幻燈片1：封面第一章

有理數(shù)

章末復習學科：數(shù)學年級：七年級復習目標：系統(tǒng)梳理有理數(shù)知識，掌握核心概念與運算，提升綜合應用能力幻燈片2：知識框架總覽本章知識圍繞“有理數(shù)”展開，核心分為三大模塊：

幻燈片3：模塊一——有理數(shù)的概念與分類一、核心定義有理數(shù)：整數(shù)（正整數(shù)、0、負整數(shù)）和分數(shù)（正分數(shù)、負分數(shù)）統(tǒng)稱為有理數(shù)，即可以表示為\(\frac{p}{q}\)（\(p\)、\(q\)為整數(shù)，\(q≠0\)）的數(shù)。注意：無限不循環(huán)小數(shù)（如\(π\(zhòng))）不是有理數(shù)。二、分類方式按“正負性”分類：有理數(shù){正有理數(shù){正整數(shù)（如1,2,3…）；正分數(shù)（如$\frac{1}{2}$,3.5…）}；0（既不是正數(shù)，也不是負數(shù)）；

負有理數(shù){負整數(shù)（如-1,-2,-3…）；負分數(shù)（如$-\frac{1}{2}$,-2.8…）}}按“定義”分類：有理數(shù){整數(shù){正整數(shù)；0；負整數(shù)}；

分數(shù){正分數(shù)；負分數(shù)}}三、典型例題例1：判斷下列數(shù)是否為有理數(shù)，并分類：\(3\)、\(-0.5\)、\(π\(zhòng))、\(\frac{2}{3}\)、\(-7\)、\(0\)、\(\sqrt{2}\)。有理數(shù)：\(3\)（正整數(shù)）、\(-0.5\)（負分數(shù)）、\(\frac{2}{3}\)（正分數(shù)）、\(-7\)（負整數(shù)）、\(0\)（整數(shù)）；非有理數(shù)：\(π\(zhòng))（無限不循環(huán)小數(shù)）、\(\sqrt{2}\)（無限不循環(huán)小數(shù)）?；脽羝?：模塊二——有理數(shù)的相關概念一、數(shù)軸定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（三要素缺一不可）。作用：直觀表示有理數(shù)（數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應）；比較有理數(shù)大?。〝?shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）。畫法：先畫直線，定原點（通常在中間），標正方向（向右為正），定單位長度（統(tǒng)一尺度，如1cm代表1）。二、相反數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)（0的相反數(shù)是0）。符號表示：若數(shù)\(a\)的相反數(shù)為\(-a\)（如\(3\)的相反數(shù)是\(-3\)，\(-5\)的相反數(shù)是\(5\)）。性質：互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為0（\(a+(-a)=0\)）。三、絕對值定義：數(shù)軸上表示數(shù)\(a\)的點與原點的距離叫做數(shù)\(a\)的絕對值，記作\(|a|\)。性質：正數(shù)的絕對值是它本身（若\(a>0\)，則\(|a|=a\)）；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)（若\(a<0\)，則\(|a|=-a\)）；0的絕對值是0（\(|0|=0\)）；絕對值具有非負性（\(|a|≥0\)，即絕對值不可能為負數(shù)）。四、倒數(shù)定義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)（0沒有倒數(shù)，因為0乘任何數(shù)都為0）。符號表示：若數(shù)\(a\)（\(a≠0\)）的倒數(shù)為\(\frac{1}{a}\)（如\(2\)的倒數(shù)是\(\frac{1}{2}\)，\(-3\)的倒數(shù)是\(-\frac{1}{3}\)）。性質：互為倒數(shù)的兩個數(shù)積為1（\(a×\frac{1}{a}=1\)，\(a≠0\)）。五、典型例題例2：已知\(|x|=5\)，\(y\)的相反數(shù)是\(-3\)，求\(x+y\)的值。解：由\(|x|=5\)得\(x=5\)或\(x=-5\)；由\(y\)的相反數(shù)是\(-3\)得\(y=3\)；當\(x=5\)時，\(x+y=5+3=8\)；當\(x=-5\)時，\(x+y=-5+3=-2\)；綜上，\(x+y\)的值為\(8\)或\(-2\)?；脽羝?：模塊三——有理數(shù)的運算（一）：加減運算一、有理數(shù)的加法法則（核心：先定符號，再算絕對值）：同號兩數(shù)相加：取相同的符號，把絕對值相加（如\(3+2=5\)，\(-3+(-2)=-5\)）；異號兩數(shù)相加：取絕對值較大的符號，用較大的絕對值減去較小的絕對值（如\(3+(-2)=1\)，\(-3+2=-1\)）；一個數(shù)與0相加：仍得這個數(shù)（如\(0+(-5)=-5\)）。運算律：加法交換律：\(a+b=b+a\)；加法結合律：\((a+b)+c=a+(b+c)\)（湊整優(yōu)先，如\((-2)+5+2=(-2+2)+5=5\)）。二、有理數(shù)的減法法則（轉化為加法）：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即\(a-b=a+(-b)\)。示例：\(5-3=5+(-3)=2\)，\(-5-(-3)=-5+3=-2\)。注意：減法無交換律和結合律，需先轉化為加法再運用運算律。三、典型例題例3：計算：\((-8)+10+2+(-1)\)；\((-3)-5+(-4)-(-10)\)。解：①\((-8)+10+2+(-1)=[(-8)+(-1)]+(10+2)=-9+12=3\)；②\((-3)-5+(-4)-(-10)=(-3)+(-5)+(-4)+10=(-12)+10=-2\)?；脽羝?：模塊三——有理數(shù)的運算（二）：乘除與乘方一、有理數(shù)的乘法法則（核心：先定符號，再算絕對值）：同號得正，異號得負，絕對值相乘（如\(3×2=6\)，\(-3×(-2)=6\)，\(-3×2=-6\)）；任何數(shù)與0相乘得0（如\(0×(-5)=0\)）。運算律：乘法交換律：\(a×b=b×a\)；乘法結合律：\((a×b)×c=a×(b×c)\)；乘法分配律：\(a×(b+c)=a×b+a×c\)（簡化計算，如\(-2×(3+5)=-2×3+(-2)×5=-6-10=-16\)）。二、有理數(shù)的除法法則（轉化為乘法）：除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即\(a÷b=a×\frac{1}\)（\(b≠0\)）。符號規(guī)則：同號得正，異號得負，絕對值相除（如\(6÷2=3\)，\(-6÷(-2)=3\)，\(-6÷2=-3\)）；0除以任何不為0的數(shù)得0（\(0÷5=0\)），0不能作除數(shù)。三、有理數(shù)的乘方定義：求\(n\)個相同因數(shù)\(a\)的積的運算叫做乘方，記作\(a^n\)（\(a\)叫底數(shù)，\(n\)叫指數(shù)，\(a^n\)讀作“\(a\)的\(n\)次冪”或“\(a\)的\(n\)次方”）。示例：\(2^3=2×2×2=8\)（底數(shù)2，指數(shù)3），\((-3)^2=(-3)×(-3)=9\)（底數(shù)-3，指數(shù)2）。注意：負數(shù)的奇次冪為負，負數(shù)的偶次冪為正（如\((-2)^3=-8\)，\((-2)^4=16\)）；正數(shù)的任何次冪為正，0的任何正次冪為0（如\(0^5=0\)）；區(qū)分\(-a^n\)與\((-a)^n\)（如\(-2^2=-4\)，\((-2)^2=4\)）。四、典型例題例4：計算：\((-4)×5×(-0.25)\)；\((-6)÷(-\frac{1}{2})×2\)；\((-2)^3+3×(-1)^2\)。解：①\((-4)×5×(-0.25)=[(-4)×(-0.25)]×5=1×5=5\)；②\((-6)÷(-\frac{1}{2})×2=(-6)×(-2)×2=24\)；③\((-2)^3+3×(-1)^2=-8+3×1=-8+3=-5\)?；脽羝?：模塊四——有理數(shù)的混合運算一、運算順序（核心：先高級運算，再低級運算；有括號先算括號內(nèi)）先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算（乘除或加減），從左到右依次進行；如有括號，先算小括號內(nèi)，再算中括號內(nèi)，最后算大括號內(nèi)。二、典型例題例5：計算：\(12-(-8)÷(-4)+(-3)^2×2\)；\([-2^2+(5-7)^3]÷(-2)\)。解：①\(12-(-8)÷(-4)+(-3)^2×2=12-2+9×2=12-2+18=28\)；②\([-2^2+(5-7)^3]÷(-2)=[-4+(-2)^3]÷(-2)=[-4+(-8)]÷(-2)=(-12)÷(-2)=6\)?；脽羝?：模塊五——有理數(shù)的實際應用一、常見場景溫度變化（如某地氣溫從\(-3℃\)上升\(5℃\)后，溫度為\(-3+5=2℃\)）；海拔高度（如海平面以上記為正，海平面以下記為負，某山海拔\(2000m\)，某海溝海拔\(-10000m\)，兩者高度差為\(2000-(-10000)=12000m\)）；資金收支（如收入記為正，支出記為負，本月收入\(5000\)元，支出\(3000\)元，結余為\(5000+(-3000)=2000\)元）；數(shù)軸上兩點距離（如數(shù)軸上點\(A\)表示\(-2\)，點\(B\)表示\(3\)，則\(AB\)距離為\(|3-(-2)|=5\)）。二、典型例題例6：小明在東西方向的馬路上散步，向東為正，向西為負，他的行走記錄如下（單位：米）：\(+5\)，\(-3\)，\(+10\)，\(-8\)，\(-6\)，\(+12\)，\(-10\)。（1）小明最后是否回到出發(fā)點？（2）小明離出發(fā)點最遠是多少米？解：（1）總路程和：\(5-3+10-8-6+12-10=(5+10+12)+(-3-8-6-10)=27-27=0\)，回到出發(fā)點；（2）各點距離出發(fā)點：\(5\)、\(5-3=2\)、\(2+10=12\)、\(12-8=4\)、\(4-6=-2\)（距離2）、\(-2+12=10\)、\(10-10=0\)，最遠是\(12\)米?；脽羝?：易錯點總結概念混淆：誤將“非正數(shù)”等同于“負數(shù)”（忽略0，非正數(shù)包括0和負數(shù)）；混淆“相反數(shù)”與“倒數(shù)”（相反數(shù)和為0，倒數(shù)積為1）。運算符號錯誤：異號兩數(shù)相加，符號判斷錯誤（如\(-3+2=-1\)，而非\(1\)）；負號的乘方運算錯誤（如\(-2^2=-4\)，而非\(4\)；\((-2)^2=4\)，而非\(-4\)）。運算順序錯誤：混合運算中先算加減再算乘除（如\(2+3×4=14\)，而非\(20\)）；忽略括號優(yōu)先級（如\(2×(3+4)=14\)，而非\(10\)）。絕對值應用錯誤：忽略絕對值的非負性（如\(|x|=-2\)無解，因為絕對值不可能為負）。幻燈片10：課堂總結與達標檢測一、總結核心脈絡：有理數(shù)的概念（定義、分類）→

相關概念（數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)）→

運算（加減、乘除、乘方、混合運算）→

實際應用；關鍵思想：轉化思想（減法轉加法、除法轉乘法）、分類討論思想（如絕對值問題中對\(a\)正負的討論）。二、達標檢測（基礎題）填空：①\(-2\)的相反數(shù)是___，絕對值是___，倒數(shù)是___；（答案：\(2\)，\(2\)，\(-\frac{1}{2}\)）②計算：\((-3)×(-4)-(-2)^3=\)___；（答案：\(12-(-8)=20\)）選擇：①下列數(shù)中，不是有理數(shù)的是（

）A.\(-3\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(π\(zhòng))D.\(0\)；（答案：C）②若\(|a|=|b|\)，則\(a\)與\(b\)的關系是（

）A.\(a=b\)B.\(a=-b\)C.\(a=b\)或\(a=-b\)D.無關系；（答案：C）計算：\((-1)^4+(1-\frac{1}{2})÷3×(2-2^3)\)；（答案：$1+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×【2024新教材】人教版數(shù)學

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章末復習第一章

有理數(shù)aiTujmiaNg知識梳理正數(shù)和負數(shù)有理數(shù)數(shù)軸相反數(shù)絕對值有理數(shù)的大小比較數(shù)與點的對應本章知識結構圖知識梳理

1.正數(shù)和負數(shù)知識梳理

隨堂練習

-2，-25.8，-4，-36.765%隨堂練習2.填空題（1）如果溫度上升3℃記作+3℃，那么下降2℃記作_____℃.

（2）如果收入用正數(shù)表示，支出用負數(shù)表示，那么-56元表示_______________.-2支出56元知識梳理2.有理數(shù)及其分類（1）有理數(shù)：把可以寫成分數(shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù).（2）有理數(shù)的分類：①按定義來分；②按性質符號分.根據(jù)有理數(shù)的定義分類.知識梳理正整數(shù)負整數(shù)負分數(shù)正分數(shù)0有理數(shù)整數(shù)分數(shù)自然數(shù)知識梳理0有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分數(shù)負有理數(shù)負整數(shù)負分數(shù)根據(jù)有理數(shù)的性質符號分類.隨堂練習3.下列說法正確的是（

）

A.正數(shù)、0、負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)B.可以寫成分數(shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)

C.正有理數(shù)、負有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D.以上都不對B隨堂練習4.-a

一定是（

）

A.正數(shù) B.負數(shù)C.正數(shù)或負數(shù) D.正數(shù)或0或負數(shù)D隨堂練習

C

0，10

正整數(shù)+0負數(shù)+0隨堂練習知識梳理3.數(shù)軸（1）數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸.（2）數(shù)軸的畫法：01234-4-3-2-1數(shù)軸的三要素①畫直線，標原點；②標正方向；③選取單位長度，標數(shù).知識梳理（3）在數(shù)軸上表示有理數(shù).畫出數(shù)軸并表示出下列有理數(shù).

01234-4-3-2-12-3.5

3.5知識梳理（4）數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關系：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù)（舉例說明）.0d=1

7.在數(shù)軸上表示下列各數(shù)、并將這些數(shù)按從小到大的順序排列，再用“<”連接起來.3，-4，0，2，-2，-1隨堂練習01234-4-3-2-1-13-402-2-13-402-2<<<<<知識梳理（1）相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù),互為相反數(shù)；（2）相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上位于原點兩側并且到原點距離相等的兩個點所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù).（3）多重符號的化簡：奇負偶正.4.相反數(shù)0-aa隨堂練習

8.-（+5）表示_________的相反數(shù)，即-（+5）=_________；-（-5）表示_________的相反數(shù)，即-（-5）=_________.

5-52-55

0隨堂練習

68

-3-0.75-3.86

隨堂練習-3+4<+(-3)<

-(-4)+2-2>-(-2)>-|+2|35<+|-3|<|-(+5)|

<

知識梳理（1）一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫作數(shù)a的絕對值，記作|a|，讀作“a的絕對值”.（2）絕對值的性質（非負性）.一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.即：①如果a>0，那么?a?=a；

②如果a=0，那么?a?=0；

③如果a<0，那么?a?=-a.5.絕對值隨堂練習12.

-8的絕對值是_______，記做_______.13.絕對值等于5的數(shù)有_________.14.若︱a︱=a,則

a的范圍______.15.如果x<y<0,那么|x|______|y|.16.|x-1|=3，則x＝__________.8|8|±5a≥0＞4或-2隨堂練習17.有理數(shù)