專題3-3三角函數(shù)與解三角形綜合大題21種類型目錄TOC\o"1-1"\h\u講高考 1題型全歸納 2【題型一】“化一法” 2【題型二】恒成立求參型 3【題型三】利用對稱性求三角函數(shù)零點 3【題型四】恒等變形 4【題型五】三角函數(shù)圖像與解析式綜合 4【題型六】正弦定理化簡求角 4【題型七】余弦定理+均值求角范圍 6【題型八】求周長最值型 7【題型九】求面積最值型 7【題型十】四邊形最值型 8【題型十一】中線型最值 8【題型十二】角平分線型最值 9【題型十三】與高有關(guān)的最值型 10【題型十四】外接圓型 11【題型十五】有角無邊型最值 12【題型十六】邊系數(shù)不對稱型最值 12【題型十七】角非對邊型最值 12【題型十八】判斷三角形形狀 13【題型十九】三角形幾解的問題 13【題型二十】三角形中邊與角的不等式恒明 14【題型二十一】解三角形模型應(yīng)用 14專題訓練 15講高考1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：5．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．題型全歸納【題型一】“化一法”【講題型】例題.已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的對稱中心及最小正周期；(2)若，，求的值．【講技巧】化一法，即通過二倍角、降冪公式，兩角和與差公式，化簡為輔助角形式，再利用輔助角化為正余弦單一函數(shù)形式，再借助函數(shù)性質(zhì)求解計算?！揪氼}型】已知函數(shù).(1)求的最小正周期及對稱軸方程；(2)時，的最大值為，最小值為，求，的值.【題型二】恒成立求參型【講題型】例題.已知函數(shù)，其中向量，．(1)求的解析式及對稱中心和單調(diào)減區(qū)間；(2)不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【講技巧】恒成立兩個基礎(chǔ)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.【練題型】已知函數(shù)的一個零點為．(1)求A和函數(shù)的最小正周期；(2)當時，若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【題型三】利用對稱性求三角函數(shù)零點【講題型】例題.已知．(1)求函數(shù)的值域；(2)若方程在上的所有實根按從小到大的順序分別記為，求的值．【講技巧】三角函數(shù)圖像的主要一個特征，就是軸對稱與中心對稱。與水平線相交時的零點，多以對稱軸為突破點與其他函數(shù)相交時的零點，一般情況下，要看看其他函數(shù)是否具有對稱中心【練題型】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有個零點，（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）求的值.【題型四】恒等變形【講題型】例題.已知、是方程的兩個實數(shù)根.(1)求實數(shù)的值；(2)求的值；(3)若，求的值.【講技巧】(1)化簡的基本原則是：①切化弦：公式tanx＝eq\f(sinx,cosx)；②降次數(shù)：公式cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；(2)和積轉(zhuǎn)換法：運用公式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ解決sinθ±cosθ與sinθcosθ關(guān)系的變形、轉(zhuǎn)化；(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan2θ)))＝taneq\f(π,4)；(4)整角轉(zhuǎn)化：運用相關(guān)角的互補、互余等特殊關(guān)系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)等【練題型】已知．(1)求證：；(2)若已知，求的值．【題型五】三角函數(shù)圖像與解析式綜合【講題型】例題.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象.當時，方程恰有三個不相等的實數(shù)根，，求實數(shù)a的取值范圍以及的值.【講技巧】形如函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及性質(zhì)(1)圖像變換：①相位變換：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)的規(guī)則是：左加(φ＞0)或右減(φ＜0)|φ|個單位；②周期變換：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的規(guī)則是：縱坐標不變，將橫坐標縮小(伸長)為原來的|eq\f(1,ω)|倍；③振幅變換：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)的規(guī)則是：橫坐標不變，將縱坐標縮小(伸長)為原來的|A|倍；注意：y＝sinωx→y＝sin(ωx＋φ)變換規(guī)則是：先提取后者x的系數(shù)ω，然后在左(右)平移|eq\f(φ,ω)|個單位；(2)基本性質(zhì)：①定義域：解三角函數(shù)不等式用“數(shù)形結(jié)合” ②值域：由內(nèi)向外 ③單調(diào)性：同增異減(3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|) ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝eq\f(π,|ω|).(3)對稱性：換元思想，將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整體代入求解．①對稱軸：最值處，令sin(ωx＋φ)＝1，則ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得對稱軸方程；②對稱中心：零點處，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對稱中心的橫坐標；正弦“第一零點”：；正弦“第二零點”：余弦“第一零點”：；余弦“第二零點”：【練題型】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．當時，方程恰有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍和的值．【題型六】正弦定理化簡求角【講題型】例題.在中，角、、所對的邊分別為、、，且．(1)求角；(2)若，，求的面積．【講技巧】在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般將邊角混合的式子全部化為角的關(guān)系式或全部化為邊的關(guān)系式．式子中若出現(xiàn)邊的一次式，一般采用正弦定理，若出現(xiàn)邊的二次式，一般采用余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．【練題型】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若△ABC的面積為，，求a．【題型七】余弦定理+均值求角范圍【講題型】例題.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，.(1)求角的最大值；(2)若的面積為，，且，求b和c的值.【講技巧】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值【練題型】記銳角的內(nèi)角為，已知.(1)求角的最大值；(2)當角取得最大值時，求的取值范圍.【題型八】求周長最值型【講題型】例題.．在①；②；③設(shè)△ABC的面積為S，且．這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上．并加以解答．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)若，，求鈍角△ABC的周長的取值范圍．（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【講技巧】解三角形：最值范圍可以用余弦定理+均值不等式來求解?？梢岳谜叶ɡ?，結(jié)合角與角所對應(yīng)的邊，轉(zhuǎn)化為角的形式，再進行三角恒等邊形，化一，求解最值與范圍，要主語三角形是否有“銳角、鈍角”三角形的角度范圍限制【練題型】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且.(1)求B的大??；(2)若△ABC為鈍角三角形，且，求△ABC的周長的取值范圍.【題型九】求面積最值型【講題型】例題.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)若，求角的值；(2)若外接圓的周長為，求面積的取值范圍．【練題型】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)若，的面積為，求的值；(2)若為銳角三角形，作角B的平分線交AC于點D，記與的面積分別為，，求的取值范圍.【題型十】四邊形最值型【講題型】例題.如圖所示，在平面四邊形中，，設(shè).(1)若，求的長；(2)當為何值時，△的面積取得最大值，并求出該最大值.【講技巧】四邊形面積最值型，一般用某一條對角線，把四邊形分為兩個三角形，有公共邊的兩個三角形個再各自用余弦定理，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系【練題型】在中，角，，的對邊分別為，，，．(1)求角的大?。?2)若，為外一點（、在直線兩側(cè)），，，求四邊形面積的最大值．【題型十一】中線型最值【講題型】例題.．已知內(nèi)角所對的邊分別為，面積為，且，求：(1)求角A的大??；(2)求邊中線長的最小值.【講技巧】三角形中線的處理方法（如圖）：1.向量法：雙余弦定理法（補角法）：如圖設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因為，所以所以①+②式即可3.延伸補形法：如圖所示，延伸中線，補形為平行四邊形4.中線分割的倆三角形面積相等【練題型】已知內(nèi)角所對的邊分別為，面積為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件（若兩個都選，以第一個評分），求：(1)求角的大小；(2)求邊中線長的最小值.條件①：;條件②：.【題型十二】角平分線型最值【講題型】例題.在中，角，，的對邊分別是，，，滿足(1)求角；(2)若角的平分線交于點，且，求的最小值.【講技巧】三角形角平分線的處理方法：角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會扣過程分）：【練題型】已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為，求內(nèi)角A的角平分線長的最大值．，【題型十三】與高有關(guān)的最值型【講題型】例題.在中，角，，的對邊分別是，，，且滿足．(1)求；(2)若，是邊上的高，求的最大值．【講技巧】三角形高的處理方法：1.等面積法：兩種求面積公式如2.三角函數(shù)法：5.三角形內(nèi)心：【練題型】在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知且.(1)若，求；(2)若BC邊上的高是AH，求BH的最大值.【題型十四】外接圓型【講題型】例題.已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，.(1)求角；(2)若為銳角三角形，且外接圓的半徑為，求的取值范圍.【講技巧】三角形所在的外接圓的處理方法：1.外接圓的圓心到三角形的三個頂點的距離相等。銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形斜邊中點上。鈍角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R為外接圓半徑【練題型】在中，角的對邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若外接圓的半徑為，點D為邊的中點，證明：．【題型十五】有角無邊型最值【講題型】例題.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【講技巧】有角無邊型1.一個角為定值，則另外倆角和為定值，所以可以消角。2.注意銳角三角形，或者鈍角三角形對角的范圍的限制，如果有這樣限制，要對每個角都要用不等式范圍求解。3.有角無邊型，如果出現(xiàn)邊，多為邊的比值齊次式型，一般可以用正弦定地來邊化角轉(zhuǎn)化【練題型】已知在三角形ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的三邊，若(1)求∠C的大??；(2)求的值．【題型十六】邊系數(shù)不對稱型最值【講題型】例題在銳角三角形中,角的對邊分別為,向量,,且.(1)求角的大小;(2)若的面積為,求的取值范圍.【練題型】已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求的取值范圍．【題型十七】角非對邊型最值【講題型】例題.在銳角中，角A，，所對的邊分別為．(1)求A；(2)若，求面積的取值范圍．【練題型】在銳角中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周長的取值范圍．【題型十八】判斷三角形形狀【講題型】例題.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答問題．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知______．(1)求角C的值；(2)若的面積，試判斷的形狀．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【講技巧】判斷三角形形狀的方法：角化邊，通過正、余弦定理化角為邊，通過因式分解、配方等方法得出邊與邊之間的關(guān)系，進行判斷；邊化角，通過正、余弦定理化邊為角，利用三角恒等變換、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式等推出角與角之間的關(guān)系，進行判斷．無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項、提取公因式，否則會有遺漏一種情況的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制．【練題型】已知的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且．(1)若，求A的大?。?2)當取得最大值時，試判斷的形狀．【題型十九】三角形幾解的問題【講題型】例題.已知三內(nèi)角A?B?C的對邊分別為a?b?c，且.(1)求角A的值；(2)在解三角形問題中，若，且有兩解，求邊a的取值范圍.【練題型】在中，角所對應(yīng)的邊分別為，，時，（1）若，求（2）記（i）當為何值時，使得有解；（寫出滿足條件的所有的值）（ii）當為何值時，為直角三角形（iii）直接寫出一個滿足條件的值，使得有兩解【題型二十】三角形中邊與角的不等式恒明【講題型】例題.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的最小值；(2)證明：．【練題型】已知.(1)求的取值范圍；(2)若，，求證：.【題型二十一】解三角形模型應(yīng)用【講題型】例題.如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為的公路，，根據(jù)規(guī)劃，在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫，（異于村莊），要求（單位：）.(1)當時，求線段的長度；(2)設(shè)，當取何值時，工廠產(chǎn)生的噪音對居民的影響最??？（即工廠與村莊的距離最遠）【練題型】2022年是上海浦東開發(fā)開放32周年，浦東始終堅持財力有一分增長，民生有一分改善，全力打造我國超大城市的民生樣板，使寸土寸金的商業(yè)用地變身“城市綠肺”，老碼頭?舊倉庫變身步行道?綠化帶等.現(xiàn)有一足夠大的老碼頭，計劃對其進行改造，規(guī)劃圖如圖中五邊形所示，線段處修建步行道，為等腰三角形，且，，，.(1)求步行道BE的長度；(2)若沿海的區(qū)域為綠化帶，，當綠化帶的周長最大時，求該綠化帶