2.7探索勾股定理講解目錄講解目錄TOC\o"13"\h\u【知識點1】勾股定理的證明 1【知識點2】勾股數(shù) 1【知識點3】勾股定理的逆定理 1【知識點4】勾股定理 2【知識點5】勾股定理的應用 2【題型1】勾股定理的面積問題 3【題型2】勾股定理的實際應用 5【題型3】根據(jù)勾股定理列方程求邊長 7【題型4】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷是否為直角三角形 8【題型5】勾股定理和勾股定理逆定理的綜合運用 9【題型6】根據(jù)勾股定理已知兩邊求第三邊 10知識講解知識講解【知識點1】勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．【知識點2】勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2=c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…【知識點3】勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【知識點4】勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的變形有：a=c2?b2，b=c（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．【知識點5】勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．題型專練題型專練【題型1】勾股定理的面積問題【典型例題】如圖，兩個正方形陰影的面積分別為，，則直角三角形的面積為(

)A.B.C.D.【舉一反三1】如圖，在中，，，，以其三邊為邊向形外分別作正方形，然后將整個圖形放置于如圖所示的長方形中，使點，，，，恰好在長方形的邊上，則圖中陰影部分的面積為(

)A.B.C.D.【舉一反三2】勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書周髀算經(jīng)中早有記載如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內(nèi)，則圖中陰影部分的面積等于(

)A.直角三角形的面積B.最大正方形的面積C.較小兩個正方形重疊部分的面積D.最大正方形與直角三角形的面積和【舉一反三3】如圖，陰影部分是一個長方形，則長方形的面積是(

)A.B.C.D.【舉一反三4】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形，，，的面積分別為，，，，則最大的正方形的面積為___．【舉一反三5】如圖，中，，，以的三邊向外作正方形，以為邊的正方形的面積為，則正方形的面積為_________．【舉一反三6】如圖，三角形是直角三角形，四邊形是正方形，已知正方形的面積是，正方形的面積是，則半圓的面積是

．【題型2】勾股定理的實際應用【典型例題】如圖，某公園的一塊草坪旁邊有一條直角小路，公園管理處為了方便群眾，沿AC修了一條近路，已知AB＝40米，BC＝30米，則走這條近路AC可以少走（）米路．A.20B.30C.40D.50【舉一反三1】已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里【舉一反三2】如圖，玻璃杯的底面半徑為4cm，高為6cm，有一只長13cm的吸管任意斜放于杯中，則吸管露出杯口外的長度至少為（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm【舉一反三3】如圖所示，一棵大樹折斷后倒在地上，請按圖中所標的數(shù)據(jù)，計算大樹沒折斷前的高度的結果是

．【舉一反三4】如圖，在A村與B村之間有一座大山，原來從A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）繞過村莊間的大山，打通A、B間的隧道后，就可直接從A村到B村．已知AC＝6km，BC＝8km，那么打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為

km．【舉一反三5】八年級二班小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得如圖風箏的高度CE，他們進行了如下操作：（1）測得BD的長度為15米．（注：BD⊥CE）（2）根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為25米．（3）牽線放風箏的小明身高1.6米．求風箏的高度CE．【題型3】根據(jù)勾股定理列方程求邊長【典型例題】小明想知道學校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高是（）A.8米B.10米C.12米D.14米【舉一反三1】如圖，長方形中，，，將沿折疊，使點恰好落在對角線上的處，則的長是(

)A.B.C.D.【舉一反三2】如圖，在長方形中，，，將其折疊，使邊落在對角線上，得到折痕，則點到點的距離為(

)A.B.C.D.【舉一反三3】如圖，在長方形形中，，，為上一點，將沿折疊，點恰好落在對角線上的點處，則折線的長為(

)A.B.C.D.【舉一反三4】如圖所示，有一直立標桿AB，它的上部被風從M處吹折，桿頂B著地，落在距桿腳2米的B1處，修好后，又被風吹折，因新折斷N比前一次折斷處M低0.5米，故這次桿頂B著地處B2比前一次著地處B1遠1米，則原標桿AB的高為（）A.4米B.4.5米C.5米D.6.5米【舉一反三5】某數(shù)學興趣小組開展測量學校旗桿的實踐活動．【舉一反三6】如圖，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷，樹的頂部落在離樹根8米處，即BC＝8，求這棵樹在離地面多高處被折斷（即求AC的長度）？【題型4】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷是否為直角三角形【典型例題】以下列各組數(shù)為邊長，能構成直角三角形的是(

)A.，，B.，，C.，，D.，，【舉一反三1】下列數(shù)組中的數(shù)據(jù)分別為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是(

)A.，，B.，，C.，，D.，，【舉一反三2】如圖，在網(wǎng)格圖中每個小正方形的邊長為，點均為格點，給出下列三個命題：點到點的最短距離為；點到直線的距離為；直線所交的銳角為；其中，所有正確命題的序號為__________________填序號【舉一反三3】如圖，在中，，，，求的面積．【題型5】勾股定理和勾股定理逆定理的綜合運用【典型例題】如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點都在格點上，下列結論錯誤的是(

)A.B.C.于點D.【舉一反三1】如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，，，，是網(wǎng)格線交點，則與的大小關系為(

)A.B.C.D.無法確定【舉一反三2】如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為，點、、都在格點上，則下列結論錯誤的是(

)A.B.C.的面積為D.點到直線的距離是【舉一反三3】如圖，在的正方形網(wǎng)格中標出了和，則____．【舉一反三4】如圖，有一塊菜地，已知，，，，，求這塊地的面積．【舉一反三5】如圖，在中，，，，是上一點，且．試判斷的形狀，并說明理由；求的長．【題型6】根據(jù)勾股定理已知兩邊求第三邊【典型例題】如圖所示：求黑色部分（長方形）的面積為（）A.24B.30C.48D.18【舉一反三