幾何模型之手拉手模型1．（2025春?渠縣校級(jí)期末）已知：點(diǎn)是邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），，，連接，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你判斷線段與線段之間的關(guān)系，并證明你判斷的結(jié)論．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形的面積．（3）點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，，，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．2．（2025?海淀區(qū)校級(jí)四模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，為上一點(diǎn)，點(diǎn)．對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”．（1）如圖1，已知點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”．①若點(diǎn)，在圖中畫(huà)出點(diǎn)，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度為；②當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”，求的取值范圍；（2）點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．3．（2025?黑龍江模擬）在中，，，為直線上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖①，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出你的猜想，不必證明．4．（2025?霍邱縣一模）如圖1，等邊中，點(diǎn)、分別在、上，且，連接、交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接，若，判斷與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，的延長(zhǎng)線交于，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．

5．（2025春?蓮池區(qū)校級(jí)期末）圖中和是兩個(gè)等邊三角形，其中，，如圖①，（1）將兩三角形按圖1放置（點(diǎn)，，在同一條直線上），連接線段，，求線段的長(zhǎng)；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，直線，相交于點(diǎn)，連接．求證：；（3）以圖1的位置為起點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)，，恰好在一條直線上時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．6．（2025春?和平縣期末）【問(wèn)題提出】（1）如圖1，與均是頂角為的等腰三角形，、分別是底邊，求證：；【類(lèi)比延伸】（2）如圖2，與均為等邊三角形，點(diǎn)、、在同一直線上，連接．填空：的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系為．【拓展研究】（3）如圖3，與均為等腰直角三角形，，點(diǎn)、、在同一直線上，于點(diǎn)，連接．請(qǐng)求出的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

7．（2025?泰州）已知：、為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)在該圓上，為所對(duì)的圓周角．知識(shí)回顧（1）如圖①，中，、位于直線異側(cè)，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長(zhǎng)；逆向思考（2）如圖②，若為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：為該圓的圓心；拓展應(yīng)用（3）如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)在上，滿足的所有點(diǎn)中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．8．（2025春?金牛區(qū)期末）在中，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，，．（1）如圖1，連接交于，，為中點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)使得，連接，．求證：．（3）如圖3，，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)最小時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．

9．（2025?和平區(qū)三模）已知拋物線，，，是常數(shù)）的頂點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若，點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②將直線沿軸向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，并且與拋物線總有公共點(diǎn)，求的取值范圍；若，點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，在平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，的最小值是？10．（2025春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知和都是等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．①探究和的關(guān)系，并說(shuō)明理由；②連接，求證：，，三點(diǎn)共線．

11．（2025春?天橋區(qū)期末）（1）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），以為邊在右側(cè)作等邊，連接，線段與的數(shù)量關(guān)系是，．（2）如圖2，在中，，，點(diǎn)為上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），以為邊作等腰直角三角形，，連接，請(qǐng)求解下列問(wèn)題并說(shuō)明理由：①的度數(shù)；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，以為邊作等腰直角，，連接，，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

12．（2025春?平遙縣期中）綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過(guò)研討給出定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱(chēng)此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱(chēng)為“手拉手模型”，如圖1，與都是等腰三角形，其中，則．初步把握如圖2，與都是等腰三角形，，，且，則有．深入研究如圖3，已知，以、為邊分別向外作等邊和等邊，并連接，，求證：．拓展延伸如圖4，在兩個(gè)等腰直角三角形和中，，，，連接，，交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷和的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

13．（2025春?佛山期末）在等邊中，，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在線段上取一點(diǎn)，使得，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到線段，連接，．①當(dāng)位于內(nèi)部，且恰好被平分時(shí)，若，求的長(zhǎng)度；②如圖3，當(dāng)時(shí)，記線段與線段的交點(diǎn)為，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．14．（2025秋?天山區(qū)校級(jí)期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，和都是等邊三角形，點(diǎn)、、在同一條直線上，連接．①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）拓展探究：如圖②，和都是等腰直角三角形、，點(diǎn)、、在同一條直線上，為中邊上的高，連接，試求的度數(shù)及判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖③，和都是等腰三角形，，點(diǎn)、，在同一條直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．

15．（2025春?巴南區(qū)期中）在矩形中，是邊上一點(diǎn)．（1）若，平分，且，求的面積；（2）若是中點(diǎn)且，于點(diǎn)，求證：；（3）若，于點(diǎn)，連接并反向延長(zhǎng)至點(diǎn)使得．點(diǎn)在直線上方，連接、，，，請(qǐng)?zhí)骄坎⒄?qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．16．（2025春?錦江區(qū)校級(jí)期中）在中，，，，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，連接，求的長(zhǎng)；（2）如圖②，連接，直線與交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，則的值為多少？請(qǐng)直接寫(xiě)出答案．

17．（2025春?靖江市校級(jí)月考）如圖，，，，、、滿足．點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在中，，．（1）則、、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，，；（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段上或其延長(zhǎng)線上時(shí)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，連接．若，的值在變化，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．18．（2025?天寧區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)．（1）如圖1，．①若是以為斜邊的直角三角形，且．請(qǐng)?jiān)趫D（1）中利用圓規(guī)、無(wú)刻度直尺作出點(diǎn)的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)：；②若是等邊三角形．求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，是等邊三角形，點(diǎn)在以，為圓心，半徑為的圓上．若存在兩個(gè)滿足條件，求的取值范圍．

19．（2025春?將樂(lè)縣校級(jí)期中）如圖，等腰三角形和等腰三角形，其中，．（1）如圖1，若，當(dāng)、、共線時(shí)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則；（2）如圖2，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，證明：；（3）如圖3，延長(zhǎng)到點(diǎn)，連接，使得，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連接，若，請(qǐng)寫(xiě)出、之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．20．（2025?酒泉一模）（1）感知：如圖①，四邊形和均為正方形，與的數(shù)量關(guān)系為；（2）拓展：如圖②，四邊形和均為菱形，且，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）應(yīng)用：如圖③，四邊形和均為菱形，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上．若，，的面積為8，求菱形的面積．

1．（2025春?渠縣校級(jí)期末）已知：點(diǎn)是邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），，，連接，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你判斷線段與線段之間的關(guān)系，并證明你判斷的結(jié)論．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形的面積．（3）點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，，，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【解答】解：（1），證明：如圖1，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，，，，，，，即，在和中，，，，，，，，，．（2）方法一：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，；方法二：，，，，，，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，；（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，，，，，，；②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，，，，，即，，；綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．2．（2025?海淀區(qū)校級(jí)四模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，為上一點(diǎn)，點(diǎn)．對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”．（1）如圖1，已知點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”．①若點(diǎn)，在圖中畫(huà)出點(diǎn)，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度為；②當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”，求的取值范圍；（2）點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．【解答】解：（1）①連接，過(guò)點(diǎn)作，使，則，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，則，如圖所示，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；，故答案為：；②取點(diǎn)，連接、，，是等腰直角三角形，，，，，△，，，，，，△，，設(shè)點(diǎn)，則，即，要使直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”，需方程組有解，，，△，；（2）取點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，，由（1）②類(lèi)似可得到，點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，若上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”，與，應(yīng)有交點(diǎn)，則，即，或，或．3．（2025?黑龍江模擬）在中，，，為直線上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖①，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出你的猜想，不必證明．【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，，，，，，在中，，，，；（2）解：當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，理由：如圖：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，，，，，，在中，，，，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，理由：如圖：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，．4．（2025?霍邱縣一模）如圖1，等邊中，點(diǎn)、分別在、上，且，連接、交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接，若，判斷與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，的延長(zhǎng)線交于，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：為等邊三角形，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接、，取的中點(diǎn)，連接，由（1）得：，是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，，，，，，，，，，，即，，即，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，又，是等邊三角形，，，，，，，；（3）解：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接、，取的中點(diǎn)，連接，由（2）知：，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，，，，，，，．5．（2025春?蓮池區(qū)校級(jí)期末）圖中和是兩個(gè)等邊三角形，其中，，如圖①，（1）將兩三角形按圖1放置（點(diǎn)，，在同一條直線上），連接線段，，求線段的長(zhǎng)；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，直線，相交于點(diǎn)，連接．求證：；（3）以圖1的位置為起點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)，，恰好在一條直線上時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．【解答】（1）解：和均為等邊三角形，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，在中，，在和中，，，；（2）證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，和均為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，，又，，為的平分線，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)，，恰好在一條直線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，等邊三角形，，，在中，，在中，，，由（1）同理可得：，；當(dāng)點(diǎn)，，恰好在一條直線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，同理可得：，，此時(shí)，，由（1）同理可得：，．綜上，線段的長(zhǎng)度為或．6．（2025春?和平縣期末）【問(wèn)題提出】（1）如圖1，與均是頂角為的等腰三角形，、分別是底邊，求證：；【類(lèi)比延伸】（2）如圖2，與均為等邊三角形，點(diǎn)、、在同一直線上，連接．填空：的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系為．【拓展研究】（3）如圖3，與均為等腰直角三角形，，點(diǎn)、、在同一直線上，于點(diǎn)，連接．請(qǐng)求出的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：，，即，在和中，，，．（2）解：和均為等邊三角形，，，，，，即，在和中，，，，，點(diǎn)，，在同一直線上，，，，故答案為：；．（3）解：和均為等腰直角三角形，，，，，，即，在和中，，，，，點(diǎn)，，在同一直線上，，，；，，，，，；即線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為．7．（2025?泰州）已知：、為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)在該圓上，為所對(duì)的圓周角．知識(shí)回顧（1）如圖①，中，、位于直線異側(cè)，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長(zhǎng)；逆向思考（2）如圖②，若為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：為該圓的圓心；拓展應(yīng)用（3）如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)在上，滿足的所有點(diǎn)中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．【解答】（1）解：①，，，．②連接，過(guò)作，垂足為，，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．（2）延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，則，，，，，，，，為該圓的圓心．（3）過(guò)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，，，，是等腰直角三角形，，，，，是直徑，，，，，，，，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變，點(diǎn)即為所求．．8．（2025春?金牛區(qū)期末）在中，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，，．（1）如圖1，連接交于，，為中點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)使得，連接，．求證：．（3）如圖3，，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)最小時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【解答】（1）解：，，即，為中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，；（2）證明：延長(zhǎng)至，使，連接，則，，，在和中，，，，，由（1）得：，，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，可得：，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，最小，作，交的延長(zhǎng)線于，連接，在中，，，，在中，，，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，即是的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：（負(fù)值舍去），，，，，，，，，在△中，，，、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，．9．（2025?和平區(qū)三模）已知拋物線，，，是常數(shù)）的頂點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若，點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②將直線沿軸向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，并且與拋物線總有公共點(diǎn)，求的取值范圍；若，點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，在平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，的最小值是？【解答】解：（Ⅰ）①，對(duì)稱(chēng)軸為直線，，即，解得：，拋物線與軸相交于點(diǎn)，，解得：，拋物線的解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②令得，，，令得，，解得：，，，設(shè)直線的解析式為，將代入得，，解得：，直線的解析式為，將直線沿軸向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線解析式為，平移后的直線與拋物線總有公共點(diǎn)，，整理得，，解得：，；（Ⅱ）點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，拋物線解析式為，令得，，，，當(dāng)時(shí)，如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△，連接、，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則四邊形為矩形，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，為等腰直角三角形，，，當(dāng)滿足點(diǎn)，落在直線上時(shí)，取得最小值，此時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，軸，，在△和中，，△，，，，，，，在△中，，，解得：，；當(dāng)時(shí)，同理可求出．綜上，的值為．10．（2025春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知和都是等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．①探究和的關(guān)系，并說(shuō)明理由；②連接，求證：，，三點(diǎn)共線．【解答】（1）證明：和都是等腰直角三角形，，，，，即：，在和中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，；（2）①解：，；理由如下：和都是等腰直角三角形，，，，，即：，在和中，，，，，又，，即：；②證明：延長(zhǎng)到，使得，連接、；和都是等腰直角三角形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，又，，即：，，三點(diǎn)共線．11．（2025春?天橋區(qū)期末）（1）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），以為邊在右側(cè)作等邊，連接，線段與的數(shù)量關(guān)系是，．（2）如圖2，在中，，，點(diǎn)為上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），以為邊作等腰直角三角形，，連接，請(qǐng)求解下列問(wèn)題并說(shuō)明理由：①的度數(shù)；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，以為邊作等腰直角，，連接，，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【解答】解：（1）和是等邊三角形，，，，，，即．在和中，，，，，，故答案為：，120；（2）①，理由如下：和都是等腰直角三角形，，，，，，即，在和中，，，，，，；②，理由如下：由①可知，，，在中，由勾股定理得：，；（3）同（2）得：，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，，即的值為68．12．（2025春?平遙縣期中）綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過(guò)研討給出定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱(chēng)此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱(chēng)為“手拉手模型”，如圖1，與都是等腰三角形，其中，則．初步把握如圖2，與都是等腰三角形，，，且，則有．深入研究如圖3，已知，以、為邊分別向外作等邊和等邊，并連接，，求證：．拓展延伸如圖4，在兩個(gè)等腰直角三角形和中，，，，連接，，交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷和的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】初步把握解：，，即，在和中，，，故答案為：，；深入研究證明：和都是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，；拓展延伸解：，，理由如下：，，即，在和中，，，，，，，．13．（2025春?佛山期末）在等邊中，，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在線段上取一點(diǎn)，使得，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到線段，連接，．①當(dāng)位于內(nèi)部，且恰好被平分時(shí)，若，求的長(zhǎng)度；②如圖3，當(dāng)時(shí)，記線段與線段的交點(diǎn)為，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：是等邊三角形，，，在和中，，，；（2）解：①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2，在和中，，，，，，在中，，，，，，；②證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使等于，連接，如圖3，，，，，，又，，，即：，在和中，，，，，，，在和中，，，，，．14．（2025秋?天山區(qū)校級(jí)期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，和都是等邊三角形，點(diǎn)、、在同一條直線上，連接．①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）拓展探究：如圖②，和都是等腰直角三角形、，點(diǎn)、、在同一條直線上，為中邊上的高，連接，試求的度數(shù)及判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖③，和都是等腰三角形，，點(diǎn)、，在同一條直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【解答】解：（1）①和都是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，故答案為：；②，，故答案為：；（2），理由如下：是等腰直角三角形，，，由（1）得，，，，，都是等腰直角三角形，為中邊上的高，，；（3）是等腰三角形，，，，，，，是等腰三角形，，，，15．（2025春?巴南區(qū)期中）在矩形中，是邊上一點(diǎn)．（1）若，平分，且，求的面積；（2）若是中點(diǎn)且，于點(diǎn)，求證：；（3）若，于點(diǎn)，連接并反向延長(zhǎng)至點(diǎn)使得．點(diǎn)在直線上方，連接、，，，請(qǐng)?zhí)骄坎⒄?qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）在矩形中，，．過(guò)作于，如圖1．，，，．．，，．即．，，，．．．．（2）過(guò)作于，過(guò)作延長(zhǎng)線于，如圖2．，，，．又，．，．，，，四邊形是矩形．，．，，，．．．在中，．．（3）作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)，連接，，如圖3．（對(duì)稱(chēng)），，．．，．，．．又，，．，．，，，．，．．．，，．．為等邊三角形，，．16．（2025春?錦江區(qū)校級(jí)期中）在中，，，，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，連接，求的長(zhǎng)；（2）如圖②，連接，直線與交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，則的值為多少？請(qǐng)直接寫(xiě)出答案．【解答】（1）解：如圖①，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于，則，，，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，在中，，，在中，；（2）證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，則，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，，在和中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖③，取的中點(diǎn)連接，，過(guò)點(diǎn)作于，交于，由（1）（2）得：，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，在中，，，在中，．故的值為．當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，同理可求的值為．綜上所述：的值為或．17．（2025春?靖江市校級(jí)月考）如圖，，，，、、滿足．點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在中，，．（1）則、、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，，；（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段上或其延長(zhǎng)線上時(shí)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，連接．若，的值在變化，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．【解答】解：（1），，，，，，，，，，故答案為，，．（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接、，由題意知，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可證，，可得，故滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（3）如圖②，連接、，與（2）同法可得，，，，，，，，，即，，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，可得，故點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為．18．（2025?天寧區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)．（