大一上半期高數(shù)考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價(jià)無窮小3.設(shè)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)=（）A.\(f'(x)\)B.\(f'(x_0)\)C.\(f(x_0)\)D.\(f(x)\)4.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(3\)5.若\(F'(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx\)=（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)6.\(\intx^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)7.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.\(1\)B.\(0\)C.\(\infty\)D.不存在8.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)9.函數(shù)\(f(x)=\sinx\)的一個(gè)原函數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)10.定積分\(\int_{0}^{1}xdx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(0\)答案：1.C2.A3.B4.A5.B6.A7.B8.B9.B10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)的條件是（）A.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在B.\(f(x_0)\)有定義C.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)D.\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)3.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\)4.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的駐點(diǎn)有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)5.下列積分中，正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)6.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件是（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界7.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)（\(x>0\)）8.曲線\(y=f(x)\)的漸近線可能有（）A.水平漸近線B.垂直漸近線C.斜漸近線D.不存在漸近線9.下列說法正確的是（）A.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)B.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)C.可微函數(shù)一定可導(dǎo)D.可導(dǎo)函數(shù)一定可微10.定積分的性質(zhì)有（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx=\int_{a}^f(x)dx\)（\(a<c<b\)）答案：1.AB2.ABC3.AB4.AC5.ABCD6.ABC7.ACD8.ABCD9.ACD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x^2}\)與\(y=x\)是同一個(gè)函數(shù)。（）2.無窮小量與有界量的乘積是無窮小量。（）3.若\(f(x)\)在\(x_0\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定不連續(xù)。（）4.函數(shù)\(y=x^4\)的導(dǎo)數(shù)\(y'=4x^3\)。（）5.不定積分\(\intf(x)dx\)表示\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)。（）6.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值只與被積函數(shù)\(f(x)\)及積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)。（）7.函數(shù)\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)上是單調(diào)遞增的。（）8.曲線\(y=\frac{1}{x}\)有水平漸近線\(y=0\)和垂直漸近線\(x=0\)。（）9.若\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)>0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（）10.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可微的充要條件是\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\ln(x^2+1)\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令\(u=x^2+1\)，則\(y=\lnu\)。\(y'_u=\frac{1}{u}\)，\(u'_x=2x\)，所以\(y'=\frac{2x}{x^2+1}\)。2.計(jì)算\(\int(x^3+\frac{1}{x})dx\)。答案：根據(jù)積分運(yùn)算法則，\(\int(x^3+\frac{1}{x})dx=\intx^3dx+\int\frac{1}{x}dx\)。\(\intx^3dx=\frac{1}{4}x^4\)，\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|\)，結(jié)果為\(\frac{1}{4}x^4+\ln|x|+C\)。3.求極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)。答案：利用等價(jià)無窮小，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(e^x-1\simx\)，所以\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)。4.函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y'=2x-2\)，令\(y'=0\)得\(x=1\)。當(dāng)\(x<1\)時(shí)，\(y'<0\)，函數(shù)遞減；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(y'>0\)，函數(shù)遞增。單調(diào)遞減區(qū)間是\((-\infty,1)\)，遞增區(qū)間是\((1,+\infty)\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\leq0\\x^2,&x>0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：連續(xù)性：\(\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x)=1\)，\(\lim\limits_{x\to0^{+}}f(x)=0\)，左右極限不相等，不連續(xù)。可導(dǎo)性：不連續(xù)則不可導(dǎo)。2.試討論定積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：定積分可用于計(jì)算不規(guī)則圖形面積，如計(jì)算土地面積；還能求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，通過速度函數(shù)積分得到；在求變力做功方面也有應(yīng)用，對(duì)力函數(shù)積分算出功。3.結(jié)合實(shí)例討論函數(shù)的單調(diào)性與極值在實(shí)際問題中的意義。答案：比如生產(chǎn)利潤(rùn)