2024-2025學(xué)年廣東省揭陽市惠來縣第一中學(xué)高二下學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué)試題一、單選題(★★)1.已知，則實數(shù)的值為（）

A．0B．1C．D．(★★)2.已知（i為虛數(shù)單位），則（）

A．B．C．D．(★★)3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為

A．B．C．D．(★★)4.在四棱錐中，，，，則該四棱錐的高為（）

A．B．C．D．(★★)5.小明和小紅去看《哪吒2》，小明想坐第六排，小紅想坐第五排，買票時發(fā)現(xiàn)第六排還有5個位置，第五排還有9個位置，請問他們看電影的座位有（）種不同選法.

A．14B．30C．45D．54(★★)6.某研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，由雙曲線的兩漸近線所成的角可求離心率的大小，聯(lián)想到反比例函數(shù)的圖象也是雙曲線，據(jù)此可進一步推斷雙曲線的離心率為（）

A．B．2C．D．5(★★★)7.已知函數(shù)（），若是函數(shù)的一條對稱軸，且，則所在的直線為

A．B．C．D．(★★★)8.人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團隊決定用AI對抗“AI”，研究了深度鑒偽技術(shù)來甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準確率是0.96，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；該鑒偽技術(shù)的誤報率是0.02，即在該視頻是真實的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性約為（）

A．B．C．D．二、多選題(★★★)9.在一個只有一條環(huán)形道路的小鎮(zhèn)上，有一家酒館，一個酒鬼家住在，其相對位置關(guān)系如圖所示.小鎮(zhèn)的環(huán)形道路可以視為8段小路，每段小路需要步行3分鐘時間.某天晚上酒鬼從酒館喝完酒后離開，因為醉酒，所以酒鬼在每段小路的起點都等可能的選擇順時針或者逆時針的走完這段小路.下述結(jié)論正確的是（）

A．若酒鬼經(jīng)過家門口時認得家門，那么酒鬼在10分鐘或10分鐘以內(nèi)到家的概率為B．若酒鬼經(jīng)過家門口時認得家門，那么酒鬼在15分鐘或15分鐘以內(nèi)到家的概率為C．若酒鬼經(jīng)過家門口也不會停下來，那么酒鬼步行15分鐘后恰好停在家門口的概率為D．若酒鬼經(jīng)過家門口也不會停下來，那么酒鬼步行21分鐘后恰好停在家門口的概率為(★★★)10.已知圓，直線，則（）

A．直線恒過定點B．當(dāng)時，圓上恰有三個點到直線的距離等于1C．直線與圓可能相切D．若圓與圓恰有三條公切線，則(★★★)11.若函數(shù)是定義在上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對任意的均滿足：，，記，則（）

A．B．是偶函數(shù)C．D．三、填空題(★)12.已知隨機變量，則__________．(★★★)13.已知的展開式的各項系數(shù)之和為，則展開式中有理項共有_____項．(★★★★)14.“三門問題”（MontyHallproblem）亦稱為蒙提霍爾問題?蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論，大致出自八九十年代美國的電視游戲節(jié)目Let'sMakeaDeal.問題名字來自該節(jié)目的主持人蒙提?霍爾（MontyHall）.參賽者會看見三扇關(guān)閉了的門，其中一扇的后面有一輛跑車，選中后面有車的那扇門可贏得該跑車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊.當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后會問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門.問題是：換另一扇門是否會增加參賽者贏得跑車的概率.如果嚴格按照上述的條件，那么答案是______（填“會”或者“不會”）.換門的話，贏得跑車的概率是______.四、解答題(★★)15.已知等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前項和.(★★★)16.一個袋子中有4個紅球，個綠球，已知取出的2個球都是紅球的概率為．(1)求的值：(2)從中依次隨機地摸出4個球作為樣本，設(shè)采用有放回摸球和不放回摸球得到的樣本中綠球的個數(shù)分別為．（i）求的數(shù)學(xué)期望和方差；（ii）分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中綠球的比例估計總體中綠球的比例，求誤差的絕對值不超過0.2的概率，并比較所求兩概率的大小，說明其實際含義．(★★★)17.如圖，在中，點在邊上，且，為邊的中點.是平面外的一點，且有.(1)證明：；(2)已知，，，直線與平面所成角的正弦值為.（i）求的面積；（ii）求三棱錐的體積.(★★★)18.已知函數(shù)，滿足.(1)求實數(shù)的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.(3)方程無實數(shù)根，求實數(shù)的范圍.(★★★★)19.若隨機變量X，Y均為定義在同一樣本空間上的離散型隨機變量，則將稱為二維離散型隨機變量，將取值為的概率記作，其中.甲、乙兩人進行足球點球比賽，約定如下：甲、乙各點一次球，點球者進球得1分，不進球得分，分數(shù)高者獲勝，比賽結(jié)束.若平局，甲、乙再通過抽簽決定誰點球，且甲、乙抽中簽的概率均為，抽中簽者點球，進球得1分，