專題23.2平行線分線段成比例（舉一反三講義） 【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷比例式正誤】 2【題型2“#”字型】 4【題型3“X”字型】 7【題型4“A”字型】 9【題型5“8”字型】 12【題型6平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】 16【題型7平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】 20【題型8多次利用平行線分線段成比例求解】 25【題型9作垂線構(gòu)造平行線分線段成比例】 31【題型10作平行線構(gòu)造平行線分線段成比例】 37知識點平行線分線段成比例1.基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．2.數(shù)學語言描述：如圖，已知直線l1∥l2∥l3，分別交直線m，n于點A，B，C，D，E，F(xiàn)，則ABBC=DEEF3.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長線)所得的對應(yīng)線段成比例．如圖（1）、圖（2）所示，BC∥DE，則有ABBD=ACCE，【題型1判斷比例式正誤】【例1】（24-25九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，點D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，連接DE、EF、AF，AF交DE于點G，四邊形BFED為平行四邊形，則下列式子一定正確的是（）A．ADBD=DECF B．AEAC=【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，由平行四邊形的性質(zhì)可得DE=BF，EF∥【詳解】解：∵四邊形BFED為平行四邊形，∴DE=BF，EF∥∴ADBD=AG因為CF≠BC，故AEAC=DEDGEG=BFFC=DEFC故選：A．【變式1-1】（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，AB∥CD∥EF,AF與BE相交于點A．BGGC=12 B．BGBE=【答案】B【分析】本題主要考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵，三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．【詳解】解：A．AB∥CD，則B．AB∥EF，則C．AB∥EF，則D．AB∥EF，則故選：B．【變式1-2】（24-25九年級上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E，F(xiàn)在AC上，且DE∥BC，DFA．AFAE=AEAC B．DEBC=【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．由平行線分線段成比例可得AFAE=AEAC，DEBC=DF【詳解】解：∵DE∥BC∴DEBC=ADAB=AE∴AFAE=AEAC，DE∴EF∴AD故選：D.【變式1-3】如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點DE∥BC，點F為BC邊上一點，連接AF交DE于點GA．ADAB=AEEC B．AGGF=【答案】C【分析】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，推論1：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例；推論2：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．由此逐項判斷即可得出答案．【詳解】解：∵在△ABC中，DE∴ADAB=故選項A結(jié)論錯誤，不合題意；∵在△AFC中，EG∴AGGF∵EC不一定等于BD，∴AGGF故選項B結(jié)論錯誤，不合題意；∵在△ABC中，DE∴BDAD=故選項C結(jié)論正確，符合題意；∵在△AFC中，EG∴AGGF故選項D結(jié)論錯誤，不合題意；故選C．【題型2“#”字型】【例2】（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，EF∥AD交CD于點F，若AE:AB=1:3A．6 B．4 C．5 D．4.5【答案】A【分析】本題考查了平行線分線段成比例．根據(jù)平行線分線段成比例解答．【詳解】解：∵AE:∴AE:∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥∴AEEB=DF解得FC=6故選：A．【變式2-1】（24-25八年級下·吉林長春·期末）如圖，AD∥BE∥CF，若ABBCA．23 B．32 C．2 D【答案】A【分析】本題考查平行線分線段成比例，先根據(jù)平行線分線段成比例得到DEEF【詳解】解：∵AD∥BE∥∴DEEF∴DEDF故選：A．【變式2-2】如圖，直線a∥b∥c，點A，B在直線a上，點C，D在直線c上，線段AC，BD分別交直線b于點E，F(xiàn)，則下列線段的比與AEAC一定相等的是（

A．CEAC B．BFBD C．BFFD【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可得到BFBD【詳解】解：∵a∥b∥c，∴BFFD∴BFBD故選擇：B.【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，直線AB∥CD∥EF，若AC=3，CEA．47 B．43 C．37【答案】C【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，正確識別對應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．利用平行線分線段成比例定理，找出線段BD、BF與【詳解】解：∵AB∴BD∵AC∴BD故選：C．【題型3“X”字型】【例3】（24-25八年級下·吉林長春·期末）如圖，a∥b∥c，m分別交a、b、c于點A、B、C，n分別交a、b、c于點D、E、F，若AB=6，BC=4，A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5【答案】B【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握比例的運算，平行線分線段成比例的知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．【詳解】解：∵a∥b∥c，AB=6∴ABBC=DE∴DE=故選：B．【變式3-1】（24-25八年級下·重慶·期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，若AG=DF=3A．34 B．23 C．37【答案】D【分析】本題考查了平行線分線段成比例．根據(jù)AB∥CD∥【詳解】解：∵AB∥∴BCBE故選：D．【變式3-2】（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC分別與直線l1、l2、l3交于A、B、C三點，直線DF分別與直線l1、l2、l3交于D、E、F三點，AC【答案】6【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵直線l1∴ABBC∵BC=AB，∴EF=3∴DF=故答案為：6．【變式3-3】已知三條互相平行的直線l1，l2，l3分別截直線l4于點A，B，C，截直線l5于點D，E，(1)求DE的長；(2)求OB的長．【答案】(1)24(2)5【分析】（1）由l1∥l（2）由BE∥AD，推出【詳解】（1）解：∵l1∴DEEF∴DE8∴DE=（2）解：∵BE∥∴OBAB∴OB3∴OB=【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．【題型4“A”字型】【例4】（2025·河南南陽·模擬預(yù)測）如圖，△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，若EC=2BE=6，CGA．6 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行線分線段成比例，先根據(jù)平移的性質(zhì)得AB∥EG，【詳解】解：∵將△ABC沿著BC邊向右平移得到△∴AB∥∴CEBE∵CG=4∴AG=2∴DF=故選：A．【變式4-1】（24-25八年級下·山東淄博·期末）如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，且EF∥BC．若AE=2，BE=4，AFA．12 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】本題考查運用平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是由平行線得到對應(yīng)邊成比例求解．根據(jù)平行對應(yīng)邊成比例列出等式，代入已知邊的長度，求出FC．【詳解】解：∵EF∥∴AEEB=解得：FC=2故選：C．【變式4-2】（2025·河南·中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點均在網(wǎng)格線的交點上，點D、E分別是邊BA、CA與網(wǎng)格線的交點，連接DE，則DE的長為（

A．12 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，證明出DE是△ABC的中位線是解題關(guān)鍵．取格點G、H，由網(wǎng)格的性質(zhì)可知，EG∥CH，得到ADAB=AGAH【詳解】解：如圖，取格點G、H，

由網(wǎng)格的性質(zhì)可知，EG∥∴ADAB=∴D、E分別是AB、AC∴DE是△∴DE故選：B．【變式4-3】（24-25八年級下·山東淄博·期末）如圖，在3×4的正方形網(wǎng)格中，A、B、C為格點，連接CD，交過點A的水平格線于點E．若小正方形邊長為1，則CE=【答案】61【分析】本題考查了勾股定理、平行線分線段成比例定理，根據(jù)勾股定理求出CD的長，再根據(jù)平行線分線段成比例得出等式求出CE的長即可．【詳解】解：如圖所示，由AB在網(wǎng)格中的位置，可知MD=∴DF在Rt△CDF中，∵EG∴CE∴CE解得：CE=故答案為：613【題型5“8”字型】【例5】（2025·安徽亳州·三模）如圖，?ABCD中，E為對角線BD上一點，過點E的直線MN分別交邊AB，BC于點F，G，交射線DA，DC于點M，N．若MF=3，EF=2，則EGA．6 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】本題主要查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AD∥BC,AB∥CD，再由平行線分線段成比例可得【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴EGME=BE∴EGME∵MF=3，EF∴EG3+2∴EG?故選：C【變式5-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F，AB=3，F(xiàn)D=2，則EFA．25 B．38 C．37【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得AD∥BC，AD=BC，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)以及等角對等邊證得AF=AB=3，BC=5，再根據(jù)平行線分線段成比例和比例性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠AFB=∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=3，又FD=2，∴BC=AD=AF+FD=5，∵AD∥BC，∴EFBE∴EFFB故選：B．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定、平行線分線段成比例定理、比例性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．【變式5-2】如圖，AB，CD相交于點E，且AC∥EF∥DB，點C，F(xiàn)，B在同一條直線上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）A．1r+1q=1p B．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可證得EFAC=BF【詳解】解：∵AC∴EFAC∵EF∴EFBD∴EFAC+EF∴1p故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理的運用，通過平行線分線段成比例定理得出線段的比是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為AD上一點，EF與AC交于點H，F(xiàn)H=3cm，

A．22cm B．20cm C．18cm【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造輔助線證明兩個三角形全等是關(guān)鍵；延長FE交CB的延長線于點G，由平行四邊形的性質(zhì)及中點條件可證明△AFE≌△BGE【詳解】解：延長FE交CB的延長線于點G，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴∠EAF∵E為AB的中點，∴AE=∴△AFE∴EG=∵EF=∴EG=9∴GH=∵AD∥∴AHCH即4CH解得：CH=20故選：B．

【題型6平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】【例6】（24-25九年級下·貴州銅仁·階段練習）如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3,D是線段BC上一點，連接AD,∠BAD=15°，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接BE【答案】3-【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)，解直角三角形；延長BC至點C，使CG=BC，連接AG,EG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)以及等腰直角三角形的性質(zhì)證明△ABD≌△AGESAS，進而得出EG=【詳解】解：如圖，延長BC至點C，使CG=BC，連接∵CA=∴△ABG為等腰直角三角形，AB又∵∠BAG∴∠∵AD旋轉(zhuǎn)得到AE∴∴△ABD∴EG∵∠∴∠CGE∵∠ACB∴CF∴BFEF=∴BF=∴CF是△∴∵∠BAC=45°，∴∠在Rt△ACD中，∴∴CF故答案為：3-3【變式6-1】（24-25八年級下·湖南郴州·期末）在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OE∥CD．若OE=4，則線段CD【答案】8【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，證明OE是△BCD【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=∴O為BD∵OE∥CD，∴BOOD∴BE=∴E為BC的中點，∴OE為△BCD∴CD=2故答案為：8．【變式6-2】（2025·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）如圖，BD是△ABC的角平分線，E是AB的中點，連接CE交BD于點F，若CE⊥BD，CE=2BD【答案】10【分析】先證明△BEF≌△BCFASA，取AD的中點G，連接EG，則EG是△ABD的中位線，即CDDG【詳解】∵E是AB的中點，∴AE=∵CE⊥∴∠BFE∵BD是△ABC∴∠EBF又∵BF=∴△BEF∴EF=∵CE=2∴EF=如圖，取AD的中點G，連接EG，∴EG是△ABD∴EG=12∴CDDG∴DG=又∵EF=∴DF是△CEG∴DF=∴BF=在Rt△BEF中，∴AB=2故答案為：10.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中位線，平行線分線段成比例，勾股定理，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.【變式6-3】如圖，DE、NM分別是△ABC、△ADE的中位線，NM的延長線交BC于點F，則S△DMN：S四邊形MFCE等于（A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7【答案】B【分析】過N作NH⊥DE于H，過A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝12AG＝12【詳解】解：過N作NH⊥DE于H，過A作AP⊥BC于P交DE于G，∴NM∥AG，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴AG＝PG，∵M是DE的中點，∴DM＝ME＝12DE∵NM∥AG，AN＝DN，∴NMAG＝DNAD＝∴NM＝12AG＝12∵DM＝ME，∴S△DMN：S四邊形MFCE＝12DM?NHEM?PG故選：B．【點睛】本題考查了三角形中位線定理及平行線分線段成比例定理．本題關(guān)鍵是找準比例關(guān)系求解．【題型7平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】【例7】如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點D，延長CG交AB于點E，P，Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為12，則PQA．2 B．2．5 C．3 D．4【答案】A【分析】連接EP、DQ，并延長，分別交BC于一點F，連接ED、PQ，由題意易得ED∥BC，ED=12【詳解】解：連接EP、DQ，并延長，分別交BC于一點F，連接ED、PQ，如圖所示：∵G是△ABC的重心，延長BG交AC于點D，延長CG交AB于點E∴AE=BE，∴ED∥BC，又∵P,Q分別是△BCE∴EPPF∴PQ∥ED，∴PQ=∵∴故選：A．【點睛】本題主要考查三角形的重心及平行線所截線段成比例，熟練掌握三角形的重心及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】如圖，點G為△ABC的重心，∠C=90°，∠B=30°，連接CG并延長交AB于點D，作DE⊥CB于點E，過點G作GFA．1 B．43 C．32 D【答案】B【分析】首先根據(jù)30度所對的直角邊等于斜邊的一半得出DE=12BD．設(shè)DE=a，則BD=2a．再根據(jù)重心的定義與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出CD=AD=【詳解】解：∵DE⊥CB，∴DE=設(shè)DE=a，則∵點G為△ABC的重心，∠連接CG并延長交AB于點D，∴CD=AD=∵GF∥∴GFAD∴GF=∴GFDE故選：B．【變式7-2】如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點G是△ABC的重心，過點G作GF∥AB交BC于點F，那么A．13 B．12 C．14【答案】A【分析】由題意易得BE=EC，【詳解】解：∵AE是BC邊上的中線，∴BE=∵點G是△ABC∴EGAG∵GF∥∴EFBF∴EFBE=1故選A．【點睛】本題主要考查三角形的重心及平行線所截線段成比例，熟練掌握三角形的重心是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，P是AD邊上一點，將△PCD沿CP折疊，若點D的對應(yīng)點E恰好是△ABC的重心，則PD【答案】3【分析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形的重心，圖形的折疊變換及其性質(zhì)，勾股定理，延長CE交AB于F，在EF的延長線上取一點H，使FH=FE，連接AH，BH，PF，連接AE并延長交BC于點T，連接BE，由折疊的性質(zhì)得PPD=PE，CE=CD=6，根據(jù)點E是△ABC的重心，得AT是BC邊上的中線，CF是AB邊上的中線，則AF=BF=12AB=3，CT=BT，先證四邊形AEBH是平行四邊形得BH∥AE【詳解】解：延長CE交AB于F，在EF的延長線上取一點H，使FH=FE，連接AH，BH，PF，連接AE并延長交BC于點T，連接∵四邊形ABCD為矩形，AB=6∴∠BAD=∠D=90°，由折疊的性質(zhì)得：PD=PE，CE=∵點E是△ABC∴AT是BC邊上的中線，CF是AB邊上的中線，即AF=BF=又∵FH=∴四邊形AEBH是平行四邊形，∴BH∥即BH∥∴CTBT∵CT=∴CE=∴ET是△CBH∴EH=∴FH=∴CF=在Rt△BCF中，由勾股定理得：∴AD=∵FE=3，AF∴AF=∵∠PEC=90°，∴∠BAD在Rt△PAF和AF=∴Rt△∴PA=∴PD=故答案為：32【題型8多次利用平行線分線段成比例求解】【例8】（2025九年級上·全國·專題練習）如圖，已知△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一條直線上，且AB=3，BC=3，BF分別交AC，DC，DE于點(1)FGBG的值為__________(2)求證：FGBG(3)求：BM:【答案】(1)3(2)證明見解析(3)BM【分析】（1）由題意可得AB=AC=DC=（2）由題意可得BC=CE=（3）由題意可得∠ABC=∠DCE=∠FEG，∠ACB=∠DEC=∠FGE，從而可得AB∥【詳解】（1）解：∵△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，AB∴AB=AC=∴BG=3∴FGBG故答案為：33（2）解：∵△ABC，△DCE，∴BC=CE=∴FGBG（3）解：∵△ABC，△DCE，∴∠ABC=∠DCE∴AB∥CD∥∴BNNF=BC∵BC=∴BNNF=3∴BN=NF∴BN-BM=∴BM=2MN，∴BM:【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例的運用，掌握等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例是計算是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】如圖，在△ABC和△ACG中，D、E、F分別在線段AB、AC、AG上，連接

【答案】9【分析】由DE∥BC,EF∥CG可得【詳解】解:∵DE∥∴AD∴AD∵AD∴AG【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．【變式8-2】如圖，點D是△ABC邊BC上一點，連接AD，過AD上點E作EF∥BD，交AB于點F，過點F作FG∥AC交BC于點G(1)求CG的長；(2)若CD=2，在上述條件和結(jié)論下，求EF【答案】(1)6(2)24【分析】（1）由EF∥BD，推出AFFB=AE（2）由EF∥BD，推出【詳解】（1）∵EF∥∴AFFB∵FG∥∴BGCG∵BG=4∴CG=（2）∵CD=2，CG∴DG=∵BG=4∴BD=∵AFBF∴AFAB∵EF∥∴EFBD∴EF8∴EF=【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握這個定理是關(guān)鍵．【變式8-3】（24-25八年級下·吉林長春·期中）小明同學在學習相似三角形時遇到這樣一個問題：如圖，在ΔABC中，點D是BC的中點，點E是AC中點．連結(jié)AD，BE交于點G，求AG（1）小明發(fā)現(xiàn)，過點D作DH∥BE交AC于解：如圖1，過點D作DH∥BE交AC于∵D是BC∴BD∴CD請你補全余下的解題過程．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，連接AC分別交DE、BF于M、N，則MNAC【拓展提高】（3）如圖3，點E是AC邊的中點，DC=2BD,AD、BE交于F,【答案】（1）見解析；（2）13；（3）【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例等知識，理解題意，熟練掌握平行線分線段成比例是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理和中點的定義進行解答即可；（2）連接BD交AC于點O，則點O為BD的中點，點O為AC的中點．根據(jù)（1）問可得AMMO=2．同理可得CNNO=2,由點O為（3）過點E作EG∥AD交BC于G，由（1）同理得出CGCD=EGAD=CEAC=12，確定CG=【詳解】（1）解：如圖1，過點D作DH∥BE交AC于∵D是BC∴BD∴CD∵E是AC∴∴AE又∵∴（2）證明：連接BD交AC于點O，則點O為BD的中點，點O為AC的中點．∵E為AB的中點，根據(jù)（1∴AM同理可得CN∵點O為AC的中點∴∴AM∴MN（3）過點E作EG∥AD交BC于同理得：CGCD∴CG=∵DC=2∴CG=同理得：DFGE∴DFAD=4∴AFFD∴AF=7.5，同理得：BEBF=2，∴BF=3，EF∴S∴S∴S∵DC=2∴SS△∵=30-11.25=18.75．【題型9作垂線構(gòu)造平行線分線段成比例】【例9】（24-25九年級下·山東煙臺·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AC,BD相交于點O，E為BA延長線上一點，連接OE交AD于點F，若AE=1A．412 B．272 C．262【答案】A【分析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行線線段成比例定理，三角形中位線定理，理解矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．過點O作OH⊥AB于點H，由平行線線段成比例定理證明OH是△ABD的中位線得OH=12AD=2，【詳解】解：過點O作OH⊥AB于點∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，AD=4∴OB=OD∵OH∴∠OHB∴OH∴OD又∵OB∴AHBH∴HA=∴OH是△∴OH=1∵點E為BA延長線上一點，且AE=1∴EH在Rt△OEH故選：A．【變式9-1】（2025·浙江寧波·三模）如圖，在△ABC中，CD是△ABC的中線，延長CB至點E，使BE=3BC，連接AE，若∠EAB=∠BDCA．23 B．3 C．522【答案】D【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理等，延長CD交AE于點G，過點B作BF⊥AE于點F，可得∠AGD=90°，AG=DG，AF=BF，即得BF∥CG，然后求得【詳解】解：如圖，延長CD交AE于點G，過點B作BF⊥AE于點則∠AFB∵∠EAB∴∠ADG=∠BDC∴∠AGD=90°，AG=∴BF∥∵CD是△ABC的中線，AB∴AD=12∴AG=∴FG=∵BF∥∴EFFG∵BE=3∴EF3∴EF=9∴在Rt△EFB中，∴BC=故選：D．【變式9-2】（2025·廣東清遠·二模）如圖1，將邊長為4的等邊△ABC沿其BC邊上的高AD剪開，再把△ADC向左平移得到△A'D'C'，當【答案】5【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形，掌握平移的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過G點作GH⊥BC'，交BC'于點H，由等邊三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形，可得BD=CD=2，AD=23，繼而可求出BD'【詳解】解：如圖，過G點作GH⊥BC'，交∵AD是邊長為4的等邊△ABC∴∠B=∠C=60°，∵D'是BD∴BD∴BC∵∠B∴∠BG∴△B∴BG=∴GH=∵AD是等邊△ABC∴ED'⊥∴ED∴BE又∵點D'是BD∴點E是AB的中點，∴ED'=∴兩個三角形重疊部分面積為S△故答案為：54【變式9-3】如圖，在四邊形ABDE中，∠B=∠D=90°，點C是邊BD上一點，且AC=CE，AC⊥CE，取CE的三等分點FCF<EF，連接AF，過點C作CG⊥AF交【答案】9【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．過點E作EM⊥CH交CH的延長線于點M，先證明△ACB≌△CED(AAS)，再求出AC=【詳解】如解圖①，過點E作EM⊥CE交CH的延長線于點∵∠ACE=90°，∴∠BAC∴∠BAC∵AC=∴△ABC∴∠BAC=∠DCE∴CE=2∵△ACE∴AE=12∵F是CE的三等分點，且CF<∴EF=2∴CF=4∵EM⊥∴∠CEM∴∠ACF∵CM⊥∴∠ECM∵∠CAF∴∠CAF∴△ACF∴EM=∵∠ACF∴AC∥∴AHHE=∴AH=3∴AH=34AE=故答案為92【題型10作平行線構(gòu)造平行線分線段成比例】【例10】（24-25九年級下·全國·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點E在AD上，射線BE交AC于點F，若AEED=1【答案】2【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，作DH∥BF交AC于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD，證明△CD