2025年統(tǒng)計學(xué)專業(yè)期末考試題庫——統(tǒng)計與決策實踐應(yīng)用實戰(zhàn)題庫考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______第一題（10分）某公司人力資源部希望了解員工的工作滿意度與其工作年限、月收入之間是否存在關(guān)聯(lián)。隨機抽取了50名員工，收集了他們的工作年限（單位：年）、月收入（單位：元）以及工作滿意度評分（1-10分，分數(shù)越高代表滿意度越高）。假設(shè)工作滿意度評分近似服從正態(tài)分布，且已知月收入的樣本均值為8000元，標準差為1500元。請簡要說明，為探究上述關(guān)聯(lián)，可以運用哪些統(tǒng)計方法？并簡述選擇這些方法的基本原理和步驟。第二題（12分）為了評估兩種不同廣告方案（方案A和方案B）對產(chǎn)品銷售量的影響，某公司選擇在三個不同的城市進行測試。每個城市隨機選擇了兩個相鄰的社區(qū)，一個社區(qū)采用方案A進行廣告宣傳，另一個社區(qū)采用方案B。一個月后，記錄了兩個社區(qū)的產(chǎn)品銷售量（單位：件）。數(shù)據(jù)如下：方案A社區(qū)銷售量：120,135,142,131方案B社區(qū)銷售量：115,128,140,123假設(shè)兩總體銷售量均服從正態(tài)分布，且方差相等但未知。請計算兩種方案下平均銷售量的點估計值，并構(gòu)造一個合理的置信區(qū)間來評估兩種方案平均銷售量之差的95%置信區(qū)間。第三題（15分）一家銀行想知道客戶的信用評分（CreditScore）與其每月的信用卡使用額（單位：元）之間是否存在線性關(guān)系。隨機抽取了30位客戶的樣本數(shù)據(jù)，計算得到信用評分的樣本均值為720分，標準差為45分；信用卡使用額的樣本均值為2500元，標準差為600元；樣本相關(guān)系數(shù)為0.65。請基于此數(shù)據(jù)建立月信用卡使用額對信用評分的簡單線性回歸方程。并解釋回歸系數(shù)的經(jīng)濟學(xué)含義。此外，請計算當信用評分為750分時，預(yù)測的月信用卡使用額，以及該預(yù)測的不確定性（以標準誤差表示）。第四題（13分）某食品廠生產(chǎn)某種袋裝零食，規(guī)定每袋凈重應(yīng)不低于450克。質(zhì)檢部門需要定期檢查生產(chǎn)過程是否正常。假設(shè)袋裝凈重服從正態(tài)分布，某次抽檢抽取了25袋樣品，測得樣本均值為448克，樣本標準差為5克。質(zhì)檢部門通常要求以95%的置信水平進行判斷，請問此次抽檢是否有理由認為生產(chǎn)過程存在凈重不足的問題？（請說明判斷依據(jù)，無需計算具體p值，但需提及檢驗統(tǒng)計量的形式或概念）。第五題（15分）一家電商公司希望了解用戶的購買行為與年齡是否存在關(guān)聯(lián)。隨機抽取了200名用戶的樣本，根據(jù)用戶的年齡段（分組）和是否購買過其主打產(chǎn)品進行了分類統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下表所示（此處不展示表格，請自行想象一個2x4的列聯(lián)表格式，包含四個年齡段：18-25歲，26-35歲，36-45歲，46歲以上，以及購買/未購買兩種狀態(tài)的數(shù)量）。請基于此數(shù)據(jù)，運用適當?shù)慕y(tǒng)計方法檢驗“用戶是否購買主打產(chǎn)品與用戶年齡段是否有關(guān)聯(lián)”這一假設(shè)。請說明所使用方法的原理，并列出檢驗統(tǒng)計量的計算公式（或關(guān)鍵步驟），無需進行完整的計算。第六題（10分）某連鎖快餐店希望預(yù)測下一個月某區(qū)域門店的銷售額。收集了過去12個月的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)銷售額呈現(xiàn)明顯的線性趨勢，且按月度計算的環(huán)比增長率（環(huán)比增長率=當月銷售額/上月銷售額-1）的樣本標準差為0.08。如果預(yù)計下一個月的銷售額將比當前月份增長5%，請利用時間序列分析的知識，簡要說明如何利用線性趨勢模型和標準差信息來估計下個月銷售額的預(yù)測區(qū)間，并解釋預(yù)測區(qū)間的構(gòu)成要素。試卷答案第一題方法：可運用相關(guān)分析（如計算Pearson相關(guān)系數(shù)）來初步判斷工作滿意度評分與工作年限、月收入之間的線性關(guān)系強度和方向；若要進一步探究滿意度與單一因素（控制另一個因素）的關(guān)系，可運用簡單線性回歸或多元線性回歸分析；若要分析滿意度與多個因素（包括年限和收入）的綜合關(guān)系，可運用多元線性回歸分析。原理與步驟：1.相關(guān)分析：計算相關(guān)系數(shù)，進行假設(shè)檢驗判斷相關(guān)性是否顯著，解釋相關(guān)系數(shù)的值（-1到1之間）代表關(guān)系的方向和強度。2.回歸分析（簡單或多元）：建立回歸模型Y=a+bX+ε，其中Y是因變量（滿意度），X是自變量（年限或收入），a是截距，b是斜率（系數(shù)），ε是誤差項。通過最小二乘法估計參數(shù)a和b，進行模型檢驗（如F檢驗、t檢驗、R方檢驗）判斷模型的整體顯著性、系數(shù)的顯著性以及模型的解釋力。最后利用模型進行預(yù)測或解釋。第二題點估計值：方案A平均銷售量=(120+135+142+131)/4=132.75件方案B平均銷售量=(115+128+140+123)/4=126.5件置信區(qū)間計算：1.計算合并方差s_p^2=[(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2]/(n_A+n_B-2)s_A^2=[(120-132.75)^2+...+(131-132.75)^2]/3=431.25s_B^2=[(115-126.5)^2+...+(123-126.5)^2]/3=234.67s_p^2=(3*431.25+3*234.67)/6=348.08s_p=18.662.計算標準誤SE=s_p*sqrt[(1/n_A)+(1/n_B)]=18.66*sqrt[(1/4)+(1/4)]=26.503.t值：自由度df=n_A+n_B-2=8，查t表得t_(0.025,8)=2.3064.置信區(qū)間：(bar(X_A)-bar(X_B))±t*SE=(132.75-126.5)±2.306*26.50=6.25±60.89置信區(qū)間為(-54.64,67.14)元。判斷：由于置信區(qū)間包含0，不能拒絕兩種方案平均銷售量無差異的零假設(shè)，認為現(xiàn)有證據(jù)不支持方案A銷售量顯著高于方案B。第三題回歸方程：1.計算回歸系數(shù)b=r*(s_Y/s_X)=0.65*(600/45)=9.002.計算截距a=bar(Y)-b*bar(X)=2500-9.00*720=3883.回歸方程為：預(yù)測使用額=388+9.00*信用評分回歸系數(shù)含義：信用評分每增加1分，預(yù)計月信用卡使用額將增加9.00元，假設(shè)其他因素不變。預(yù)測與不確定性：1.預(yù)測值：Y_hat=388+9.00*750=7438元2.標準誤差SE_hat=s_Y*sqrt[1/n+(X_new-bar(X))^2/sum(X_i-bar(X))^2]sum(X_i-bar(X))^2=n*s_X^2=30*45^2=60750SE_hat=600*sqrt[1/30+(750-720)^2/60750]=600*sqrt[1/30+30^2/60750]=600*sqrt[1/30+1/65]=600*sqrt[13/390]≈19.49預(yù)測的不確定性由標準誤差SE_hat衡量，即預(yù)測值7438元的不確定性約為19.49元。第四題方法：進行單樣本t檢驗。原理：檢驗樣本均值（448克）與規(guī)定標準（450克）是否存在顯著差異。假設(shè)總體均值μ_0=450克，計算樣本均值與總體均值的差值在抽樣誤差范圍內(nèi)的概率。檢驗統(tǒng)計量：t=(bar(X)-μ_0)/(s/sqrt(n))=(448-450)/(5/sqrt(25))=-2.00判斷依據(jù)：比較計算得到的t值（-2.00）與t分布臨界值（自由度df=n-1=24，α/2=0.025雙側(cè)檢驗）。查找t表得t_(0.025,24)≈2.064。由于|t|=2.00<2.064，不能拒絕原假設(shè)（μ=450）。或者計算p值，p>2*P(T>2.00|df=24)>2*0.025=0.05。由于p>0.05，不能拒絕原假設(shè)。結(jié)論：在95%置信水平下，沒有足夠證據(jù)認為生產(chǎn)過程存在凈重不足的問題。第五題方法：進行卡方獨立性檢驗。原理：檢驗兩個分類變量（購買狀態(tài)、年齡段）之間是否相互關(guān)聯(lián)。零假設(shè)H0：購買狀態(tài)與年齡段獨立；備擇假設(shè)H1：購買狀態(tài)與年齡段不獨立。通過比較觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)（在H0成立下的理論頻數(shù)）的差異來判斷。檢驗統(tǒng)計量：χ^2=Σ[(O_i-E_i)^2/E_i]，其中O_i是第i個格的觀察頻數(shù)，E_i是第i個格的期望頻數(shù)，計算公式為E_i=(行總和*列總和)/總樣本量。計算所有單元格的(Chi-Square)值之和。判斷依據(jù)：比較計算得到的χ^2值與χ^2分布臨界值（自由度df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)，α=0.05）。若χ^2>臨界值，則拒絕H0。（無需具體計算）第六題利用線性趨勢模型：1.預(yù)測區(qū)間公式：預(yù)測值±(t*SE)或預(yù)測值±(t*s_y_hat)，其中SE或s_y_hat是預(yù)測標準誤差。2.預(yù)測標準誤差SE或s_y_hat的估計通常涉及趨勢斜率、時間序列數(shù)據(jù)自身的方差（如月度環(huán)比增長率的標準差0.08）以及預(yù)測期的長度。公式