1.1.3

集合的交與并學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)1.理解兩個(gè)集合之間的并集和交集的含義.2.能求兩個(gè)集合的并集與交集.3.能使用韋恩圖或數(shù)軸表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.情景導(dǎo)入某信息服務(wù)公司在報(bào)紙上刊登廣告招聘客服人員，對(duì)應(yīng)聘人員的要求是：*年齡最好是35周歲以下；*本科或本科以上學(xué)歷；*中文打字速度達(dá)100字/min.想一想：如果你是人事專員，你希望遇到怎樣的應(yīng)聘者在數(shù)學(xué)里，把所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩

B

,

讀

作“A交B”,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.新知講解1.兩個(gè)集合的交集如圖是交集的韋恩圖，陰影部分表示兩個(gè)集合的交集.新知講解數(shù)學(xué)里常常用到交集.例如，把直線和平面都看成點(diǎn)的集合，兩直線的交點(diǎn)就是它們交集的

元

素

；兩平面的交線就是它們的交集，交集是空集時(shí)兩平面平行.l?l?典型例題例

1求下列每對(duì)集合的交集：(1)A={2,3,5,7,11},B={9,10,8,6,1,4};(2)C={x|x2-4x+3=0},B={x|3x-x2=0}.解：(1)A∩B=?;解：(2)∵A={1,3},B={0,3};∴A∩B={3}.典型例題例2設(shè)方程2x+3y=7

的全體解組成集合U,

方程3x-y=5的全體解組成集合V,求U

∩V.解：UNV是兩個(gè)方程聯(lián)立而成的方程組

的解集，解

方

程

組

可

得

)

用

符

號(hào)

來(lái)

表

示

就

是

：U={(x,y)|2x+3y=7},V={(x,y)|3x-y=5},UNV={(x,y)

|2x+3y=7

且3x-y=5}={(2,1)}.1.已知集合A={x||x|<3,x∈Z},B={x||x|>1,x∈Z},

則A∩B等于(D

)A.?B.{-3,-2,2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,2}解：集合A={x|-3<x<3,x∈Z}={-2,-1,0,1,2},B={x|x>1或x<-1,x∈Z}.

顯然只有-2和2符合題意.故A∩B={-2,2}.2.已知集合M={x|-1<x<3},Q={x|-2<x<1},

則M∩N

等于(B).A.{x|-2<x<1}

B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<3}

D.{x|-2<x<3}當(dāng)堂檢測(cè)

方法歸納求兩個(gè)集合的交集的方法(1)對(duì)于元素個(gè)數(shù)有限的集合，逐個(gè)挑出兩個(gè)集合的公共元素即可.(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)無(wú)限的集合，

一般借助數(shù)軸求交集，兩個(gè)集合的交集等于兩個(gè)

集合在數(shù)軸上的相應(yīng)圖形所覆蓋的公共范圍，要注意端點(diǎn)值的取舍.新知講解生活中，可能碰到兩組東西放在一起計(jì)算的問(wèn)題.例如：①兩個(gè)閱覽室共有多少種不同的報(bào)刊?②幾個(gè)地區(qū)共有多少種不同的野生動(dòng)物?③兩本英語(yǔ)詞典共收錄了多少個(gè)單詞?處理這些問(wèn)題，需要引入集合的運(yùn)算：

集合的并.把集合A,B

中的元素放在一起組成的集合，稱為A與B的并集，記作AUB

,

讀作“A并B”,即AUB={x|x∈A或x∈B}.也就是說(shuō)，集合AU

B由所有屬于A或?qū)?/p>

于A的元素組成.注：既屬于A又屬于B的元素，

在AU

B中只算一個(gè)元素.如圖是兩個(gè)集合的并集的韋恩圖.2.兩個(gè)集合的并集典型例題例3

設(shè)A={0,1,4,9,16},B={9,4,π,√2,1},

求AU

B.解：AUB={0,1,4,9,π,√2,16}.例4求下列集合的并集：(1)A=(1,3),B=[2,5];(2)C=[0,1],D={x|x2<1}.解：(1)AUB=(1,3)U[2,5]=[1,5];解：(2)CUD=[0,1]U{x|x2<1}=[0,1]U(-1,1)=(-1,1).新知講解思考：交集和聯(lián)立方程組的解集有關(guān)，并集和方程的解集有什么關(guān)系呢?方程x2-9=0

的解集為A={-3,3},方程x2-3x+2=0的解集為B={1,2},則AUB={-3,1,2,3}是方程的解集(x2-9)(x2-3x+2)=0.所以，對(duì)于右端為零的方程，如果能將其左端分解成幾個(gè)因式的乘積，就能使求解的問(wèn)題簡(jiǎn)化.這就是數(shù)學(xué)中常常把方程化成一端為零的形式的原因.由交集和并集的定義可得，對(duì)于任意兩個(gè)集合A,B,均

有

：A∩A=A,A∩?=

?,A∩B=B∩A,AUA=A,AU?=A,AU

B=BUA.當(dāng)堂檢測(cè)3.設(shè)集合A={1,2,3,4},B={yly=2x-1,x∈A},

則AU

B等于(D).A.{1,3}B.{2,4}

C.{2,4,5,7}

D.{1,2,3,4,5,7}解：依題意得B={1,3,5,7},因此AUB={1,2,3,4,5,7}.4.已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},則PUQ等于(A).A.

{x|-1<x<2}

B.

{x|0<x<1}C.{x|-1<x<0}D.{x|1<x<2}

方法歸納求兩個(gè)集合的并集的方法(1)對(duì)于元素個(gè)數(shù)有限的集合，可直接根據(jù)集合的并集定義求解，但要注意集合

中元素的互異性.(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)無(wú)限的集合，進(jìn)行并集運(yùn)算時(shí)，可借助數(shù)軸求解.注意兩個(gè)集合的并集等于兩個(gè)集合在數(shù)軸上的相應(yīng)圖形所覆蓋的全部范圍，建立不等式時(shí)，

要注意端點(diǎn)值是否能取到，最好是把端點(diǎn)值代入題目驗(yàn)證.當(dāng)堂檢測(cè)提高題：5

.

(1)已知集合A={x|-3<x≤4},B={x|k+1≤x≤2k-1},且AUB=A,

試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：∵A={x|-3<x≤4},B={x|k+1≤x≤2k-1},且AUB=A,∴BCA,分兩種情況：①當(dāng)B=

時(shí)，

則k+1>2k-1,即k<2;綜上可得，實(shí)數(shù)m

的取值范圍是：當(dāng)B≠

時(shí)，則解得：即當(dāng)堂檢測(cè)5

.

(2)已知集合A={x|-3<x≤4},B={x|k+1≤x≤2k-1},且A∩B=A,

試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：∵A={x|-3<x≤4},B={x|k+1≤x≤2k-1},

且A∩B=A,∴A≌B,

且A非空.得，,即k無(wú)解.解得，

方法歸納求解含有參數(shù)的集合運(yùn)算的方法(1)