第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式典型例題講解一、基本概念回歸知識(shí)回顧1：作差法比較大小作差法的依據(jù)：①；②；③步驟：(1)作差；(2)變形；（目的：便于判定差的符號(hào)，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定號(hào)；（當(dāng)差的符號(hào)不確定時(shí)，一般需要分類討論）(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)下結(jié)論）知識(shí)回顧2：不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意的符號(hào)（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)知識(shí)回顧3：重要不等式一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.知識(shí)回顧4：基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）（注意：一正，二定，三相等，特別“一正”，“三相等”這兩類陷阱）知識(shí)回顧5：四個(gè)二次的關(guān)系判別式二次函數(shù)(的圖象一元二次方程()的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，()有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根()的解集()的解集知識(shí)回顧6：一元二次不等式的解法1：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；2：寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用十字相乘法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無(wú)解3：根據(jù)不等式，寫出解集.知識(shí)回顧7：分式不等式的解法①移項(xiàng)化零：將分式不等式右邊化為0：②③④⑤重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小1．（1）已知，求證：；（2）已知，且，比較與的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）答案見解析.【詳解】（1)，因?yàn)?，所以，，所以，?(2)．由于，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）試比較下列組式子的大?。?1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．【答案】(1);(2);(3).（1）解：，，因?yàn)?，所以，即；?）解：．因?yàn)椋?，所以，，所以，即；?）方法一（作差法）．因?yàn)椋?，，，．所以，所以．方法二（作商法）因?yàn)?，所以，，，所以，所以．高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值角度1：和為定值求積的最值（角度2：積為定值求和的最值）1．已知正數(shù)a，b滿足，則的最大值為（

）．A． B．1 C．2 D．4【答案】D【詳解】解：當(dāng)，為正實(shí)數(shù)時(shí)，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最大值為4．故選：D．2．已知，，且，，，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】根據(jù)題意，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為1.故選：3．若，則有（

）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故有最大值．故選：D.4．已知，則的最大值為（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】因?yàn)椋钥傻?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取得等號(hào)，的最大值為2．故選：A．5．函數(shù)的最大值是（

）A．6 B．8 C．10 D．18【答案】A【詳解】解：因?yàn)椋运?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是6，故選：A6．已知，則函數(shù)的最大值為_______.【答案】##0.25【詳解】解：由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即最大值為.故答案為：.角度3：湊項(xiàng)（系數(shù)）1．已知，且，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為2.故選：A2．已知，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所?，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為7.故答案為：.3．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域?yàn)開_______．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，則函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.4．（1）已知，則取得最大值時(shí)x的值為？（2）已知，則的最大值為？【答案】（1）；（2）1.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故所求的值為.

（2）因?yàn)?，所以，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．故的最大值為1.角度4：常數(shù)代換法1．已知為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】D【詳解】解：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)且，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故選：D2．若正實(shí)數(shù)x,y滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得正實(shí)數(shù)x,y滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，故選：B．3．已知，，且，則的最小值為（

）A．8 B． C．9 D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，，所以，∴，?dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，則的最小值為9.故選：C4．（多選）已知實(shí)數(shù)，，且，則（

）A．的最小值為18 B．的最小值為64C．的最小值為128 D．的最小值為【答案】ABD【詳解】對(duì)A，由題意，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)B，，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)C，化簡(jiǎn)得，故，故，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，平方有，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故D正確；故選：ABD5．已知正數(shù)a,b滿足，求的取值范圍___________.【答案】【詳解】由題意，正數(shù)a,b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的取值范圍.故答案為：.6．已知，，且，求：的最小值．【答案】18．由，可得，即，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．角度5：消元法1．已知，滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【詳解】由，得，而，則有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為2.故選：D2．已知，，則的最小值為_______．【答案】####【詳解】∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“等號(hào)”，∴的最小值為,故答案為：.角度6：二次與二次（或一次）商式1．已知，求函數(shù)的值域；【答案】；【詳解】設(shè)，因?yàn)?，可得，且，故，因?yàn)椋傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以函數(shù)的值域?yàn)椋?．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．4【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：B．3．）當(dāng)時(shí)，的最大值為__．【答案】##0.75【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝2時(shí)等號(hào)成立.即的最大值為．故答案為：．4．函數(shù)的最小值為______．【答案】7【詳解】令，；則(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)，故函數(shù)，的最小值為故答案為：75．函數(shù)的最小值為___．【答案】【詳解】因?yàn)?，令，則，又因?yàn)?，可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.故答案為：.6．已知，則的最小值為___________.【答案】【詳解】令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的在最小值為.故答案為：.7．求解下列各題：（1）求的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）8.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故y的最大值為；（2）由題意，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故y的最小值為8.高頻考點(diǎn)三：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用1．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響．在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來(lái)的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬(wàn)件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算）(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)件），則，解得，∴．所以每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），∴2020年的利潤(rùn)．（2）∵當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．∴，即萬(wàn)元時(shí)，（萬(wàn)元）．故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元．2．如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym．(1)若菜園面積為72m2，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最??？(2)若使用的籬笆總長(zhǎng)度為30m，求的最小值．【答案】(1)菜園的長(zhǎng)x為12m，寬y為6m時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小(2)．（1）由已知可得xy＝72，而籬笆總長(zhǎng)為x+2y．又∵x+2y≥224，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝12，y＝6時(shí)等號(hào)成立．∴菜園的長(zhǎng)x為12m，寬y為6m時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小．（2）由已知得x+2y＝30，又∵（）?（x+2y）＝55+29，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝10，y＝10時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是．3．某種商品原來(lái)毎件售價(jià)為元，年銷售萬(wàn)件．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格毎提高元，銷售量將相應(yīng)減少件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少？(2)為了擴(kuò)大商品的影響力，提高年銷售量，公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高價(jià)格到元，公司擬投入萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，試問：該商品明年的銷售量至少達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和并求出此時(shí)每件商品的定價(jià)．【答案】(1)元(2)改革后銷售量至少達(dá)到萬(wàn)件，才滿足條件，此時(shí)定價(jià)為元件（1）設(shè)每件定價(jià)為元，則，整理得，要滿足條件，每件定價(jià)最多為元；（2）由題得當(dāng)時(shí)：有解，即：有解．又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即改革后銷售量至少達(dá)到萬(wàn)件，才滿足條件，此時(shí)定價(jià)為元件高頻考點(diǎn)四：一元二次不等式（含參）的求解角度1：二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)1．解下列不等式：(1)；【答案】(1)依題意，，解得，所以不等式的解集為.2．設(shè)函數(shù).解關(guān)于x的不等式；【答案】(1)答案見解析當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.角度2：二次項(xiàng)系數(shù)含參1．已知關(guān)于的不等式．(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式．【答案】(1)；(2)答案見解析（1）當(dāng)a＝2時(shí)，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化為：（2x+1）（x﹣1）＜0，∴不等式的解集為；（2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化為：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，當(dāng)a＞0時(shí)，，的根為：，①當(dāng)時(shí)，，∴不等式解集為，②當(dāng)時(shí)，，不等式解集為?，③當(dāng)時(shí)，1，∴不等式解集為{x|x＜1}，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)a時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為{x|x＜1}．2．解關(guān)于x的不等式【答案】答案不唯一，具體見解析【詳解】解：關(guān)于x的不等式可化為（1）當(dāng)時(shí)，，解得．（2）當(dāng)，所以所以方程的兩根為-1和，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或}，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為．當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或}，．（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榉匠痰膬筛鶠椤?和，又因?yàn)?，所以．即不等式的解集是，綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或}，3．若，.(1)若的解集為，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)；(2)答案見解析.（1）解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，則，所以，、是方程的解，，解得.（2）解：，，由得或.當(dāng)時(shí)，，原不等式的解為，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式的解為，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式為，不等式的解集為.綜上：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.高頻考點(diǎn)五：一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系1．已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A．R B． C． D．或【答案】D【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，故，且與為方程的兩根.故，解得，故不等式，即，故，解得或.故選：D2．設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，則的值等于_______．【答案】【詳解】解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以、是方程的兩根，所以，，所以．故答案為?．已知不等式的解為，求和的值，并解不等式．【答案】，；不等式的解集為【詳解】依題意，和是方程的兩根，所以，解得，.不等式，即，即，，解得或，所以不等式的解集為.4．若關(guān)于的不等式的解集為,則______，______．【答案】

【詳解】解：由題意知，，且是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，∴,解得或,又因?yàn)?，?故答案為：-3，-3.高頻考點(diǎn)六：分式不等式的解法1．解下列不等式：(1)(2)(3)；【答案】(1)或；(2)；(3)或；（1）解：因?yàn)榭苫癁椋獾茫夯?，所以原不等式的解集為：?（2）解：因?yàn)榭苫癁?，解得：，所以原不等式的解集為?（3）解：因?yàn)榭苫癁?，解得或，所以，不等式的解集為或?．解關(guān)于的不等式（其中）【詳解】解：，又由知當(dāng)時(shí)，則集合；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為空集；當(dāng)時(shí)，則集合；綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，為空集；當(dāng)時(shí)，.3．已知不等式的解集為，求不等式的解集.【答案】或【詳解】依題意，和是方程的兩根，法1：由韋達(dá)定理，，解得，法2：直接代入方程得，，解得，不等式為，即：，解得：或，不等式的解集為或.高頻考點(diǎn)七：不等式恒成立問題（有解問題）1．已知，，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，若不等式恒成立，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．，即的最大值為．故選：B．2．已知實(shí)數(shù)，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴要使恒成立，只需，∴，∴.故選：B.3．不等式的解集是全體實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍________．【答案】【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立.綜上可得，，故答案為：.4．）設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.【答案】因?yàn)?，所以由可化為：，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），所以.所以a的取值范圍為.5．根據(jù)已知條件，求參數(shù)的取值范圍.(1)已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求的取值范圍?2)已知函數(shù).若對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)的取值范圍為；(2)實(shí)數(shù)的取值范圍為.(1)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以恒成立，所以或，所以或，所以，所以的取值范圍?(2)由可得，由已知對(duì)于恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象為開口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，所以，由此可得；當(dāng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象為開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，所以，由此可得；當(dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，綜上，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.6．已知函數(shù)，且關(guān)于x的不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)b，m的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)，；(2).(1)由題意得：，1是方程的根，由韋達(dá)定理得，所以，又，解得．所以，．(2)由題意得，在上恒成立，令，只需即可，由均值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以，則的取值范圍是．7．設(shè)函數(shù)．(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)（1）解：由已知，對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立,符合題意，當(dāng)時(shí)，只需，解得，綜上所述，的取值范圍是，；（2）解：由已知，對(duì)，恒成立，即對(duì)，恒成立，，對(duì)，恒成立，令，則只需即可，而在，上是單調(diào)遞增函數(shù)，，，，，所以的取值范圍是.8．若，且關(guān)于x的不等式在R上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】【詳解】方法一（判別式法）關(guān)于x的不等式可變形為,由題可得，解得,又，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為；方法二（分離變量法）因?yàn)椋躁P(guān)于x的不等式可變形為，因?yàn)椋?，解得，又，所以?shí)數(shù)a的取值范圍為．9．已知函數(shù)．(1)解關(guān)于的不等式；(2)若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或(2)