正方形專題一------正方形中的三垂直結(jié)構(gòu)一【知識精析】1、等腰直角三角形的特征：①邊、角方面的特征：兩直角邊相等，兩銳角相等（都是45o）②邊之間的關(guān)系：已知任意一邊長，可得到其它兩邊長。2、等腰直角三角形與全等三角形：以等腰直角三角形為背景的幾何問題中，常常包含全等三角形，發(fā)現(xiàn)并證明其中的全等三角形往往是解題的關(guān)鍵突破口。熟悉以下基本模型，對解決等腰直角三角形問題很有好處。以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應(yīng)斜邊，必定可以構(gòu)造一對全等的直角三角形（三垂直模型）2）以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應(yīng)直角邊，必定可以構(gòu)造一對全等的直角三角形：拓展：雙三垂直相關(guān)結(jié)論：1.若△ADC和△CBE為等腰直角三角形，F(xiàn)為AB上一動點(diǎn)，若DF⊥EF則DF=EF.2.若△ADC和△CBE為等腰直角三角形，F(xiàn)為AB上一動點(diǎn)，若DF=EF則DF⊥EF.3.若△ADC為等腰直角三角形，DF=EF，DF⊥EF則△CBE為等腰直角三角形例1．如圖，在正方形ABCD中．（1）若點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=DF．試判斷DE與CF的數(shù)量及位置關(guān)系，并說明理由；（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，PQ與MN相交，且PQ=MN，問PQ⊥MN成立嗎？為什么？例2．如圖，直線MN不與正方形的邊相交且經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)D，AM⊥MN于M，CN⊥MN于N，BR⊥MN于R．（1）求證：△ADM≌△DCN：（2）求證：MN=AM+CN；（3）試猜想BR與MN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．．例3如圖，四邊形ABCD是正方形，直線l1，l2，l3分別通過A，B，C三點(diǎn)，且l1∥l2∥l3，若l1與l2的距離為5，l2與l3的距離為7，則正方形ABCD的面積等于（）例9.操作，將一把含45°的直三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上滑行，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q。探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為。（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時，設(shè)四邊形PBCQ的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式。（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑行時，△PCQ是否可能成為等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的值；如果不可能，請說明理由（題目中的圖形形狀大小都相同，供操作用）。課堂練習(xí)1、如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，BD與CE交于F點(diǎn)，求證：AF⊥BE。2、已知正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長線上一點(diǎn)，MN⊥DM且交∠CBE的平分線于N。（1）求證：MD＝MN；（2）若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB上任意一點(diǎn)”，其余條件不變，則結(jié)論“MD＝MN”還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由。3、如圖，ABCD是正方形，P是對角線上的一點(diǎn)，引PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。求證：（1）AP＝EF；（2）AP⊥EF。4、.如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，且AF⊥BE．（1）求證：AF=BE；（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．5、如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過A作AG⊥EB于G，AG交BD于點(diǎn)F，則OE＝OF，對上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長線上，AG⊥EB，交EB的延長線于點(diǎn)G，AG的延長線交DB的延長線于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明理由。