#群論基礎(chǔ)試題及答案###單項選擇題（每題2分，共50題）1.群的定義中必須包含的性質(zhì)是（）A.封閉性、結(jié)合律、交換律、單位元B.封閉性、結(jié)合律、單位元、每個元素有逆元C.封閉性、分配律、單位元、逆元D.結(jié)合律、交換律、單位元、零元存在（答案：B）2.整數(shù)加群\((\mathbb{Z},+)\)的單位元是（）A.1

B.0

C.-1D.任意整數(shù)（答案：B）3.設(shè)\(G\)是群，\(a,b\inG\)，則\((ab)^{-1}\)等于（）A.\(a^{-1}b^{-1}\)

B.\(b^{-1}a^{-1}\)

C.\(ab\)D.\(a^{-1}b\)（答案：B）4.群\(G\)中元素\(a\)的階為\(n\)，則\(a^n\)等于（）A.\(a\)B.\(e\)（單位元）C.\(a^{-1}\)D.\(n\)倍\(a\)（答案：B）5.若群\(G\)的階為\(15\)，則\(G\)中元素的階可能是（）A.3

B.4

C.6

D.7（答案：A）6.以下哪個集合關(guān)于普通乘法構(gòu)成群（）A.全體正整數(shù)B.全體非零整數(shù)C.全體非零有理數(shù)D.全體實數(shù)（答案：C）7.群\(G\)中，若\(a^3=e\)，則\(a\)的階是（）A.1

B.2

C.3

D.6（答案：C）8.設(shè)\(H\)是群\(G\)的子群，\(a\inG\)，則\(aH\)稱為（）A.右陪集B.左陪集C.共軛類D.正規(guī)子群（答案：B）9.群\(G\)的中心\(Z(G)\)是（）A.\(G\)的所有元素B.與\(G\)中所有元素可交換的元素集合C.\(G\)的子群的集合D.\(G\)的生成元集合（答案：B）10.若群\(G\)是循環(huán)群，生成元為\(a\)，則\(G\)的元素可表示為（）A.\(a^n\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）B.\(na\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）C.\(a+n\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）D.\(n\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）（答案：A）11.群論中的單位元是指（）A.群中最大的元素B.群中最小的元素C.群中與任何元素運算后都不變的元素D.群中不存在的元素（答案：C）12.群論中的逆元素是指（）A.與任何元素運算后都不變的元素B.與單位元運算后都不變的元素C.與自身運算后得到單位元的元素D.與任何元素運算后都得到單位元的元素（答案：C）13.群論中的交換群是指（）A.群中所有元素都是單位元B.群中所有元素都沒有逆元素C.群中任意兩個元素的運算滿足交換律D.群中任意兩個元素的運算不滿足交換律（答案：C）14.群論中的正規(guī)子群是指（）A.群中任意元素的子集B.群中所有元素的子集C.群中滿足特定條件的子集（對于任意\(g\inG\)，\(gH=Hg\)）D.群中所有元素的集合（答案：C）15.群論中的商群是指（）A.群中所有元素的集合B.群中所有元素的子集C.群中所有元素的運算結(jié)果的集合D.群與其正規(guī)子群的運算結(jié)果的集合（陪集構(gòu)成的群）（答案：D）16.群論中的同構(gòu)是指（）A.兩個群的元素完全相同B.兩個群的運算完全相同C.兩個群之間存在雙射映射，且保持群運算D.兩個群之間存在單射映射，且保持群運算（答案：C）17.群論中的同態(tài)是指（）A.兩個群的元素完全相同B.兩個群的運算完全相同C.兩個群之間存在映射，且保持群運算D.兩個群之間存在映射，但不保持群運算（答案：C）18.有限群\(G\)的階為\(20\)，子群\(H\)的階為\(5\)，則\(H\)在\(G\)中的指數(shù)\([G:H]\)為（）A.4

B.5

C.20

D.1（答案：A）19.群\(G\)中元素\(a\)的階為\(4\)，則\(a^2\)的階為（）A.1

B.2

C.4

D.8（答案：B）20.設(shè)\(G\)是群，\(a\inG\)，若\(a\)的階為\(6\)，則方程\(x^2=a\)在\(G\)中的解的個數(shù)可能為（）A.0

B.1

C.2

D.6（答案：A）21.以下哪個群是循環(huán)群（）A.4階克萊因四元群B.3階循環(huán)群\(\langlea\rangle\)（\(a^3=e\)）C.6階對稱群\(S_3\)D.8階四元數(shù)群（答案：B）22.群\(G\)的子群\(H\)滿足\(|H|=|G|/2\)，則（）A.\(H\)一定是\(G\)的正規(guī)子群B.\(H\)一定不是\(G\)的正規(guī)子群C.\(H\)可能是也可能不是\(G\)的正規(guī)子群D.\(G\)中不存在這樣的子群（答案：A）23.設(shè)\(G\)是群，\(a,b\inG\)，若\(ab=ba\)，則稱\(a\)和\(b\)（）A.互為逆元B.可交換C.共軛D.無關(guān)（答案：B）24.群\(G\)中，若\(a\)和\(b\)共軛，則存在\(g\inG\)，使得（）A.\(a=b\)B.\(a=gbg^{-1}\)

C.\(a=gb\)D.\(a=bg\)（答案：B）25.整數(shù)模\(n\)群\((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)\)的階為（）A.\(n\)B.\(n-1\)C.無限D(zhuǎn).取決于\(n\)的取值（答案：A）26.群\(G\)中，若\(|G|=p\)（\(p\)為素數(shù)），則\(G\)（）A.一定是循環(huán)群B.一定不是循環(huán)群C.可能是也可能不是循環(huán)群D.不存在這樣的群（答案：A）27.設(shè)\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的子群，若\(|G|=12\)，\(|H|=3\)，則\(H\)在\(G\)中的陪集個數(shù)為（）A.3

B.4C.12D.1（答案：B）28.群\(G\)中元素\(a\)的階為\(5\)，則\(a^{10}\)等于（）A.\(a\)B.\(e\)C.\(a^{-1}\)

D.\(a^2\)（答案：B）29.以下哪個運算不滿足群的封閉性（）A.整數(shù)加法B.非零有理數(shù)乘法C.矩陣乘法（限定可逆矩陣）D.整數(shù)減法（答案：D）30.群\(G\)中，若\(a\)的階為\(m\)，\(b\)的階為\(n\)，且\(ab=ba\)，則\(ab\)的階（）A.一定為\(mn\)B.一定為\(\text{lcm}(m,n)\)（最小公倍數(shù)）C.整除\(\text{lcm}(m,n)\)D.無法確定（答案：C）31.設(shè)\(G\)是群，\(a\inG\)，若\(a\)的階為無限，則（）A.存在正整數(shù)\(n\)使得\(a^n=e\)B.不存在正整數(shù)\(n\)使得\(a^n=e\)C.\(a\)的逆元階也為無限D(zhuǎn).以上都不對（答案：B）32.群\(G\)的子群\(H\)是正規(guī)子群的充要條件是（）A.對于任意\(g\inG\)，\(gH=Hg\)B.\(H\)是\(G\)的最大子群C.\(H\)包含\(G\)的所有元素D.\(H\)只包含單位元（答案：A）33.群\(G\)中，若\(|G|=8\)，則\(G\)的子群階數(shù)可能為（）A.1,2,4,8

B.2,4,6

C.1,3,8

D.2,3,4（答案：A）34.設(shè)\(G\)是群，\(a,b\inG\)，若\((ab)^n=a^nb^n\)對任意整數(shù)\(n\)成立，則（）A.\(G\)是交換群B.\(a\)和\(b\)的階相同C.\(a=b\)D.以上都不對（答案：A）35.群\(G\)中元素\(a\)的階為\(6\)，則\(a^3\)的階為（）A.1

B.2

C.3

D.6（答案：B）36.以下哪個集合關(guān)于給定運算不構(gòu)成群（）A.實數(shù)集關(guān)于加法B.非零實數(shù)集關(guān)于乘法C.整數(shù)集關(guān)于乘法D.平面旋轉(zhuǎn)群關(guān)于旋轉(zhuǎn)合成（答案：C）37.群\(G\)中，若\(a\)的階為\(4\)，\(b\)的階為\(2\)，且\(ab=ba\)，則\((ab)^2\)等于（）A.\(a\)

B.\(b\)

C.\(e\)D.\(a^2\)（答案：C）38.設(shè)\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的子群，若\(|G|=16\)，\(|H|=4\)，則\(H\)在\(G\)中的左陪集個數(shù)為（）A.4B.8C.16

D.1（答案：A）39.群\(G\)中元素\(a\)的階為\(m\)，則\(a^{m-1}\)的階為（）A.1B.\(m\)C.\(m-1\)D.無法確定（答案：B）40.以下關(guān)于群同態(tài)的說法正確的是（）A.群同態(tài)一定保持元素的階B.群同態(tài)的像一定是子群C.群同態(tài)的核一定是正規(guī)子群D.以上都正確（答案：D）41.群\(G\)中，若\(|G|=p^2\)（\(p\)為素數(shù)），則\(G\)（）A.一定是循環(huán)群B.一定不是循環(huán)群C.可能是也可能不是循環(huán)群D.不存在這樣的群（答案：C）42.設(shè)\(G\)是群，\(a\inG\)，若\(a\)的階為\(5\)，則方程\(x^5=e\)在\(G\)中的解的個數(shù)為（）A.1

B.5C.至少5個D.無法確定（答案：B）43.群\(G\)的子群\(H\)是極大子群的充要條件是（）A.\(H\)是\(G\)的最大真子群B.\(H\)包含\(G\)的所有元素C.\(H\)只包含單位元D.\(H\)的階為\(|G|/2\)（答案：A）44.群\(G\)中，若\(a\)的階為\(3\)，\(b\)的階為\(3\)，且\(ab\neqba\)，則\(G\)（）A.一定是交換群B.一定不是交換群C.可能是也可能不是交換群D.不存在這樣的群（答案：B）45.設(shè)