數(shù)冪，然后化簡算術(shù)平方根后可以得解．【詳解】解：原式===．【點睛】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的計算和算術(shù)平方根的化簡和計算是解題關(guān)鍵．2、（1）①見解析；②見解析；③見解析；（2）【解析】【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可；②作∠DAE的平分線即可；③根據(jù)要求作出圖形即可；（2）利用勾股定理求出BE，EC，再利用相似三角形的性質(zhì)求出CF，DF，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，圖形即為所求．∵AE=AD，∠EAF=∠DAF，AF=AF，∴△AEF≌△ADF，∴∠AEF=∠D=90°，∴∠DAE+∠DFE=180°，∵∠DFC+∠DFE=180°，∴∠EFC=∠DAE，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE，∴∠EFC＝∠BEA；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，∵AE＝AD＝5，∴BE＝＝＝3，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，∵∠B＝∠C＝90°，∠AEB＝∠EFC，∴△ABE∽△ECF，∴＝，∴＝，∴CF＝，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝，∴tan∠DAF＝＝＝．【點睛】本題主要考查作圖-基本作圖，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．3、（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）過點作于點，解直角三角形求得，進(jìn)而證明,根據(jù)“金角”的定義即可證明當(dāng)α＝45°時，∠ACF是“金角”．（2）過點作于點，證明，可得，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得，進(jìn)而根據(jù)定義即可求得答案【詳解】解：（1）四邊形ABCD是矩形，，△ACE的“金角”∠EAC所對的邊CE在BC邊上，，BC＝6，將△ACE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'CE'，，即如圖，過點作于點，在中，,又設(shè)，則在中，在中，四邊形是平行四邊形當(dāng)α＝45°時，∠ACF是“金角”．（2）如圖，過點作于點由（1）可知，則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，在中，，則在中在等腰直角三角形中，，設(shè)，則，在中，即解得（舍）則【點睛】本題考查了“準(zhǔn)對”，三角形的“金角”的定義，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解新定義是解題的關(guān)鍵．4、（1）證明見解析；（2）；（3）80．【解析】【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)菱形的判定證出平行四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，然后設(shè)，從而可得，代入解一元二次方程可得，由此可得，最后在中，利用正弦三角函數(shù)的定義即可得；（3）先根據(jù)平行四邊形的判定證出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定證出平行四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，然后利用勾股定理可得，設(shè)，從而可得，在中，利用勾股定理可得，最后利用平行四邊形的面積公式即可得．【詳解】證明：（1）四邊形是平行四邊形，，，在和中，，；（2），，平分，，，，平行四邊形是菱形，，，設(shè)可得，由得：，解得或（不符題意，舍去），，在中，；（3）由（1）已證：，，，，即，又，即，四邊形是平行四邊形，，，，平行四邊形是矩形，，，設(shè)，則，在中，，即，解得，即，則平行四邊形的面積為．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、正弦三角函數(shù)等知識點，熟練掌握特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5、【解析】【分析】先運用特殊角的三角函數(shù)值和絕對值的知識進(jìn)行計算，然后再合并即可解答．【詳解】解：原式＝（）2+|1﹣|﹣2×＝+﹣1﹣＝．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算、絕對值等知識點，牢記特殊角的三角函數(shù)值成為解答本題的關(guān)鍵．6、（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】