第1頁(yè)/共1頁(yè)貴州省惠水民族中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】已知集合，根據(jù)并集的定義運(yùn)算求解即可.【詳解】已知集合，集合，根據(jù)并集的定義：．故選：A．2.設(shè)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的概念得解.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：A3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)特征判斷大小范圍，即可求解.【詳解】因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，所以，因?yàn)闉闇p函數(shù)，，所以，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，，所以.所以.故選：B4.2025年春節(jié)檔上映的動(dòng)畫(huà)電影《哪吒之魔童鬧海》引發(fā)全民觀影熱潮．某數(shù)據(jù)平臺(tái)實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)了該片上映前10天的全國(guó)單日票房（單位：億元），并生成如圖所示的折線圖．假設(shè)橫軸為上映時(shí)間（日期），縱軸為單日票房（億），則下列說(shuō)法正確的是（）A.前十日之后，隨著上映時(shí)間增加，單日票房一定會(huì)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)B.上映前十天票房極差為4.76（億）C.上映前十天的票房中位數(shù)為6.34（億）D.上映前十天的票房第70百分位數(shù)為7.30（億）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)極差、中位線、百分位的定義計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖，無(wú)法預(yù)測(cè)前十日之后，隨著上映時(shí)間的增加，單日票房一定會(huì)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：上映前十天的票房極差為（億），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：上映前十天的票房從小到大排列為、、、、、、、、、，所以上映前十天的票房中位數(shù)為（億），故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以上映前十天的票房?0百分位數(shù)為（億），故D錯(cuò)誤.故選：C5.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)，則三棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得三棱錐中，兩兩垂直，且，進(jìn)而三棱錐的外接球即為以為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而求解得外接球的半徑與表面積，再根據(jù)等體積法求解內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而計(jì)算內(nèi)切球的表面積，最后計(jì)算比值即可得答案.【詳解】解：如圖，依題意知，，，，平面，又平面，所以三棱錐中，兩兩垂直，且，所以三棱錐的外接球即為以為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，所以三棱錐的外接球半徑滿足，則其外接球的表面積為.因?yàn)槿忮F的表面積為正方形的面積，，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，所以由等體積法得，得，所以內(nèi)切球的表面積為所以三棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為故選：C．6.已知是兩個(gè)不同的平面，，是內(nèi)兩條不同的直線，則“，且”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由面面平行的判定與性質(zhì)即可判斷．【詳解】若，，則不一定平行（缺少條件相交）；若，，則，且，故“，且”是“”的必要不充分條件，故選：C．7.在平面直角坐標(biāo)系中，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合投影向量的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】由平面直角坐標(biāo)系中，，，可得，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B.8.若，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，從而構(gòu)造函數(shù)，推出該函數(shù)在上單調(diào)遞減，求出其導(dǎo)數(shù)，分離參數(shù)，結(jié)合函數(shù)的最值，即可求得答案.【詳解】等價(jià)于，即等價(jià)于，即等價(jià)于．令，則條件等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，則．又，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.二、多選題（本大題共3小題）9.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.B.的最小值為C.的最小值為9D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等式的變形，結(jié)合為正實(shí)數(shù)，可判斷A項(xiàng)，變形等式，結(jié)合的取值范圍，利用一元二次函數(shù)可判斷B項(xiàng)，利用基本不等式中“1”的用法可求解C項(xiàng)，利用基本不等式，結(jié)合題干中的等式驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，可判斷D項(xiàng).【詳解】解：因，則，即，又為正實(shí)數(shù)，則，所以，，故A項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，又，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，且為正?shí)數(shù)，即，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但由可得，當(dāng)時(shí)，，且，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，從左到右三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)依此為，則以下說(shuō)法正確的是（）A. B.C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)分類討論求最值，然后數(shù)形結(jié)合，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】對(duì)于AB，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒(méi)有最大值，不符合題意，由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒(méi)有最大值，不符合題意，于是有，因此選項(xiàng)AB正確，對(duì)于CD，兩個(gè)函數(shù)圖像如下圖所示：

由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，且，由，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，，于是有，且，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合等式是解題的關(guān)鍵.11.如圖，在正三棱柱中，，過(guò)中點(diǎn)的截面，將正三棱柱分成上下兩部分，設(shè)下半部分幾何體的體積為，則下列四個(gè)體積是的幾何體中，能放在半徑為3的球體內(nèi)的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.正方體 B.正四面體C.高是4的圓柱 D.高是5的圓錐【答案】AC【解析】【分析】分析幾何特征，計(jì)算下半部分幾何體的體積，分析各選項(xiàng)中幾何體外接球半徑，與比大小即可確定答案.【詳解】由題意得，正三棱柱由截面分成的上部分為正三棱柱，下部分為直四棱柱，高度相等，如圖，在等邊三角形中，分別為的中點(diǎn)，由相似得與的面積比為，故正三棱柱上、下兩部分的底面積比為，即正三棱上、下兩部分的體積比為，∴.A.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，得，∴正方體體對(duì)角線為，正方體的外接球半徑為，能放在半徑為3的球體內(nèi)，A正確.B.如圖，在正方體中，由各面對(duì)角線相等可得三棱錐為正四面體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，由選項(xiàng)A可知體積為的正方體恰好能放在半徑為3的球體內(nèi)，當(dāng)正四面體的體積為，正方體的體積大于，此時(shí)正方體外接球半徑大于，故不能放在半徑為3的球體內(nèi)，B錯(cuò)誤.C.如圖，設(shè)圓柱的底面圓半徑為，外接球半徑為，外接球球心為，則為圓柱上下底面圓心連線的中點(diǎn).由題意得，，∴，∴，故此圓柱能放在半徑為3的球體，C正確.D.如圖，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，外接球半徑為，外接球球心為，則點(diǎn)在圓錐的高上.由題意得，，∴，由得，，故此圓錐不能放在半徑為3的球體，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是分析、計(jì)算各選項(xiàng)中幾何體外接球的半徑，與比大小，即可確定幾何體能否放在半徑為3的球體內(nèi).三、填空題（本大題共3小題）12.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，后解不等式可得答案.詳解】因，則，又，則，即，因，則，則不等式恒成立，等價(jià)于恒成立.因，則，則.注意到的根為，且，則.故答案為：.13.在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．【答案】或0【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長(zhǎng)度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．14.已知圓O的直徑AB把圓分成上下兩個(gè)半圓，點(diǎn)C，D分別在上、下半圓上（都不與A，B點(diǎn)重合）若，，則_______.【答案】3【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則與定義即可得解.【詳解】依題意，連接，如圖，因?yàn)槭侵睆?，所以，所以，，所?故答案為：3.四、解答題（本大題共5小題）15.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成的兩條射線，分別為同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，若，則記.（1）在仿射坐標(biāo)系中①若，求；②若，且與的夾角為，求；（2）如上圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，B，C分別在軸，軸正半軸上，分別為BD，BC中點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①由題意，，將其兩邊平方，再開(kāi)方即可得到；②由，由表示出和，再由已知用表示出，因?yàn)榕c夾角為，然后由，即可得到；（2）由題意，設(shè)出坐標(biāo)，表示出，由，將表示成，在中依據(jù)余弦定理可得，代入得，方法一：設(shè)，得到，則可得的最大值；方法二：在中，用正弦定理，再設(shè)，可得，代入，通過(guò)三角恒等化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而得到的最大值.【小問(wèn)1詳解】①因?yàn)椋?，②由，得，，，因?yàn)榕c的夾角為，則，得．【小問(wèn)2詳解】方法一：依題意設(shè)，，因?yàn)闉锽C中點(diǎn)，為BD中點(diǎn)，所以，所以，，因?yàn)椋瑒t，在中依據(jù)余弦定理得，所以，代入上式得，.設(shè)，則，令得，得(舍)，所以，則.方法二：依題意設(shè)，，因?yàn)闉锽C中點(diǎn)，則，為BD中點(diǎn)，所以，所以，，因?yàn)?，在中依據(jù)余弦定理得，所以，代入上式得，，在中，由正弦定理，設(shè)，，則16.2024年10月13日，成都市將舉辦馬拉松比賽，其中志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障.成都市文體廣電旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組:第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求a的值;（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)和第百分位數(shù);（3）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取人，擔(dān)任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為和，第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為和，請(qǐng)據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差.（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差）【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的概率乘以組距等于，可求得（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解；（3）先計(jì)算出第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)，由題意，再根據(jù)分層抽樣的方差公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由圖得，解之可得；【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意知，，，設(shè)第百分位數(shù)為，所以，，解之可得，故這名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)為，第80百分位數(shù)為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)第二組、第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)、方差分別為，且兩組的頻率之比為，則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)為，第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差為，則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差為.17.如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為2，底面為正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi).（1）若中點(diǎn)為，求的面積；（2）若平面，求線段長(zhǎng)度的最小值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用幾何關(guān)系求出，從而得到，然后利用三角形面積公式求解即可；（2）構(gòu)造平面平面，從而確定點(diǎn)必在上，然后利用等面積法求解即可；或者利用空間向量結(jié)合二次函數(shù)求最值.【小問(wèn)1詳解】連接、、，，，同理，是正方形對(duì)角線AC中點(diǎn)，，且，，即，則，.【小問(wèn)2詳解】法一：取中點(diǎn)，連接，，，易得，故四邊形是平行四邊形，，又平面平面，平面，同理，平面平面，平面，且都在面內(nèi)，故平面平面，則點(diǎn)必在上，且當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度最小，，由等面積法得：，解得，故的最小長(zhǎng)度為.法二：取為一組空間基底，則，，平面，，代入整理得，故，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為.法三：由第一問(wèn)知，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，同理，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)點(diǎn)，，，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為.18.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.從①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】選擇①，面積的取值范圍為.選擇②，面積的取值范圍為.【解析】【分析】選擇①，由正弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式求出面積的表達(dá)式，消去角，得到角三角函數(shù)，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)結(jié)合角的范圍求得結(jié)果；選擇②，由正弦定理求出，代入面積公式，消去角，化簡(jiǎn)