單元整體教學(xué)發(fā)展空間觀念——以"圓柱與圓錐"單元整體教學(xué)為例

［摘要］空間觀念是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，它有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。針對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)中幾何知識(shí)呈現(xiàn)碎片化，難以有效培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的問題，文章以"圓柱與圓錐"單元整體教學(xué)為例，設(shè)計(jì)符合《課程方案》、《課程標(biāo)準(zhǔn)》、課時(shí)、學(xué)情要求的教學(xué)活動(dòng)，以有效促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］單元整體教學(xué)；圓柱；圓錐；空間觀念

單元整體教學(xué)的目標(biāo)在于通過系統(tǒng)化的整合，促進(jìn)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的思維模式。該教學(xué)方法要求教師在全面審視教材內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行科學(xué)的重組，旨在讓學(xué)生掌握單元知識(shí)，構(gòu)建易于理解且更為系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)方法。下面，筆者以人教版教材六年級(jí)下冊(cè)"圓柱與圓錐"單元為例，設(shè)計(jì)促進(jìn)學(xué)生空間觀念發(fā)展的單元教學(xué)。一、單元內(nèi)容分析

（一）分析《課程方案》《課程標(biāo)準(zhǔn)》，明素養(yǎng)

"圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量"是"圖形與幾何"領(lǐng)域的主題之一。圖形的認(rèn)識(shí)主要側(cè)重于對(duì)圖形特征的探究與表述；圖形的測(cè)量則著重于確定圖形的大小。在學(xué)習(xí)圖形特征以及推導(dǎo)計(jì)算常見圖形的周長(zhǎng)、面積和體積的過程中，學(xué)生將體驗(yàn)到圖形變化的規(guī)律性，感悟數(shù)學(xué)的度量方法，逐步形成量感并發(fā)展推理意識(shí)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（全文簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。培養(yǎng)空間觀念有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，為形成空間想象力奠定經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。空間觀念的培養(yǎng)并不只是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形所展現(xiàn)出的表面特征，還要讓學(xué)生采用多元操作方法發(fā)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，并形成研究新圖形的方法?！读x務(wù)教育課程方案（2022年版）》（全文簡(jiǎn)稱《課程方案》）指出，不同課程涉及同一內(nèi)容主題的，根據(jù)各自課程的性質(zhì)和育人價(jià)值，做好規(guī)劃與分工協(xié)調(diào)?？梢姡囵B(yǎng)空間觀念需循序漸進(jìn)，且需整合"圖形與幾何"領(lǐng)域相關(guān)內(nèi)容，在單元視角下進(jìn)行以問題為導(dǎo)向的教學(xué)。

（二）分析教材，理順序

"圓柱與圓錐"單元涉及的是曲面立體圖形，教材將其編排在直柱體之后，是對(duì)立體圖形的拓展延伸。因此，對(duì)教材進(jìn)行深入分析，梳理其結(jié)構(gòu)脈絡(luò)顯得尤為重要。

從縱向視角審視，人教版教材的編排遵循了學(xué)生對(duì)圖形認(rèn)知的規(guī)律性發(fā)展。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程經(jīng)歷了從平面圖形到立體圖形的認(rèn)知，再回歸至兩者的維度轉(zhuǎn)換，該過程旨在構(gòu)建學(xué)生的空間觀念，促使他們?cè)趫D形維度的變化中發(fā)展空間觀念。

從橫向視角審視，人教版、北師大版、蘇教版三版教材展現(xiàn)出諸多共性：在內(nèi)容層面上，均以"認(rèn)識(shí)"與"測(cè)量"為教學(xué)核心，圍繞"圓柱與圓錐的認(rèn)識(shí)""圓柱的側(cè)面積與表面積"以及"圓柱與圓錐的體積"開展教學(xué)活動(dòng)；在探究方法上，均強(qiáng)調(diào)三維立體圖形與二維平面圖形之間的轉(zhuǎn)換，通過展開與折疊、切截與累加、等積變換等手段，實(shí)現(xiàn)立體圖形與平面圖形以及立體圖形之間的轉(zhuǎn)化應(yīng)用；在素養(yǎng)培養(yǎng)方面，均注重空間觀念、推理意識(shí)等核心素養(yǎng)與"四基""四能"的結(jié)合。人教版、北師大版、蘇教版三版教材的這些共性構(gòu)成了本單元教學(xué)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。

（三）分析學(xué)情，知起點(diǎn)

為了準(zhǔn)確把握學(xué)生對(duì)圓柱、圓錐的認(rèn)知起點(diǎn)，筆者對(duì)所執(zhí)教的六年級(jí)兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了單元前測(cè)。分析發(fā)現(xiàn)：86％的學(xué)生能從實(shí)物抽象出圖形，65％的學(xué)生能夠描述圓柱、圓錐的特征，41％的學(xué)生具備圓柱表面積和體積的度量意識(shí)，只有29％的學(xué)生能正確地想象出圓柱的展開圖以及能把圓柱的體積與長(zhǎng)方體的體積進(jìn)行聯(lián)系，僅有13％的學(xué)生利用A4紙有條理地制作圓柱并計(jì)算所制作圓柱的體積和表面積，特別需注意的是，有2名學(xué)生完全留空。綜合分析可知，大部分學(xué)生對(duì)圓柱、圓錐有一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)其特征的描述、表面積和體積的計(jì)算也進(jìn)行了提前預(yù)習(xí)，具備一定的解題能力，但對(duì)二維平面圖形與三維立體圖形之間的轉(zhuǎn)換不敏感以及缺乏空間想象力，對(duì)未學(xué)過且有一定直覺的立體圖形尚未形成系統(tǒng)的研究方法。這也是本單元教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)依據(jù)。

二、單元課時(shí)重構(gòu)

基于對(duì)單元教材內(nèi)容橫向與縱向的脈絡(luò)梳理、學(xué)情的分析以及單元整體教學(xué)目標(biāo)的確定，特別是依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)分析，知識(shí)體系內(nèi)部邏輯關(guān)聯(lián)及認(rèn)知方法與思想方法的共通性，筆者將本單元整合成具有結(jié)構(gòu)化特征的教學(xué)體系。遵循循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形，隨后開展圖形測(cè)量教學(xué)。在圖形測(cè)量教學(xué)過程中，可以適當(dāng)調(diào)整教學(xué)順序：先將圓柱和圓錐的認(rèn)識(shí)合并為一課時(shí)，再將圓柱的側(cè)面積和表面積合并為另一課時(shí)。這是因?yàn)閳A柱和圓錐的認(rèn)識(shí)是本單元的基礎(chǔ)，而圓柱的表面積、圓柱與圓錐的體積計(jì)算教學(xué)能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)圓柱、圓錐的理解。由此，可將"圓柱與圓錐"單元課時(shí)重構(gòu)為"圓柱與圓錐的認(rèn)識(shí)""圓柱的側(cè)面積和表面積""圓柱的體積""圓錐的體積""復(fù)習(xí)與整理"。

三、單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）單元核心概念

在學(xué)習(xí)"圓柱與圓錐"之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、長(zhǎng)方體、正方體和圓的幾何相關(guān)知識(shí)，這些知識(shí)為他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)"圓柱與圓錐"提供了知識(shí)儲(chǔ)備和研究經(jīng)驗(yàn)?？傆[幾何圖形的課程內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何圖形的過程中，遵循從平面圖形到立體圖形的螺旋式上升路徑。此外，從度量意識(shí)的培養(yǎng)角度來(lái)看，學(xué)生首先接觸一維"長(zhǎng)度"的度量，繼而學(xué)習(xí)二維"面積"的度量，最終延伸至三維"體積"的度量，這一學(xué)習(xí)過程有助于發(fā)展學(xué)生的度量識(shí)以及提升他們的空間觀念。因此，基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教材，"圓柱與圓錐"單元核心概念是二維平面與三維立體的相互轉(zhuǎn)化。具體表現(xiàn)為理解圓柱的表面積和體積是測(cè)量單位的累加，以及在對(duì)圓柱、圓錐特征理解的基礎(chǔ)上，能用極限思想將圓柱的體積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的體積。

（二）單元核心目標(biāo)

本單元的教學(xué)旨在通過實(shí)踐操作，幫助學(xué)生理解曲面立體圖形的本質(zhì)特征及測(cè)量方法，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理意識(shí)，最終使學(xué)生形成對(duì)圖形認(rèn)識(shí)與測(cè)量的一般性研究方法，體驗(yàn)探索的快樂。人教版教材設(shè)計(jì)了一系列將實(shí)物的平面圖形與立體圖形互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。對(duì)此，可將本單元的核心目標(biāo)設(shè)計(jì)為：通過觀察、操作、對(duì)比、總結(jié)等活動(dòng)，深入理解圓柱、圓錐的基本元素；能夠運(yùn)用圓柱的特性推導(dǎo)出其側(cè)面積、表面積和體積的計(jì)算公式，通過探究等底等高的圓柱和圓錐的體積關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)圓錐的體積計(jì)算公式。

（三）單元課時(shí)核心任務(wù)

設(shè)計(jì)課時(shí)核心任務(wù)需結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)》與學(xué)情，以助力單元核心概念與核心目標(biāo)落地生根。

四、種子課分析

在推導(dǎo)圓柱的表面積與體積的計(jì)算方法及公式時(shí)，必須緊密聯(lián)系圓柱的基本屬性。同理，圓錐體積公式的推導(dǎo)也必須依據(jù)圓錐的基本特征。在解決圓柱和圓錐表面積與體積的相關(guān)問題中，有時(shí)依據(jù)圓柱、圓錐的特征比運(yùn)用計(jì)算公式更有效且靈活。圓柱與圓錐的特征認(rèn)識(shí)是本單元的核心知識(shí)，可將其設(shè)計(jì)成種子課的核心；圓柱的表面積和體積、圓錐的體積則是在它們各自特征的基礎(chǔ)上衍生出的知識(shí)，故將其設(shè)計(jì)成生長(zhǎng)課。下面，筆者著重分析種子課——圓柱與圓錐的認(rèn)識(shí)。

種子課的核心教學(xué)目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物操作中抽象出圓柱、圓錐幾何模型，并深入理解圓柱、圓錐的基本特征，同時(shí)積累相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以發(fā)展空間觀念。對(duì)此，筆者以靜態(tài)、動(dòng)態(tài)兩種實(shí)物狀態(tài)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、描畫、制作、旋轉(zhuǎn)等實(shí)踐過程抽象出圓柱、圓錐的幾何模型，再?gòu)?點(diǎn)一線一面一體"的角度深入分析圓柱、圓錐的本質(zhì)特征活動(dòng)一旨在讓學(xué)生初步感知圖形與實(shí)物的特征。由于學(xué)生已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗(yàn)，筆者選取了學(xué)生日常生活中常見的實(shí)物作為教學(xué)工具，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別并區(qū)分圓柱與圓錐，從而有效減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷。在此過程中，筆者故意在實(shí)物中融入了不規(guī)則的圖形元素（如上窄下寬的形狀），讓學(xué)生在描摹圖形輪廓以及交流討論的過程中，引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)探究的興趣。

活動(dòng)二是建立在活動(dòng)一的基礎(chǔ)上展開，旨在引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作探究圓柱與圓錐的本質(zhì)特征。學(xué)生利用事先準(zhǔn)備好的紙張，分別制作一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，在"卷""折"的過程中感受平面圖形轉(zhuǎn)變?yōu)榱Ⅲw圖形的過程，并通過"摸""滾""量"等操作激活感知。在這樣的探究過程中，學(xué)生能通過觸摸體驗(yàn)平面與曲面的差異，如圓柱的底面與側(cè)面；能在觀察中發(fā)現(xiàn)圓柱在滾動(dòng)時(shí)是沿直線"躺平"運(yùn)動(dòng)，而圓錐則以頂點(diǎn)為中心進(jìn)行曲線運(yùn)動(dòng)；能在測(cè)量中發(fā)現(xiàn)圓柱的高是兩底面間的距離，有無(wú)數(shù)條，而圓錐的高則為頂點(diǎn)至底面圓心的距離，只有一條。通過實(shí)踐活動(dòng)中的感知與歸納，以及在與同伴的合作中，學(xué)生自主學(xué)習(xí)圓柱與圓錐的特征，并最終以數(shù)據(jù)的形式在表格中呈現(xiàn)，從而精確描述圓柱與圓錐的幾何特性。

活動(dòng)三旨在通過動(dòng)靜結(jié)合的方式，讓學(xué)生體驗(yàn)立體圖形的形成過程。該活動(dòng)主要利用學(xué)具和視頻資源，通過旋轉(zhuǎn)、切割等操作方法，引導(dǎo)學(xué)生理解"面動(dòng)成體"的維度轉(zhuǎn)換原理。同時(shí)，活動(dòng)從多角度建立了圓柱的底面圓周長(zhǎng)與側(cè)面邊長(zhǎng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并促進(jìn)學(xué)生知識(shí)遷移能力的發(fā)展。此外，動(dòng)態(tài)演示所產(chǎn)生的視覺沖擊有助于激發(fā)學(xué)生的空間想象力，使他們深刻感悟面與體之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而增強(qiáng)其空間觀念。

這三個(gè)活動(dòng)的設(shè)計(jì)強(qiáng)化了數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，逐步引導(dǎo)學(xué)生從物體形狀的共性中提煉出直觀模型，并運(yùn)用這些模型來(lái)深化理解圖形特征。如先引導(dǎo)學(xué)生研究圓柱的特征，隨后引導(dǎo)學(xué)生類比遷移至圓錐特征的探討，為圓柱和圓錐體積概念的