微專題3數(shù)學(xué)分析法1.幾何法在共點力平衡問題中,常常借助三角形的有關(guān)知識,例如矢量三角形、相似三角形、正

弦定理、余弦定理等來解決有關(guān)力的問題。典例1如圖a所示,工人用推車運送石球,到達目的地后,緩慢抬起把手將石球倒出

(圖b)。若石球與板OB、OA之間的摩擦不計,∠AOB=60°,圖a中BO與水平面的夾角為3

0°,則在抬起把手使OA變?yōu)樗降倪^程中,石球?qū)B板的壓力N1、對OA板的壓力N2的

大小變化情況是

()A.N1變小B.N1變大

A

C.N2變大D.N2先變小后變大

解析對石球受力分析如圖所示,

緩慢抬起OB過程中,石球受力平衡,可得

=

=

,其中G和α不變,在轉(zhuǎn)動過程中β從90°增大到180°,sinβ變小,則N1'變小;γ從150°減小到60°,sinγ先變大后變小,則N2'將先

變大后變小,根據(jù)牛頓第三定律知,N1變小,N2先變大后變小,A正確。2.基本不等式法設(shè)x1、x2為任意兩個正數(shù),必有不等式

≥

。如果兩變數(shù)之和為一定值(設(shè)x1+x2=k),則當(dāng)這兩個數(shù)相等時,它們的乘積取極大值,其值為ymax=x1x2=

;如果兩變數(shù)的積為一定值(設(shè)x1x2=k),則當(dāng)這兩個數(shù)相等時,它們的和取極小值,其值為ymin=x1+x2=2

。利用兩數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的上述性質(zhì),可以方便地計算某些極值問題。典例2如圖所示,輕繩的一端系在距水平地面高度為h的O點,某次訓(xùn)練中,人(視為質(zhì)

點,圖中未畫出)從O點等高的A點抓住輕繩的另一端靜止蕩下(該過程中輕繩長度始終

不變),當(dāng)輕繩豎直時,他放開輕繩,一段時間后落到地面上的C點,不計空氣阻力。若輕

繩的長度可在(0,h)范圍內(nèi)調(diào)節(jié),則B、C兩點間的最大水平距離為

()

A.h

B.2h

C.

D.

A

解析設(shè)軌跡圓弧的半徑為L,人到B點時的速度大小為v0,由A點到B點的過程,由動能

定理有mgL=

m

,設(shè)人從B點運動到C點所用時間為t,B、C兩點間的水平距離為x,則有h-L=

gt2,x=v0t,解得x=2

,由基本不等式性質(zhì)可得x=2

≤L+(h-L)=h,A正確。3.小量近似法在中學(xué)物理中常用的近似算法主要有:(1)在角度θ(或Δθ)很小時,弦長≈弧長,Δθ≈

(r為圓的半徑)。(2)在三角函數(shù)運算中,當(dāng)角度θ很小時(通常θ<5°),可以認為sinθ≈tanθ≈θ;cosθ≈1。(3)當(dāng)x?1時,f(x)=(1+x)m≈1+mx(式中m可以是正或負的整數(shù)或分數(shù))。典例3某同學(xué)看到魚池中池邊的魚離水面的距離約為1m,已知水的折射率為1.33,則

魚的實際深度約為

()A.0.50m

B.0.75m

C.1.33m

D.1.78m

C

解析由題意作出光路圖如圖所示,B點為人所觀察到的魚的虛像,即BO在一條直線上,

魚的實際位置應(yīng)在B點下方,設(shè)為C,設(shè)魚射來的光線在O點的入射角為i1,折射角為i2,如

圖所示,根據(jù)幾何關(guān)系得tani1=

,tani2=

,其中n=

=1.33,魚的實際深度B'C=BB'

,由于人在觀察時可視為接近在正上方觀察,則i1、i2都很小,則有B'C=BB'

≈BB'

,BB'=1m,則可解得B'C=1.33m,C正確。4.函數(shù)法分析(1)對于形如y=asinx+bcosx的函數(shù),可先進行三角變換,然后確定其極值條件。y=asinx+bcosx=

·

令sinφ=

、cosφ=

,則當(dāng)cos(x-φ)=1時,ymax=

。(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,利用配方法可得y=a

+

,它的圖像是一條拋物線。當(dāng)a>0時,拋物線開口向上,y有最小值,當(dāng)x=-

時,極小值ymin=

;當(dāng)a<0時,拋物線開口向下,y有最大值,當(dāng)x=-

時,極大值ymax=

。典例4如圖所示,用兩根長度均為l的輕繩將一小球懸掛在水平的天花板下,輕繩與天

花板的夾角為θ,整個系統(tǒng)靜止,這時每根輕繩中的拉力為T?，F(xiàn)將一根輕繩剪斷,當(dāng)小球

擺至最低點時,輕繩中的拉力為T'。θ為某一值時,

最大。此最大值為

()

A.

B.2

C.3

-2

D.

A

解析由受力分析可知,初始時,輕繩拉力T=

,當(dāng)剪斷其中一根輕繩后,小球做圓周運動,運動到最低點時,合力提供小球做圓周運動的向心力T'-mg=m

,又根據(jù)機械能守恒得mgl(1-sinθ)=

mv2,聯(lián)立兩式可得T'=mg(3-2sinθ);則

=6sinθ-4sin2θ=-4

+

,最大值為

=

,A正確。5.微元法微元法是分析、解決物理問題中的常用方法,也是從部分到整體的思維方法。使用該

方法可以利用我們熟悉的物理規(guī)律高效處理復(fù)雜物理過程,顯著降低分析難度。在使

用微元法處理問題時,需將所研究過程分解為眾多微小的“元過程”,而且每個“元過

程”所遵循的規(guī)律是相同的,這樣,我們只需分析這些“元過程”,然后再將“元過程”

進行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理,進而求解問題。使用此方法會促進我們對已知

規(guī)律的再思考,從而起到鞏固知識、加深認識和提高能力的作用。典例5如圖所示,光滑平行導(dǎo)軌水平放置,間距為L,一端接有阻值為R的電阻。磁感應(yīng)

強度為B的勻強磁場垂直于導(dǎo)軌平面。一質(zhì)量為m的金屬桿ab垂直于導(dǎo)軌放置?，F(xiàn)給

ab一水平向右的初速度v0,使它沿導(dǎo)軌滑動,設(shè)導(dǎo)軌足夠長,不計其他電阻,求金屬桿向右

滑動的最大距離。

解析根據(jù)受力分析可知,金屬桿在做加速度逐漸減小的減速運動,可把金屬桿減速運

動的整個過程劃分為無數(shù)個小的過程,每個小的過程時間Δt極短(可視為位移或時間的

微元),則有E=BLv,I=

,F=BIL,得F=

,又F=ma,則

=ma=m

即

v·Δt=m·∑Δv,解得x=

。

答案

6.極限法物理學(xué)中的極限思維是把某個物理量推向極端,從而作出科學(xué)的推理分析,給出判斷或

導(dǎo)出一般結(jié)論。該方法一般適用于題干中所涉及的物理量隨條件單調(diào)變化的情況。

極限法在進行某些物理過程分析時,具有獨特作用,使問題化難為易,化繁為簡,起到事

半功倍的效果。典例6如圖,一根輕質(zhì)彈簧上端固定,下端掛一質(zhì)量為m0的平盤,盤中有一物體,質(zhì)量為

m,重力加速度為g。當(dāng)盤靜止時,彈簧的長度比自然長度伸長了L。今向下拉盤使彈簧

再伸長ΔL后停止,然后松手放開。設(shè)彈簧總處于彈性限度以內(nèi),剛松開手時盤對物體的

支持力等于

()

A.

mg

B.

(m+m0)gC.

mg