2025年考研數(shù)學(xué)真題特點(diǎn)及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)函數(shù)$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=1$，則（）A.$f(0)$是$f(x)$的極大值B.$f(0)$是$f(x)$的極小值C.$f(x)$在$x=0$處不可導(dǎo)D.$(0,f(0))$是曲線$y=f(x)$的拐點(diǎn)答案：B2.已知向量組$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,3,4)^T$，$\alpha_3=(3,4,5)^T$，則該向量組的秩為（）A.1B.2C.3D.0答案：B3.設(shè)$A$為$3$階方陣，且$|A|=2$，則$|2A^{-1}+A^|$的值為（）A.4B.6C.8D.10答案：C4.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(1,4)$，已知$\Phi(1)=0.8413$，則$P(X\leq3)$的值為（）A.0.8413B.0.6826C.0.9772D.0.5答案：A5.函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y$在點(diǎn)$(1,-2)$處（）A.取得極大值B.取得極小值C.不取得極值D.無法確定是否取得極值答案：B6.設(shè)函數(shù)$y=y(x)$由方程$e^{x+y}-xy=1$所確定，則$\frac{dy}{dx}|_{x=0}$的值為（）A.-1B.0C.1D.2答案：A7.已知級數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則下列級數(shù)一定收斂的是（）A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|$B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+a_{n+1})$D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$答案：C8.設(shè)$A$，$B$為$n$階方陣，且$AB=O$，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.$A=O$或$B=O$B.$|A|=0$或$|B|=0$C.$(A+B)^2=A^2+B^2$D.$A$與$B$都不可逆答案：B9.設(shè)隨機(jī)變量$X$的概率密度為$f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，則$E(X^2)$的值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.1答案：A10.曲線$y=\frac{1}{x-1}$的漸近線有（）A.1條B.2條C.3條D.0條答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=\sqrt{x}$D.$y=\begin{cases}x+1,&x\geq0\\x-1,&x\lt0\end{cases}$答案：BC2.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可導(dǎo)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)遞增，則$f^\prime(x)\geq0$在$[a,b]$上恒成立B.若$f^\prime(x)\gt0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立，則$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)遞增C.若$f(x)$在$[a,b]$上有最大值和最小值，則$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)D.若$f(x)$在$[a,b]$上可導(dǎo)，則$f(x)$在$[a,b]$上一定有最大值和最小值答案：AB3.設(shè)向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$線性相關(guān)，則（）A.該向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.該向量組中任意一個向量都可由其余向量線性表示C.存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$D.該向量組的秩小于$s$答案：ACD4.設(shè)$A$為$n$階方陣，下列命題正確的有（）A.若$A$可逆，則$A$的伴隨矩陣$A^$也可逆B.若$A$不可逆，則$A$的伴隨矩陣$A^$也不可逆C.若$|A|=0$，則$A^$的秩為$0$D.若$|A|\neq0$，則$|A^|=|A|^{n-1}$答案：ABD5.設(shè)隨機(jī)變量$X$與$Y$相互獨(dú)立，且$X\simN(1,1)$，$Y\simN(2,4)$，則（）A.$X+Y\simN(3,5)$B.$X-Y\simN(-1,5)$C.$2X+Y\simN(4,8)$D.$X-2Y\simN(-3,17)$答案：ABD6.下列級數(shù)中，絕對收斂的有（）A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot2^n}$D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sinn}{n^2}$答案：BCD7.設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微，則（）A.$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處連續(xù)B.$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處偏導(dǎo)數(shù)存在C.$\Deltaz=f_x(x_0,y_0)\Deltax+f_y(x_0,y_0)\Deltay+o(\rho)$（其中$\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}$）D.$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的全微分$dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy$答案：ABCD8.設(shè)$A$，$B$為$n$階方陣，且$A$與$B$相似，則（）A.$A$與$B$有相同的特征值B.$A$與$B$有相同的特征向量C.$|A|=|B|$D.$A$與$B$有相同的秩答案：ACD9.設(shè)隨機(jī)變量$X$的分布函數(shù)為$F(x)$，則（）A.$F(x)$是單調(diào)不減函數(shù)B.$0\leqF(x)\leq1$C.$F(-\infty)=0$，$F(+\infty)=1$D.$F(x)$是右連續(xù)的答案：ABCD10.曲線$y=x^3-3x$的性質(zhì)正確的有（）A.在$(-\infty,-1)$上單調(diào)遞增B.在$(-1,1)$上單調(diào)遞減C.在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增D.有兩個極值點(diǎn)答案：ABCD三、判斷題1.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的左、右極限都存在，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。（）答案：錯誤2.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上的導(dǎo)數(shù)恒為零，則$f(x)$在區(qū)間$I$上是常數(shù)函數(shù)。（）答案：正確3.向量組中向量個數(shù)大于向量的維數(shù)時，該向量組一定線性相關(guān)。（）答案：正確4.若$A$，$B$為$n$階方陣，且$AB=BA$，則$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$。（）答案：正確5.設(shè)隨機(jī)變量$X$與$Y$相互獨(dú)立，則$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。（）答案：正確6.若級數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，級數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$發(fā)散，則級數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$一定發(fā)散。（）答案：正確7.函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的偏導(dǎo)數(shù)$f_x(x_0,y_0)$，$f_y(x_0,y_0)$都存在，則$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微。（）答案：錯誤8.若$n$階方陣$A$的行列式$|A|\neq0$，則$A$的列向量組線性無關(guān)。（）答案：正確9.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，則$E(X)=D(X)=\lambda$。（）答案：正確10.曲線$y=\lnx$在定義域內(nèi)是凸函數(shù)。（）答案：錯誤四、簡答題1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$的單調(diào)區(qū)間與極值。答案：先求導(dǎo)數(shù)$f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=-1$或$x=3$。當(dāng)$x\lt-1$時，$f^\prime(x)\gt0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$-1\ltx\lt3$時，$f^\prime(x)\lt0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x\gt3$時，$f^\prime(x)\gt0$，函數(shù)單調(diào)遞增。所以極大值為$f(-1)=10$，極小值為$f(3)=-22$。2.已知向量組$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(1,3,t)^T$，問$t$為何值時，該向量組線性相關(guān)？答案：構(gòu)造矩陣$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}$，對其進(jìn)行初等行變換，$A\to\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}$。當(dāng)$t=5$時，矩陣$A$的秩小于$3$，向量組線性相關(guān)。3.計算二重積分$\iint\limits_Dxyd\sigma$，其中$D$是由直線$y=x$，$y=1$，$x=0$所圍成的區(qū)域。答案：積分區(qū)域$D$為$0\leqx\leq1$，$x\leqy\leq1$。則二重積分可化為累次積分$\int_0^1\int_x^1xydydx$。先對$y$積分得$\int_0^1x[\frac{1}{2}y^2]_x^1dx=\frac{1}{2}\int_0^1x(1-x^2)dx$，再對$x$積分，$\frac{1}{2}[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x^4]_0^1=\frac{1}{8}$。4.已知隨機(jī)變量$X$的概率分布為$P(X=k)=\frac{c}{k(k+1)}$，$k=1,2,3,\cdots$，求常數(shù)$c$的值。答案：由概率分布的性質(zhì)$\sum\limits_{k=1}^{\infty}P(X=k)=1$，即$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{c}{k(k+1)}=1$。而$\frac{c}{k(k+1)}=c(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$，則$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{c}{k(k+1)}=c\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$，這是一個裂項(xiàng)相消的級數(shù)，其和為$c$，所以$c=1$。五、討論題1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}$的間斷點(diǎn)類型。答案：函數(shù)無定義的點(diǎn)為$x=1$和使分母為$0$的點(diǎn)。令$1-e^{\frac{x}{1-x}}=0$，即$e^{\frac{x}{1-x}}=1$，得$\frac{x}{1-x}=0$，$x=0$。當(dāng)$x\to0$時，$\lim\limits_{x\t