試題試題專題02集合間的基本關(guān)系1、理解集合之間的包含與相等的含義；2、能識(shí)別給定集合的子集，了解空集含義3、能進(jìn)行自然語言、圖形語言(Venn圖)、符號(hào)語言間的轉(zhuǎn)換1、子集、空集與Venn圖1.1子集的定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）。1.2Venn圖：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。則上述集合和集合的包含關(guān)系，可以用如下圖表示：要點(diǎn)說明：①子集的定義可以理解為：若任意的，都有，則.這可以作為證明的方法；②規(guī)定：空集是任何集合的子集；③任何一個(gè)集合是它本身的子集，記作AA；④包含關(guān)系具有傳遞性，即若AB，且BC，則AC；⑤集合是集合的子集不能理解為集合是由集合中的“部分元素”組成的，因?yàn)榧峡赡苁强占?，也可能是集合．⑥注意符?hào)“”與“”的區(qū)別：“”只用于集合與集合之間，如{0}N，而不能寫成{0}N；“”只能用于元素與集合之間，如0N，而不能寫成0N．2、集合的相等如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作。要點(diǎn)說明：①若且，則；反之，如果，則且。這就給出了我們證明兩個(gè)集合全等的方法，即預(yù)證，只需證且都成立即可；②兩集合相等，則所含元素完全相同，與元素順序無關(guān)；③要判斷兩個(gè)集合是否相等，對(duì)于元素比較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來，看兩個(gè)集合的元素是否完全相同；若是無限集，應(yīng)依據(jù)“互為子集”從兩個(gè)方向入手進(jìn)行判斷。④同一個(gè)集合，可以有不同的表示方法，這也是定義兩個(gè)集合相等的意義所在；⑤集合中的關(guān)系與實(shí)數(shù)中的結(jié)論類比實(shí)數(shù)集合包含兩層含義：，或AB包含兩層含義：，或若，且，則若AB，且AB，則A＝B若，，則若AB，BC，則AC3、真子集真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.要點(diǎn)說明：理解真子集的定義要注意一下幾點(diǎn)：①空集是任何非空集合的真子集；②對(duì)于集合A，B，C，如果，，那么；③若，則與有兩種可能的關(guān)系：即或；4、空集我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；要點(diǎn)說明：空集的性質(zhì)：①空集只有一個(gè)子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；③空集是任何非空集合的真子集，即若，則，反之也成立。④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是無限集；對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)一：判斷集合子集（真子集）個(gè)數(shù)典型例題例題1．（24-25高一上·廣東梅州·期末）設(shè)集合，，則滿足的集合有（

）種情況A．1 B．2 C．3 D．4例2．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）集合的真子集個(gè)數(shù)為．精練1．（24-25高三上·吉林長春·期末）滿足的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．82．（24-25高一上·天津南開·階段練習(xí)）已知集合，則的非空子集的個(gè)數(shù)是.3．（24-25高一上·廣東江門·期中）集合的非空子集的個(gè)數(shù)為.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二：求集合子集（真子集） 典型例題例1．（多選）（23-24高一上·山西太原·階段練習(xí)）已知集合M滿足?，則這樣的集合M可能為（

）A． B． C． D．例2．（23-24高一下·全國·課堂例題）（1）寫出集合的子集和真子集．（2）寫出集合的所有子集和真子集．（3）寫出集合的所有子集和真子集．精練1．（多選）（23-24高一上·江蘇南京·期中）下列各個(gè)選項(xiàng)中，滿足的集合有（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·上海·課堂例題）已知集合滿足：，寫出集合所有可能的情況：3．（24-25高一上·廣西桂林·階段練習(xí)）（1）寫出集合的子集和真子集．（2）寫出集合的所有子集和真子集． 對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)三：判斷集合的包含關(guān)系典型例題例1．（24-25高一上·重慶·期中）下列各式正確的是（

）A． B．C． D．例2．（多選）（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．精練1．（2025高三下·全國·專題練習(xí)）若集合，，則下面結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．3．（多選）（24-25高一上·陜西寶雞·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A． B．C． D．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)四：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)典型例題例1．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）設(shè)集合，，且，則（

）A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2例2．（24-25高一上·廣東東莞·期末）設(shè)集合，，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．精練1．（2025·廣西柳州·三模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三下·河南周口·開學(xué)考試）已知集合，，若，則（

）A．1 B． C．1或0 D．1或3．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值為.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)五：判斷兩個(gè)集合是否相等典型例題例1．（24-25高一上·安徽阜陽·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，例2．（多選）（23-24高一上·重慶云陽·階段練習(xí)）下列集合中，與集合相等的是（

）A． B． C． D．精練1．（24-25高一上·廣東汕頭·階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（多選）（24-25高一上·廣東陽江·期中）下列各組中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，3．（24-25高一上·全國·課堂例題），集合A與B有什么關(guān)系?對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)六：根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)典型例題例1．（24-25高三上·湖南長沙·期末）已知集合，，若，則（

）A．或2 B．或1 C． D．1例2．（24-25高一上·重慶·期中）已知數(shù)集，，若，則.精練1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）設(shè)集合，若，則（

）A．2 B．1 C． D．2．（23-24高一上·山東泰安·階段練習(xí)）已知集合，，若，則a等于（

）A．或3 B．0或 C．3 D．3．（24-25高一上·上?！て谥校?.若集合，則的值為對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)七：空集典型例題例1．（2025高三下·全國·專題練習(xí)）已知集合，下列選項(xiàng)中為的元素的是（

）①

②

③

④A．①② B．①③ C．②③ D．②④例2．（24-25高一上·上海浦東新·期中）關(guān)于x的不等式解集為空集，則實(shí)數(shù)m的值為.精練1．（23-24高一上·重慶·期中）下列關(guān)于0與說法不正確的是（）A． B．C． D．2．（多選）（24-25高一上·山西大同·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·上海長寧·開學(xué)考試）若不等式的解集為，則a的取值集合為一、單選題1．（23-24高一上·湖北宜昌·階段練習(xí)）已知集合，那么滿足的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．（24-25高一下·遼寧·開學(xué)考試）已知集合，且，則M可以是（

）A． B． C． D．3．（24-25高三下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）若集合是空集，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·河南南陽·期末）已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·重慶九龍坡·期末）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．37．（19-20高一上·河南鄭州·期中）下列表述中正確的是（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·新疆喀什·階段練習(xí)）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高一上·廣西柳州·期末）下列表述正確的有（

）A． B．C． D．表示沒有任何元素的集合10．（24-25高一上·山東聊城·階段練習(xí)）下列各個(gè)選項(xiàng)中，滿足的集合A有（

）A． B． C． D．三、填空題11．（24-25高一下·河北保定·階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．12．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知，若，則．四、解答題13．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知集合．(1)若，寫出集合A的所有子集；(2)若集合A中僅含有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值．14．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．15．（24-25高一上·四川瀘州·期中）已知集合，．(1)若中恰有一個(gè)元素，用列舉法表示的值構(gòu)成的集合；(2)若，求的取值范圍．1．（24-25高二下·北京·期中）已知集合的子集B滿足：對(duì)任意x，，有，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是（

）A．506 B．507 C．1012 D．10132．（2025高三·全國·專題練習(xí)）定義集合的運(yùn)算：已知集合，則.若集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)的一個(gè)可能取值是.3．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）含有有限個(gè)元素的數(shù)集，定義“元素和”如下：把集合中的各數(shù)相加；定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù).例如，的元素和是；交替和是；而的元素和與交替和都是5.(1)寫出集合的所有非空子集的交替和的總