1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第2課時(shí)

空間中直線、平面的平行學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行關(guān)系(重點(diǎn)).導(dǎo)語(yǔ)上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了用空間向量表示點(diǎn)、直線、平面等空間中的元素，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵因素，那么，我們能否用這些向量來(lái)刻畫(huà)空間中的平行和垂直關(guān)系呢？如果能的話，應(yīng)該怎樣刻畫(huà)呢？今天，我們來(lái)探究如何用空間向量刻畫(huà)平行問(wèn)題.新知探究一、直線和直線平行問(wèn)題1由直線與直線的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量具有什么關(guān)系？提示

平行.設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?

??λ∈R，使得u1=

.u1∥u2λu2上述結(jié)論中的直線l1，l2為兩條不重合的直線.新知探究問(wèn)題2如圖，直線l與平面α平行，u是直線

l

的方向向量，n是平面α的法向量，u與n有什么關(guān)系？設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u

n?

.⊥u·n=0注：(1)證明線面平行的關(guān)鍵是證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)特別強(qiáng)調(diào)直線在平面外.二、直線和平面平行新知探究問(wèn)題3如圖，平面α與β平行，n1，n2分別是平面α，β的法向量，n1與n2具有什么關(guān)系？設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?

??λ∈R，使得

.n1∥n2n1=λn2三、平面和平面平行典例分析例1

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM=2MB1，點(diǎn)S在棱DD1上，且SD1=2SD，點(diǎn)N，R分別為棱A1D1，BC的中點(diǎn).求證：MN∥RS.

典例分析例1

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM=2MB1，點(diǎn)S在棱DD1上，且SD1=2SD，點(diǎn)N，R分別為棱A1D1，BC的中點(diǎn).求證：MN∥RS.

反思與感悟證明線線平行的兩種思路：(1)(基向量法)用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過(guò)向量的線性運(yùn)算，利用向量共線的充要條件證明.(2)(坐標(biāo)法)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量平行的坐標(biāo)表示.

跟蹤訓(xùn)練

跟蹤訓(xùn)練

典例分析例2(課本例3)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.線段B1C上是否存在點(diǎn)P，使得A1P∥平面ACD1？

解典例分析

學(xué)習(xí)筆記例2

在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中點(diǎn).證明：PA∥平面EDB.

典例分析

延伸探究延伸探究

在本例題的條件下，若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，問(wèn)：在棱PC上是否存在一點(diǎn)N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出點(diǎn)N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解

解反思與感悟利用空間向量證明線面平行一般有三種方法(1)先求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證.(3)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一個(gè)基底表示.注意：以上三種方法都需要點(diǎn)明：直線在平面外.典例分析例3(課本例2)證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.已知：如圖，a?β，b?β，a∩b=P，a∥α，b∥α.求證：α∥β.

證明典例分析例3

已知正方體ABCD-A'B'C'D'，求證：平面AB'D'∥平面BDC'.

證明

證明即AD'∥BC'，AB'∥DC'，又AD'?平面BDC'，BC'?平面BDC'，AB'?平面BDC'，DC'?平面BDC'，所以AD'∥平面BDC'，AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A，且AD'，AB'?平面AB'D'，所以平面AB'D'∥平面BDC'.證明

證明課堂小結(jié)隨堂演練1.已知直線l1的方向向量為m=(1，2，1)，若直線l1∥l2，則直線l2的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是A.(2，4，2) B.(2，3，-2)C.(1，1，1) D.(-1，1，-1)√2.(多選)若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，且l?α，能使l∥α的是A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1)C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1)√√3.已知平面α，β的一個(gè)法向量分別為u=(1，2，-2)，v=(-3，-6，6)，α與β不重合，則α，β的位置關(guān)系為

.平行4.已知直線l∥平面ABC，且l的一個(gè)方向向量為a=(2，m