專題02角的平分線重難點題型專訓(xùn)（2個知識點+7大題型+3大拓展訓(xùn)練+自我檢測）題型一根據(jù)角平分線的性質(zhì)求角度題型二根據(jù)角平分線的性質(zhì)求長度題型三根據(jù)角平分線的性質(zhì)求面積題型四作角平分線(尺規(guī)作圖)題型五角平分線的性質(zhì)定理題型六角平分線的判定定理題型七角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用拓展訓(xùn)練一角平分線的判定與性質(zhì)多結(jié)論問題拓展訓(xùn)練二角平分線的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用拓展訓(xùn)練三角平分線的常見輔助線添加知識點一：角平分線的定義①定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等角的射線，叫做這個角的角平分線。②表示：若射線OC是∠AOB的角平分線，則∠AOC=∠BOC=(1/2)∠AOB。記作：OC平分∠AOB。【即時訓(xùn)練】1．（2425八年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）到三角形三邊距離相等的點是（

）A．三條邊中線的交點 B．三條邊的高的交點C．三個角的角平分線的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．本題考查角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理．【詳解】解：到三角形三邊距離相等的點是三個角的角平分線的交點．故選：C．【答案】角平分線上的點到角的兩邊距離相等【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．故答案為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等．知識點二：角平分線的性質(zhì)與判定角的平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.2、角的平分線的判定：角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB3、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖步驟：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.（3）畫射線OC，射線OC即為所求.4、三角形的角平分線：三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點，且到三邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別與聯(lián)系：角平分線的性質(zhì)定理中的題設(shè)“在角的平分線上的點”，這個點不是一個點，實際上是指角平分線上的任意一點，或者說是角平分線上的所有點都具有“到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理是兩個互逆定理，是兩個互逆的真命題。要從題設(shè)、條件與結(jié)論的關(guān)系上角平分線的性質(zhì)定理與判定定理在應(yīng)用時的作用不同。性質(zhì)定理的結(jié)論是確定點到角的兩邊的距離相等的問題。判定定理的結(jié)論是判定點是否在角平分線上的問題。【即時訓(xùn)練】【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)，得出結(jié)論一定要與選項進行比對．故選：B．【答案】5所以點D到的距離是5．故答案為：5．【經(jīng)典例題一根據(jù)角平分線的性質(zhì)求角度】A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：過點作，分別垂直于，，故選：C．A． B． C． D．【答案】D故選：D．【答案】32.5故答案為：．【答案】/度【詳解】解：如圖，連接，沿折疊，故答案為：．(2)求證：點到三邊、、所在直線的距離相等．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等．點到三邊、、所在直線的距離相等．【經(jīng)典例題二根據(jù)角平分線的性質(zhì)求長度】

A．3 B．4 C．6 D．5【答案】B

故選：B．A．3 B．5 C． D．6【答案】B故選：B．【答案】【分析】此題考查了角平分線的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等即可求解．故答案為：．【答案】3【詳解】解：連接，故答案為：3．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三根據(jù)角平分線的性質(zhì)求面積】A．4 B．8 C．16 D．18【答案】C故選：C．A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【分析】本題考查了三角形的角分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)，三角形的面積．先求出點D到、的距離，然后再根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)即可得結(jié)論．故選：A．【答案】故答案為：．

【答案】6【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作出輔助線求得三角形的高．∵是邊上的高，故答案為：6．

【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的高，三角形的面積，熟練掌握:角平分線上的點到角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四作角平分線(尺規(guī)作圖)】A．2 B．4 C．8 D．10【答案】A【分析】此題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；故選：A．A．0.5 B．1 C．2 D．無法確定【答案】B根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為，故選：B．【答案】/69度故答案為：．【答案】故答案為：．【答案】見解析則點N即為所求．【經(jīng)典例題五角平分線的性質(zhì)定理】【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．故選：CA．24 B．28 C．32 D．36【答案】B【分析】本題主要考查尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理的運用，理解尺規(guī)作角平分線，掌握角平分線的性質(zhì)定理的運用是關(guān)鍵．故選：B．【答案】故答案為：．【答案】故答案為：3．【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．【詳解】解：（1）如圖1，【經(jīng)典例題六角平分線的判定定理】【例6】（2425八年級上·云南·期中）如圖，為給金源學(xué)子提供良好的閱讀環(huán)境，金源學(xué)校有一塊三角形小樹林，需要在小樹林里建一圖書角供同學(xué)們使用，要使圖書角到小樹林三條邊的距離相等，圖書角的位置應(yīng)選在（

）【答案】B【分析】本題考查了是角的平分線的判定定理在實際生活中的應(yīng)用，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等即可求解，掌握角平分線的性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵角平分線上的點到角兩邊的距離相等，故選：．

A． B． C． D．【答案】B∵M是的中點，故選：B．

2．（2425八年級上·全國·期中）敘述點在角平分線上的判定是．【答案】到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上【分析】根據(jù)角平分線的判定：到角兩邊距離相等的點在角平分線，即可求解.【詳解】解：點在角平分線上的判定是到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．

故答案為：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．【點睛】本題主要考查了角平分線的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握角平分線的判定方法.【答案】到角兩邊距離相等的點在角平分線上∴依據(jù)是：到角兩邊距離相等的點在角平分線上．故答案為：到角兩邊距離相等的點在角平分線上．【點睛】此題考查了三角形面積，角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，根據(jù)面積和底邊相等得出高相等．【答案】(1)證明見解析【分析】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的高．熟練掌握：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用】【例7】（2425八年級上·安徽安慶·期末）如圖，三條公路、、兩兩相交，計劃建一座加油站，滿足到三條公路的距離相等，則可供選址的地方有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，加油站要到三條公路的距離都相等，可知加油站必須是三條相交直線所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線的交點，而相鄰兩外角平分線有個交點，內(nèi)角平分線的交點有個，據(jù)此即可求解，掌握叫佛系的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵加油站要到三條公路的距離都相等，∴加油站必須是三條相交直線所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線的交點，而相鄰兩外角平分線有個交點，內(nèi)角平分線的交點有個，∴加油站可供選址的地方有個，故選：．A．4 B．4.5 C．5 D．6【答案】A【分析】過點D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝DF，再根據(jù)S△ABC＝S△ABD＋S△ACD列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，過點D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，∴DE＝DF，由圖可知，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，∴×6×3＋×AC×3＝15，解得AC＝4．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2425八年級上·甘肅武威·階段練習(xí)）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若CD＝8，則點D到斜邊AB的距離等于．【答案】8【分析】利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知點D到斜邊AB的距離等于8．【詳解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，CD＝8，∴點D到斜邊AB的距離等于CD∴D到斜邊AB的距離為8．故答案為∶8．【點睛】本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)．本題直接運用角平分線的性質(zhì)即可，比較簡單，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025八年級上·全國·模擬預(yù)測）已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D，E，F(xiàn)分別是垂足，且BC＝8，CA＝6，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于．【答案】2【詳解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm，CA=6cm，∵點O為△ABC的三條角平分線的交點，∴OE=OF=OD，設(shè)OE=x，∴5x+3x+4x=24，∴x=2，即點O到三邊AB，AC和BC的距離都等于2．故答案為2．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等．【答案】(1)線段垂直平分；角平分(2)23°【分析】（1）根據(jù)作圖痕跡判斷即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)進行求解即可；【詳解】（1）解：根據(jù)作圖痕跡可知，直線是線段的線段垂直平分線；（2）∵垂直平分【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【拓展訓(xùn)練一角平分線的判定與性質(zhì)多結(jié)論問題】A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A故選：A．【答案】①②③④故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．【感悟】【探究】（2）如圖2，當(dāng)點D在射線上，且與不垂直時，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論②是否仍然成立？請說明理由；【拓展】【分析】本題考查了角平分線性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵在于通過作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用角平分線的性質(zhì)和全等三角形的對應(yīng)邊相等，結(jié)合題目條件逐步推理出線段間的關(guān)系，從而解決問題．【詳解】①證明：如圖1所示：仍然成立，理由如下：【拓展訓(xùn)練二角平分線的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用】【答案】D故選D．【答案】故答案為：．(2)【分析】本題主要考查三角形全等的判定方法及角平分線的性質(zhì)，能夠熟練運用角平分線的性質(zhì)得到高的長度是解題關(guān)鍵．【拓展訓(xùn)練三角平分線的常見輔助線添加】A．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等B．到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上C．角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等D．到角的兩邊距離相等的點在角平分線上【答案】B【分析】本題主要考查了線段垂直平分線，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解【詳解】解：．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，條件結(jié)論倒置，不能證明．故本選項不符合題意；．到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，條件滿足即可證明，故本選項符合題意；．角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，和不滿足到角兩邊的距離，不能證明，故本選項不符合題意；．到角的兩邊距離相等的點在角平分線上，和不滿足到角兩邊的距離，不能證明，故本選項不符合題意．故選：B．2．（2025八年級上·全國·模擬預(yù)測）如圖，D是△ABC的邊BC上的一點，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分線分別與AC、AD相交于點E、F，則圖形中共有對相似三角形．（不添加任何輔助線）

【答案】3【分析】由已知條件和有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似即可完成．【詳解】在△ABC與△DBA中，∵∠ABD＝∠ABD，∠BAD＝∠C，∴△ABC∽△DBA，在△ABF與△CBE中，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBE，又∠BAF＝∠BCE，∴△ABF∽△CBE．同理可證得：△ABE∽△DBF，所以圖形中共有3對相似三角形．故答案為：3．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，角平分線的定義，根據(jù)條件尋找相似三角形是本題的難點．【分析】本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；A． B． C． D．【答案】C∴，故選：．A．1 B．2 C．3 D．35【答案】A【詳解】解：如圖所示，過點D作、、分別垂直于，、，垂足分別為E、F、G，連接∴點D到的距離為1，故選：A．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂線段最短，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鞒鲚o助線，找到最短線段，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．即的最小值是4，故選：C．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，余角的性質(zhì)等知識，利用余角的性質(zhì)可判定①、②；利用角平分線的性質(zhì)可判斷③；利用全等三角形的判定可判定④．∴E到、的距離相等，設(shè)這個距離為故選：C．A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B故選：B．【答案】∴點到射線的距離是．故答案為：．【答案】10∴12故答案為：10．【答案】5故答案為：5．【答案】1故答案為：1．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．【答案】18故答案為：1