第48講雙曲線【備選理由】例1考查雙曲線的定義,在涉及焦點(diǎn)三角形的問題中,注意結(jié)合幾何圖形性質(zhì)求解;例2考查點(diǎn)的軌跡方程和分類討論思想,分兩圓外切和兩圓內(nèi)切兩種情況,根據(jù)兩圓位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解;例3綜合考查橢圓和雙曲線的離心率,并結(jié)合基本不等式求解,有一定的綜合性;例4考查直線與雙曲線的位置關(guān)系問題,結(jié)合向量等式給出條件,是常見的考查形式.1[配合探究點(diǎn)一使用]如圖,過雙曲線C:x216-y225=1的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=16的切線,切點(diǎn)為T,延長(zhǎng)FT,交雙曲線的右支于點(diǎn)P,若M為線段FP的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A.1 B.32 C.54 D[解析]由雙曲線C:x216-y225=1,可得a2=16,b2=25,則a=4,b=5,則c=設(shè)F'是雙曲線C的右焦點(diǎn),連接PF',因?yàn)镸,O分別為線段FP,FF'的中點(diǎn),所以|MO|=12連接OT,則OT⊥FP.在直角三角形OFT中,可得|FT|=|OF|2由雙曲線的定義,可得|PF|-|PF'|=2a=8,所以|MO|-|MT|=12|PF'|-|MF|+|FT|=12(|PF'|-|PF|)+|FT|=-4+5=故選A.2[配合探究點(diǎn)二使用][2024·河南濮陽模擬]P是平面直角坐標(biāo)系xOy中的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),以線段FP為直徑的圓與圓O:x2+y2=3相切,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 (B)A.x24-y23=1 B.xC.x212-y29=1 D.x[解析]圓O:x2+y2=3的圓心為O(0,0),半徑r=3,設(shè)F1(-2,0),以線段FP為直徑的圓的圓心為M,半徑為R.若圓M與圓O外切,則|PF1|=2|OM|=2(r+R),|PF|=2R,可得|PF1|-|PF|=2(r+R)-2R=2r=23.若圓M與圓O內(nèi)切,則易知R>r,則|PF1|=2|OM|=2(R-r),|PF|=2R,可得|PF|-|PF1|=2R-2(R-r)=2r=23.綜上所述,||PF1|-|PF||=23,可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以F1,F為焦點(diǎn)的雙曲線,且a=3,c=2,則b=c2-所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x23-y2=故選B.3[配合探究點(diǎn)三使用][2024·遼寧沈陽模擬]已知橢圓C1與雙曲線C2有共同的焦點(diǎn)F1,F2,P是橢圓C1與雙曲線C2的一個(gè)公共點(diǎn),且∠F1PF2=π3,C1與C2的離心率分別為e1,e2,則3e12+eA.3 B.4 C.6 D.12[解析]設(shè)|PF1|=m>|PF2|=n,|F1F2|=2c,由余弦定理得m2+n2-2mncosπ3=4c2,即m2+n2-mn=4c2在橢圓C1中,m+n等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng),因此e1=2c在雙曲線C2中,m-n等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),因此e2=2c則1e12+3e22=(m所以3e12+e22=141e12+3當(dāng)且僅當(dāng)e12=12,e故選A.4[配合探究點(diǎn)四使用][2025·上海浦東新區(qū)期末]已知雙曲線x29-y28=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線交該雙曲線于點(diǎn)A,B,且AF1·AF2=0,F2B+2F2A=[解析]設(shè)|AF2|=t>0,則根據(jù)題意可知|BF2|=2t,|AB|=3t,所以|AF1|=t+2a,|BF1|=2t+2a,易知AF1⊥AB,在Rt△F1AB中,由勾股定理可得(t+2a)