每天半小時天天“7+1”自主加餐練(四)一、7道把關(guān)小題增分練1．若直線kx－y＋1－2k＝0與圓C：(x－1)2＋y2＝4相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\r(2)解析：選B直線kx－y＋1－2k＝0，即k(x－2)－(y－1)＝0恒過定點M(2,1)．而(2－1)2＋12＝2<4，即點M在圓C內(nèi)，因此當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥CM時，|AB|最?。鴪AC的圓心C(1,0)，半徑r＝2，|CM|＝eq\r(2)，所以|AB|min＝2eq\r(r2－|CM|2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).故選B．2．函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,2x＋2－x)的部分圖象大致是()解析：選Af(x)＝eq\f(x3,2x＋2－x)定義域為R，f(－x)＝－f(x)，故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，據(jù)此排除B、D；易知x→＋∞時，f(x)＝eq\f(x3,2x＋2－x)>0,2x→＋∞，2－x→0，x3→＋∞，因為指數(shù)函數(shù)y＝2x比冪函數(shù)y＝x3增長的速率要快，故f(x)→0，即f(x)在x→＋∞時，圖象往x軸無限靠近且在x軸上方，故A符合．故選A．3．已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，若在雙曲線C的左支上存在點P使得PA⊥PB，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A．(1,3] B．[3，＋∞)C．(1,2] D．[2，＋∞)解析：選D將x＝c代入雙曲線C的方程得eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，即y＝±eq\f(b2,a).不妨取點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，設(shè)點P(x，y)，其中x≤－a，且y2＝eq\f(b2x2,a2)－b2，則eq\o(AP,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－c，y－\f(b2,a)))，eq\o(BP,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－c，y＋\f(b2,a))).因為PA⊥PB，所以eq\o(AP,\s\up6(―→))·eq\o(BP,\s\up6(―→))＝(x－c)2＋y2－eq\f(b4,a2)＝x2－2cx＋c2＋eq\f(b2,a2)x2－b2－eq\f(b4,a2)＝eq\f(c2,a2)x2－2cx＋a2－eq\f(b4,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x－a))2－eq\f(b4,a2)＝0.因為x≤－a，則eq\f(c,a)x－a<0，所以eq\f(c,a)x－a＝－eq\f(b2,a)，得x＝eq\f(a2－b2,c)＝eq\f(a2－c2－a2,c)＝eq\f(2a2－c2,c)≤－a，即c2－ac－2a2≥0，整理得e2－e－2≥0.因為e>1，所以e≥2.故選D．4．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,1＋x2)，則對任意實數(shù)x，下列結(jié)論正確的是()A．f(－x)＋f(x)＝0B．函數(shù)f(x)在x＝0處的切線方程為y＝xC．f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1)D．f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))解析：選ABD函數(shù)f(x)＝eq\f(x,1＋x2)的定義域為R，f(－x)＋f(x)＝eq\f(－x,1＋－x2)＋eq\f(x,1＋x2)＝0，A正確．f′(x)＝eq\f(1－x2,1＋x22)，則f′(0)＝1，而f(0)＝0，因此函數(shù)f(x)在x＝0處的切線方程為y＝x，B正確．當(dāng)x∈(－1,1)時，f′(x)>0，因此函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增，C錯誤．當(dāng)x<－1或x>1時，f′(x)<0，即函數(shù)f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，而當(dāng)x<0時，f(x)<0恒成立，當(dāng)x>0時，f(x)>0恒成立，因此f(x)min＝f(－1)＝－eq\f(1,2)，f(x)max＝f(1)＝eq\f(1,2)，所以f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，D正確．故選A、B、D．5．(多選)甲袋中有3個紅球，3個白球和2個黑球；乙袋中有2個紅球，2個白球和4個黑球．先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，分別以A，B，C表示事件“取出的是紅球”“取出的是白球”“取出的是黑球”；再從乙袋中隨機取出一球，以D表示事件“取出的是白球”，則下列結(jié)論正確的是()A．事件A，B，C是兩兩互斥的事件B．事件A與事件D為相互獨立事件C．P(D|A)＝eq\f(2,9)D．P(D)＝eq\f(19,72)解析：選ACD由題意得P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(3,8)，P(C)＝eq\f(1,4)，顯然事件A，B，C是兩兩互斥的事件，故A正確．P(D)＝P(DA)＋P(DB)＋P(DC)＝eq\f(3,8)×eq\f(2,9)＋eq\f(3,8)×eq\f(3,9)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,9)＝eq\f(19,72)，P(AD)＝eq\f(3,8)×eq\f(2,9)＝eq\f(6,72)，因為P(AD)≠P(A)P(D)，故事件A與事件D不相互獨立，故B錯誤，D正確．P(D|A)＝eq\f(PDA,PA)＝eq\f(\f(6,72),\f(3,8))＝eq\f(2,9)，故C正確．故選A、C、D．6．已知等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，前n項的積為Tn，若T13＝4T9，則a8a15＝________.解析：設(shè)公比為q，則由題意可得0<q<1，且an>0.∴a1a2…a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4.又由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a8a15＝a10a13＝a11a12，∴a8a15＝2.答案：27．?dāng)?shù)字波是由0和1組成的脈沖信號序列，某類信號序列包含有n個數(shù)字0和n個數(shù)字1，且每個數(shù)字0之前1的個數(shù)多于0的個數(shù)．當(dāng)n等于3時，這樣的信號序列有________種；當(dāng)n等于5時，這樣的信號序列有________種．解析：當(dāng)n＝1時，只有10一種；當(dāng)n＝2時，有1010,1100兩種；當(dāng)n＝3時，說明有3個1、3個0，且最后一位只能是0，即_____0，有101010,101100,110100,110010,111000五種；當(dāng)n＝5時，總排法為Ceq\o\al(5,10)，不符合題意的排法為Ceq\o\al(4,10)，則符合題意的排法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(4,10)＝42種，所以當(dāng)n＝5時，共有42種．答案：542二、一道?？即箢}循環(huán)練(今日練點：概率與統(tǒng)計)8．某學(xué)校組織“學(xué)習(xí)黨的二十大”知識競賽，某班要從甲、乙兩名同學(xué)中選出一人參賽，選拔方案如下：甲、乙兩名同學(xué)各自從給定的5個問題中隨機抽取3個問題作答，在這5個問題中，已知甲能正確作答其中3個，乙能正確作答每個問題的概率都是eq\f(3,5)，甲、乙兩名同學(xué)作答問題相互獨立．記甲答對題的個數(shù)為X，乙答對題的個數(shù)為Y.(1)求甲、乙恰好答對2個問題的概率；(2)若讓你投票選擇一名發(fā)揮較穩(wěn)定的同學(xué)參賽，你會選擇哪名同學(xué)？請說明理由．解：(1)設(shè)“甲、乙恰好答對2個問題”為事件A，則P(A)＝P(X＝1)·P(Y＝1)＋P(X＝2)·P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))·Ceq\o\al(1,3)·eq\f(3,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＋eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))·Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(3,10)×eq\f(36,125)＋eq\f(6,10)×eq\f(8,125)＝eq\f(78,625).(2)選擇甲．理由如下：由已知得X所有可能的取值為1,2,3，所以P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)·C\o\al(0,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).所以X的分布列為X123Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)E(X)＝1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(9,5)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,5)))2×eq\f(3,10)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(9,5)))2×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\