2025年全國(guó)成人高等學(xué)校招生考試（數(shù)學(xué)（文）-高起點(diǎn)）經(jīng)典試題及答案一一、選擇題（本大題共17小題，每小題5分，共85分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{2,3,4\}\)D.\(\{1,3,4\}\)答案：B解析：根據(jù)交集的定義，\(A\capB\)是由既屬于集合\(A\)又屬于集合\(B\)的所有元素組成的集合。集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，所以\(A\capB=\{2,3\}\)。2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)答案：C解析：要使分式\(\frac{1}{x-1}\)有意義，則分母不能為\(0\)，即\(x-1\neq0\)，解得\(x\neq1\)。所以函數(shù)的定義域是\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)。3.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(-\frac{4}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(-\frac{3}{4}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：A解析：根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}\)。因?yàn)閈(\alpha\)是第二象限角，在第二象限中\(zhòng)(\cos\alpha\lt0\)，已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\)。4.下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=x^{2}+1\)C.\(y=x+1\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：B解析：根據(jù)偶函數(shù)的定義\(f(x)=f(-x)\)。-選項(xiàng)A：\(f(x)=x^{3}\)，\(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\)，是奇函數(shù)。-選項(xiàng)B：\(f(x)=x^{2}+1\)，\(f(-x)=(-x)^{2}+1=x^{2}+1=f(x)\)，是偶函數(shù)。-選項(xiàng)C：\(f(x)=x+1\)，\(f(-x)=-x+1\)，\(f(-x)\neqf(x)\)，不是偶函數(shù)。-選項(xiàng)D：\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(f(-x)=\frac{1}{-x}=-f(x)\)，是奇函數(shù)。5.不等式\(|x-2|\lt1\)的解集是（）A.\(\{x|1\ltx\lt3\}\)B.\(\{x|x\lt1或x\gt3\}\)C.\(\{x|x\lt3\}\)D.\(\{x|x\gt1\}\)答案：A解析：由\(|x-2|\lt1\)可得\(-1\ltx-2\lt1\)。不等式同時(shí)加\(2\)，得到\(-1+2\ltx-2+2\lt1+2\)，即\(1\ltx\lt3\)。所以不等式的解集是\(\{x|1\ltx\lt3\}\)。6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-1)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)答案：A解析：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-1)\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times2+2\times(-1)=2-2=0\)。7.直線\(2x-y+3=0\)的斜率是（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：A解析：將直線方程\(2x-y+3=0\)轉(zhuǎn)化為斜截式\(y=kx+b\)的形式（其中\(zhòng)(k\)為斜率，\(b\)為直線在\(y\)軸上的截距），由\(2x-y+3=0\)可得\(y=2x+3\)，所以直線的斜率\(k=2\)。8.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則公差\(d=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：B解析：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_n=a_1+(n-1)d\)，那么\(a_3=a_1+2d\)。已知\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則\(6=2+2d\)，移項(xiàng)可得\(2d=6-2=4\)，解得\(d=2\)。9.函數(shù)\(y=2\sinx\cosx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：B解析：根據(jù)二倍角公式\(\sin2x=2\sinx\cosx\)，則函數(shù)\(y=2\sinx\cosx=\sin2x\)。對(duì)于正弦函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（\(\omega\gt0\)），在\(y=\sin2x\)中\(zhòng)(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。10.過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(x+2y-1=0\)平行的直線方程是（）A.\(x+2y-5=0\)B.\(x+2y+3=0\)C.\(2x-y=0\)D.\(2x-y-3=0\)答案：A解析：若兩條直線平行，則它們的斜率相等。直線\(x+2y-1=0\)可化為\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)，其斜率為\(-\frac{1}{2}\)。設(shè)所求直線方程為\(x+2y+C=0\)（\(C\neq-1\)），因?yàn)橹本€過點(diǎn)\((1,2)\)，將點(diǎn)代入方程可得\(1+2\times2+C=0\)，即\(5+C=0\)，解得\(C=-5\)。所以所求直線方程為\(x+2y-5=0\)。11.已知圓的方程為\((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4\)，則圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.\((1,-2)\)，\(2\)B.\((-1,2)\)，\(2\)C.\((1,-2)\)，\(4\)D.\((-1,2)\)，\(4\)答案：A解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)，其中\(zhòng)((a,b)\)為圓心坐標(biāo)，\(r\)為半徑。已知圓的方程為\((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4\)，即\((x-1)^{2}+(y-(-2))^{2}=2^{2}\)，所以圓心坐標(biāo)為\((1,-2)\)，半徑\(r=2\)。12.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,-1)\)D.\((-\infty,0)\)答案：A解析：對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_au\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），要使其有意義，則\(u\gt0\)。在函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)中，\(u=x+1\)，所以\(x+1\gt0\)，解得\(x\gt-1\)。因此函數(shù)的定義域是\((-1,+\infty)\)。13.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\)（）A.\(3\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(-3\)D.\(-\frac{1}{3}\)答案：A解析：分子分母同時(shí)除以\(\cos\alpha\)（因?yàn)閈(\cos\alpha\neq0\)，若\(\cos\alpha=0\)，則\(\tan\alpha\)不存在），\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)。已知\(\tan\alpha=2\)，代入可得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。14.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）種。A.\(45\)B.\(56\)C.\(60\)D.\(120\)答案：A解析：“至少有\(zhòng)(1\)名女生”的對(duì)立事件是“沒有女生”，即全是男生。從\(8\)人中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{8}^{3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)種。從\(5\)名男生中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)種。所以至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有\(zhòng)(C_{8}^{3}-C_{5}^{3}=56-10=45\)種。15.拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,2)\)B.\((0,-2)\)C.\((2,0)\)D.\((-2,0)\)答案：C解析：對(duì)于拋物線\(y^{2}=2px\)（\(p\gt0\)），其焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)。在拋物線\(y^{2}=8x\)中，\(2p=8\)，則\(p=4\)，所以\(\frac{p}{2}=\frac{4}{2}=2\)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,0)\)。16.已知函數(shù)\(f(x)=x^{2}-2x+3\)在區(qū)間\([0,m]\)上的最大值為\(3\)，最小值為\(2\)，則\(m\)的取值范圍是（）A.\([1,+\infty)\)B.\([0,2]\)C.\((-\infty,2]\)D.\([1,2]\)答案：D解析：將函數(shù)\(f(x)=x^{2}-2x+3\)進(jìn)行配方可得\(f(x)=(x-1)^{2}+2\)，其圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為\(x=1\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,2)\)。當(dāng)\(x=0\)或\(x=2\)時(shí)，\(f(0)=f(2)=3\)。因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間\([0,m]\)上的最大值為\(3\)，最小值為\(2\)，所以\(m\)的取值范圍是\([1,2]\)。17.已知\(\alpha\)是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，則\(\tan\alpha=\)（）A.\(-\frac{4}{3}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：A解析：已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，兩邊平方可得\((\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=(\frac{1}{5})^{2}\)，即\(\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{1}{25}\)。因?yàn)閈(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，所以\(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25}\)，則\(2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{24}{25}\lt0\)。因?yàn)閈(\alpha\)是三角形的一個(gè)內(nèi)角，所以\(\sin\alpha\gt0\)，那么\(\cos\alpha\lt0\)。\((\sin\alpha-\cos\alpha)^{2}=\sin^{2}\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=1-(-\frac{24}{25})=\frac{49}{25}\)，則\(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{7}{5}\)（因?yàn)閈(\sin\alpha\gt0\)，\(\cos\alpha\lt0\)）。聯(lián)立\(\begin{cases}\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\\\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{7}{5}\end{cases}\)，兩式相加可得\(2\sin\alpha=\frac{8}{5}\)，即\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)；兩式相減可得\(2\cos\alpha=-\frac{6}{5}\)，即\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\)。所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}\)。二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）1.函數(shù)\(y=3^{x-2}\)的反函數(shù)是______。答案：\(y=\log_3x+2(x\gt0)\)解析：由\(y=3^{x-2}\)，求解\(x\)，兩邊取以\(3\)為底的對(duì)數(shù)可得\(\log_3y=x-2\)，則\(x=\log_3y+2\)。將\(x,y\)互換，得到反函數(shù)為\(y=\log_3x+2(x\gt0)\)。2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(3,-4)\)，則與\(\overrightarrow{a}\)同向的單位向量是______。答案：\((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)解析：先求向量\(\overrightarrow{a}\)的模\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。與\(\overrightarrow{a}\)同向的單位向量是\(\frac{\overrightarrow{a}}{\vert\overrightarrow{a}\vert}\)，即\(\frac{(3,-4)}{5}=(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)。3.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，則公比\(q=\)______。答案：\(2\)解析：在等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_n=a_1q^{n-1}\)，那么\(a_5=a_2q^{5-2}\)，即\(16=2q^{3}\)，化簡(jiǎn)可得\(q^{3}=8\)，解得\(q=2\)。4.若\(\tan\alpha=3\)，則\(\sin2\alpha=\)______。答案：\(\frac{3}{5}\)解析：根據(jù)二倍角公式\(\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}\)，已知\(\tan\alpha=3\)，代入可得\(\sin2\alpha=\frac{2\times3}{1+3^{2}}=\frac{6}{1+9}=\frac{3}{5}\)。三、解答題（本大題共4小題，共49分。解答應(yīng)寫出推理、演算步驟）1.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=x^{2}+2ax+3\)，\(x\in[-4,6]\)。（1）當(dāng)\(a=-2\)時(shí)，求\(f(x)\)的最值；（2）求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍，使\(y=f(x)\)在區(qū)間\([-4,6]\)上是單調(diào)函數(shù)。解：（1）當(dāng)\(a=-2\)時(shí)，\(f(x)=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1\)。函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為\(x=2\)。當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(f(x)\)取得最小值\(f(2)=(2-2)^{2}-1=-1\)。比較區(qū)間端點(diǎn)值，\(f(-4)=(-4-2)^{2}-1=36-1=35\)，\(f(6)=(6-2)^{2}-1=16-1=15\)。所以\(f(x)\)的最大值為\(35\)。（2）函數(shù)\(f(x)=x^{2}+2ax+3\)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為\(x=-a\)。要使\(y=f(x)\)在區(qū)間\([-4,6]\)上是單調(diào)函數(shù)，則對(duì)稱軸應(yīng)在區(qū)間\([-4,6]\)的左側(cè)或右側(cè)。即\(-a\leqslant-4\)或\(-a\geqslant6\)，解得\(a\geqslant4\)或\(a\leqslant-6\)。2.（12分）在\(\triangleABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所對(duì)的邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(a=3\)，\(b=2\)，\(\cosA=-\frac{4}{5}\)。（1）求\(\sinB\)的值；（2）求\(c\)的值。解：（1）因?yàn)閈(\cosA=-\frac{4}{5}\)，且\(A\in(0,\pi)\)，根據(jù)\(\sin^{2}A+\cos^{2}A=1\)，可得\(\sinA=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\sqrt{1-(-\frac{4}{5})^{2}}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}\)。由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，可得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}\)。已知\(a=3\)，\(b=2\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，則\(\sinB=\frac{2\times\frac{3}{5}}{3}=\frac{2}{5}\)。（2）根據(jù)余弦定理\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cosA\)，將\(a=3\)，\(b=2\)，\(\cosA=-\frac{4}{5}\)代入可得：\(3^{2}=2^{2}+c^{2}-2\times2c\times(-\frac{4}{5})\)\(9=4+c^{2}+\frac{16}{5}c\)\(c^{2}+\frac{16}{5}c-5=0\)兩邊同時(shí)乘以\(5\)得\(5c^{2}+16c-25=0\)對(duì)于一元二次方程\(Ax^{2}+Bx+C=0\)（\(A=5\)，\(B=16\)，\(C=-25\)），根據(jù)求根公式\(x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}\)可得：\(c=\frac{-16\pm\sqrt{16^{2}-4\times5\times(-25)}}{2\times5}=\frac{-16\pm\sqrt{256+500}}{10}=\frac{-16\pm\sqrt{756}}{10}=\frac{-16\pm6\sqrt{21}}{10}=\frac{-8\pm3\sqrt{21}}{5}\)因?yàn)閈(c\gt0\)，所以\(c=\frac{-8+3\sqrt{21}}{5}\)。3.（12分）已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，且\(a_3=5\)，\(S_{10}=100\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)\(b_n=2^{a_n}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(T_n\)。解：（1）設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)，首項(xiàng)為\(a_1\)。根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_3=a_1+2d=5\)。根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，可得\(S_{10}=10a_1+\frac{10\times9}{2}d=100\)，即\(10a_1+45d=100\)，化簡(jiǎn)為\(2a_1+9d=20\)。聯(lián)立方程組\(\begin{cases}a_1+2d=5\\2a_1+9d=20\end{cases}\)，將第一個(gè)方程乘以\(2\)得\(2a_1+4d=10\)。用\(2a_1+9d=20\)減去\(2a_1+4d=10\)可得：\((2a_1+9d)-(2a_1+4d)=20-10\)\(5d=10\)，解得\(d=2\)。將\(d=2\)代入\(a_1+2d=5\)，可得\(a_1+2\times2=5\)，解得\(a_1=1\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。（2）由（1）知\(a_n=2n-1\)，則\(b_n=2^{a_n}=2^{2n-1}\)。\(\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{2(n+1)-1}}{2^{2n-1}}=\frac{2^{2n+1}}{2^{2n-1}}=2^{2}=4\)，且\(b_1=2^{2\times1-1}=2\)。所以數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)是以\(2\)為首項(xiàng)，\(4\)為公比的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(T_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)），可得\(T_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2}{3}(4^n-1)\)。4.（13分）已知橢圓\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點(diǎn)\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)。（1）求橢圓\(C\)的方程；（2）設(shè)直線\(l:y=kx+m\)與橢圓\(C\)交于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，\(O\)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，求\(\frac{m^{2}}{k^{2}+1}\)的值。解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，又\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)，所以\(\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}\)，即\(\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}\)，化簡(jiǎn)得\(a^{2}=4b^{2}\)。橢圓過點(diǎn)\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)，將其代入橢圓方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{