24.3正多邊形和圓

第二十四章

圓

人教版2024·九年級上冊情境導(dǎo)入觀看下面的圖片，試著想一想，日常生活中，還有哪些正多邊形形狀的物體，或利用正多邊形組成的美麗圖案?知識建構(gòu)回顧：什么叫做正多邊形？各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形各邊相等各角相等缺一不可知識建構(gòu)思考：正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形都是軸對稱圖形嗎？都是中心對稱圖形嗎？知識建構(gòu)正三角形正四邊形正五邊形正六邊形正八邊形圖形軸對稱圖形中心對稱圖形結(jié)論

正

n邊形都是軸對稱圖形，都有

n條對稱軸，只有邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形才是中心對稱圖形.√×√√√×√√√√知識建構(gòu)思考：已知⊙O的半徑為2cm，如何畫圓的內(nèi)接正三角形？O正三角形的中心角是多少？120°AB（1）任意畫出一條半徑OA；（2）用量角器畫一個等于120°的圓心角，對應(yīng)；（3）在圓上截取與相等的；用什么方法在圓上截取相等的弧呢？①用量角器依次畫出相等的圓心角；②用圓規(guī)依次截取該圓心角所對弧的等弧.O知識建構(gòu)已知⊙O的半徑為2cm，畫圓的內(nèi)接正三角形．120°AOCB（1）任意畫出一條半徑OA；（2）用量角器畫一個等于120°的圓心角，對應(yīng)；（3）在圓上截取與相等的；（4）順次連接各點得正△ABC.

等分圓周120°用量角器畫圓心角∠BOC=120°知識建構(gòu)120°ACBO思考：如何在圓上截取與

相等的

？用圓規(guī)截取知識建構(gòu)思考：剛才我們度量的是圓心角，還能度量哪個角來等分圓周呢？120°ACB30°30°O可用量角器或30°的三角板度量，使∠OAB=∠OAC=30°.

知識建構(gòu)試著算出正四邊形、正五邊形的圓心角.·ABCDO·ABCDEO90°72°你能借助剛才的正五邊形畫一個五角星嗎？·ABCDEO正多邊形的中心角等分圓周可以設(shè)計很多美麗的圖案，你還能設(shè)計出哪些圖案？劣弧與優(yōu)弧用等分圓周的方法作正多邊形的一般步驟任意畫一個圓和一條半徑；算出該正多邊形的中心角的度數(shù)，用量角器畫出一個圓心角（中心角），獲得該圓心角所對的?。挥脠A規(guī)在圓上依次截取相等的弧，得到圓的等分點；順次連接各分點得到正多邊形.使用工具：量角器，圓規(guī)知識建構(gòu)思考：借助圓畫一個邊長為1.5cm的正六邊形.EFCDABO中心角半徑R.60°1.5cm分析：如何確定所畫圓的半徑？中心角△OEF為等邊三角形正六邊形的邊長等于半徑劣弧與優(yōu)弧歸納總結(jié)O把圓分成n（n≥3）等份：依次連接各分點所得的多邊形一定是

，這個正n邊形是這個圓的

，這個圓是這個正n邊形的

.正n邊形內(nèi)接正n邊形外接圓劣弧與優(yōu)弧圓的內(nèi)接正多邊形OABCDERr正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心，叫做正多邊形的中心外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距正多邊形每一條邊所對的圓心角，叫做正多邊形的中心角.每個中心角都等于

O劣弧與優(yōu)弧圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形的邊數(shù)內(nèi)角外角中心角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多邊形的外角=中心角弦相等圓周角相等弧相等劣弧與優(yōu)弧圓的內(nèi)接正多邊形EFCDO中心角半徑R邊心距r.AB正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形的每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.例題講解

例1

H例題講解

例2一個上、下底面為全等正六邊形的禮盒，高為10cm，上、下底面正六邊形的邊長為12cm，如果用彩色膠帶按如圖(1)所示的方式包扎禮盒，所需膠帶的長度至少為

cm.圖(1)圖(2)

例題講解

例3有一個亭子，它的地基是半徑為

4

m的正六邊形，求地基的周長和面積

(面積保留小數(shù)點后一位

).抽象成如何將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型？例題講解利用勾股定理，可得邊心距亭子地基的面積4mOABCDEFMr解：連接OB，過點

O作

OM⊥BC于

M.在

Rt△OMB中，OB=4，MB=亭子地基的周長

l=6×4=24(m)，

例3有一個亭子，它的地基是半徑為

4

m的正六邊形，求地基的周長和面積

(面積保留小數(shù)點后一位

).劣弧與優(yōu)弧歸納總結(jié)OBCrRP.圓內(nèi)接正多邊形常用輔助線連半徑，得中心角12作邊心距，得直角三角形FADERr由勾股定理得劣弧與優(yōu)弧歸納總結(jié)正多邊形的邊數(shù)邊長半徑邊心距周長面積32

42

62

例題講解

例4如圖，已知點

O

是正六邊形

ABCDEF

的對稱中心，G，H

分別是

AF，BC

上的點，且

AG

=

BH．(1)求∠FAB

的度數(shù)；(1)解：∵

六邊形

ABCDEF

是正六邊形，∴∠FAB

=.例題講解

例4(2)證明：連接

OA、OB.∵

OA

=

OB，∴∠OAB

=∠OBA.∵∠FAB

=∠CBA，∴∠OAG

=∠OBH.∴△AOG≌△BOH

(SAS).∴

OG

=

OH．又∵

AG=

BH，如圖，已知點

O

是正六邊形

ABCDEF

的對稱中心，G，H

分別是

AF，BC

上的點，且

AG

=

BH．(2)求證：OG

=

OH．例題講解

例5

例題講解

例6我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的(1)求圓內(nèi)接正六邊形面積．(2)圓內(nèi)接正八邊形的面積為_____．(3)運用“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接正十二邊形近似估計圓O的面積，可得圓內(nèi)接正十二邊形面積是_____，可得π的估計值為_____．方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416,如圖，若圓O的半徑為1.（在求圓內(nèi)接正多邊形面積時，通過分割成三角形，利用特殊角解決）例題講解

例6(1)求圓內(nèi)接正六邊形面積．

例題講解

例6(2)圓內(nèi)接正八邊形的面積為_____．

例題講解

例6(3)運用“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接正十二邊形近似估計圓O的面積，可得圓內(nèi)接正十二邊形面積是_____，可得π的估計值為_____．

例題講解

例7假期中小華和小伙伴一起走進影院去看國漫電影《哪吒2》，影片中，玉虛宮的鎮(zhèn)宮之寶“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八邊形”的宮殿，你想知道這座建筑有多大嗎？若“正八邊形”的邊長AB為2a,求正八邊形的面積．

本課小結(jié)正多邊形和圓正多邊形的有關(guān)概念正多邊形的有關(guān)計算添加輔助線的方法：連半徑，作邊心距中心半徑邊心距中心角對稱性EFCDO中心角半徑R邊心距r.AB課后鞏固A1．如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，

CD相切于A，C兩點，則∠AOC的度數(shù)是（

）A．144° B．130° C．129° D．108°2.如圖，正五邊形

ABCDE內(nèi)接于⊙O，

則∠ADE的度數(shù)是（）A．60°B．45°C．36°

D．30°

·ABCDEOC課后鞏固3.若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是40°，則這個多邊形是（

）A．正十邊形B．正九邊形C．正八邊形D．正七邊形B4.大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．一個巢房的橫截面為正六邊形，如圖所示，若正六邊形半徑為4mm,則這個正六邊形的面積是（）

C課后鞏固C

A.20° B.25°

C.30°

D.40°

A.64° B.72°

C.74°

D.80°C課后鞏固

48°

9.如圖，將正六邊形放在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的中心與坐標(biāo)原點重合，若點A的坐標(biāo)為(-1,0),則點C的坐標(biāo)為.

課后鞏固ABCDEFP10.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為，點P為六邊形內(nèi)任一點．則點P到各邊距離之和是多少？∴點P到各邊距離之和為3BD=3×6=18．解：