湘教版·數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)授課老師：王老師十字相乘法與分組分解法第1章因式分解整式乘法

因式分解

一個(gè)多項(xiàng)式

幾個(gè)整式的積1.多項(xiàng)式的因式分解和乘法運(yùn)算的關(guān)系是？2.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些因式分解的方法？互逆的變形過程①提公因式法：②公式法：pa+

pb+

pc=p(a+b+c)1.a2

－

b2

=(a+b)(a－

b)2.a2±2ab+b2

=(a±b)2

復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.計(jì)算：(1)(x+2)(x+3)=___________；

(2)(x+1)(x－4)=___________；(3)(x+4)(x－2)=___________；2.根據(jù)題1和等式的性質(zhì)填空：(1)x2+5x+6=______________；(2)x2－3x－4=______________；

(3)x2+2x－8=_______________；x2+5x+6x2－3x－4x2+2x－8(x+2)(x+3)(x+1)(x－4)(x+4)(x－2)新知探究仔細(xì)觀察等式兩邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)一次項(xiàng)的系數(shù)分解因式x2+5x+665(x+2)(x+3)

x2－3x－4－4

－3

(x+1)(x－4)x2+2x－8－82(x+4)(x－2)x2+(p+q)x+pq=規(guī)律(x+p)(x+q).2×32+31×(－4)1+(－4)4×(－2)4+(－2)可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解.多項(xiàng)式

x2+5x+6分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：x2+5x+6③然后交叉相乘并求和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù).＝(x+2)(x+3)①先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；②再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；11231×3+1×2＝5適用于任意二次多項(xiàng)式上述步驟用于分解二次多項(xiàng)式ax2+bx+c的具體過程：這種把二次多項(xiàng)式因式分解的方法叫作十字相乘法.①

畫一個(gè)十字交叉線，使得左邊兩個(gè)數(shù)

d，e的乘積等于二次項(xiàng)系數(shù)

a，②

右邊兩個(gè)數(shù)

m，n

的乘積等于常數(shù)項(xiàng)

c，③

交叉數(shù)的乘積之和

dn+em等于一次項(xiàng)系數(shù)b，demnde=aax2+bx+c

=(dx+m)(ex+n)mn=cdn+em=b例1

把多項(xiàng)式x2－5x+6因式分解.解：如圖，左邊兩個(gè)數(shù)為1，1，它們的乘積等于二次項(xiàng)系數(shù)1，右邊兩個(gè)數(shù)為－2，－3，它們的乘積等于常數(shù)項(xiàng)6，交叉數(shù)的乘積之和為1×(－3)+1×(－2)＝－5，它是一次項(xiàng)的系數(shù)，因此x2－5x+6＝(x－2)(x－3)11－2－3典例精析例2

把多項(xiàng)式10x2+23x+12因式分解.解：如圖，在十字交叉線的左上角和左下角分別寫2，5，右上角和右下角分別寫3，4，253410x2+23x+12＝(2x+3)(5x+4)左邊兩個(gè)數(shù)的乘積等于二次項(xiàng)系數(shù)10，右邊兩個(gè)數(shù)的乘積等于常數(shù)項(xiàng)12，交叉數(shù)的乘積之和為2×4+5×3＝23，它是一次項(xiàng)的系數(shù)，1.把下列多項(xiàng)式因式分解：(1)

x2－4x－5；

解：如圖，左邊兩個(gè)數(shù)為1，1，它們的乘積等于二次項(xiàng)系數(shù)1，右邊兩個(gè)數(shù)為1，－5，它們的乘積等于常數(shù)項(xiàng)－5，交叉數(shù)的乘積之和為1×1+1×(－5)＝－4，它是一次項(xiàng)的系數(shù)，因此x2－4x－5＝(x+1)(x－5)111－5練習(xí)【選自教材P15

練習(xí)】

(2)6x2+7x+2.

解：如圖，在十字交叉線的左上角和左下角分別寫2，3，右上角和右下角分別寫1，2，2312

6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2).左邊兩個(gè)數(shù)的乘積等于二次項(xiàng)系數(shù)6，右邊兩個(gè)數(shù)的乘積等于常數(shù)項(xiàng)2，交叉數(shù)的乘積之和為2×2+3×1＝7，它是一次項(xiàng)的系數(shù)，例3

把多項(xiàng)式

x3－x2－x+1因式分解.分析

x3－x2－x+1既不能直接使用提公因式法或公式法進(jìn)行因式分解，也不能運(yùn)用十字相乘法.但若將其恰當(dāng)分組，如分為x3－x2與－x+1兩組，則可繼續(xù)進(jìn)行因式分解.解：x3－x2－x+1=(x3－x2)－(x－1)=x2(x－1)－(x－1)=(x－1)(x2－1)=(x－1)(x+1)(x－1)=(x+1)(x－1)2.利用分組來分解因式的方法叫作分組分解法.分組后再用公式法

把下列多項(xiàng)式因式分解：(1)x2－y2－3x－3y；

解：原式=(x2－y2)－(3x+3y)=(x－y)(x+y)－3(x+y)=(x+y)(x－y－3)(2)x2－10x+25－y2.原式=(x2－10x+25)－y2=(x－5)2－y2=(x－5+y)(x－5－y).練習(xí)【選自教材P15

練習(xí)】1.下列因式分解正確的是()A.x3－4x=x(x2－4)B.x2－x－2=(x+1)(x－2)

C.x2+2x－1=(x－1)2D.x2－2x+1=x(x－2)+1

2.把多項(xiàng)式

x2+mx－5

因式分解成(x+5)(x－n)，則m

的值為().A.m=4B.m=3C.m=6

D.m=5

BA隨堂練習(xí)3.因式分解：(1)

2x2+6xy+4y2；(2)－3a2+18a－24；

(3)2x2－x－10.解：(1)原式=2(x2+3xy+2y2)=2(x+y)(x+2y).(2)原式=－3(a2－6a+8)

=－3(a－2)(a－4).(3)原式=(x+2)(2x－5)

4.分解因式：3ax+4by+4ay+3bx.解：原式=(3ax+3bx)+(4by+4ay)=3x(a+b)+4y(a+b)=(a+b)(3x+4y)十字相乘法與分組分解法