《全品高考復習方案》第20講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式【課標要求】1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2x=1;sinxcosx=tanx,x≠kπ+π2(k∈Z).

2.借助單位圓的對稱性1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系:.

(2)商數(shù)關(guān)系:.

2.誘導公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角α+2kπ(k∈Z)π+α-απ-απ2π2終邊與角α終邊的關(guān)系相同關(guān)于原點對稱關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于直線y=x對稱正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα

正切tanα

-tanα-tanα函數(shù)名不變,符號看象限函數(shù)名改變,符號看象限記憶規(guī)律奇變偶不變,符號看象限注意:誘導公式指的是角k·π2±α(k∈Z)與角α的三角函數(shù)關(guān)系,簡記為:奇變偶不變,符號看象限.“奇”“偶”指的是“k·π2±α(k∈Z)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù);“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化;“符號看象限”指的是在“k·π2±α(k∈Z)”中,將α看成銳角時,“k·π2±α(k常用結(jié)論1.和(差)積互化變形:(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.2.弦切互化變形:sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1,cos2α=cos2αsi題組一易錯辨析判斷下列說法是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)sinπ2+α=cosα成立的條件是α為銳角.(2)sinkπ2-α=cosα或sinkπ2-α=-cosα(3)已知sinθ+cosθ=43,θ∈0,π4,則sinθ-cosθ的值為±2題組二教材改編1.若α是第四象限角,且cosα=35,則sin(-α)= ()A.35 B.-C.45 D.-2.若tan(α-π)=3,則sinα-2cosαA.52 B.-C.-14 D.3.若sinα+π4=13,則cos同角三角函數(shù)的基本關(guān)系題型1弦切互化例1(1)若tanα=-34,cosα<0,則sinα= (A.45 B.-45 C.35 (2)[2024·湖北武漢模擬]已知α∈π2,π,8sinα=3cos2α,則tan題型2弦的和、差、積互化例2(1)已知θ∈(-π,0),且sinθ·cosθ=18,則sinθ+cosθ= (A.52 B.-52 C.62 (2)(多選題)已知sinα-cosα=55,0≤α≤π,則下列結(jié)論中正確的有 (A.sinα·cosα=25 B.sinα+cosα=C.tanα+1tanα=53 D.題型3齊次式例3[2024·浙江杭州期末]已知tanα=3,則cosα-2sinαA.-12 B.12 C.-2 D總結(jié)反思1.利用同角基本關(guān)系式“知一求二”的方法2.對于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三個式子,知一可求二,若令sinα+cosα=t,則sinα·cosα=t2-12,sinα-cosα=±2-t23.利用“齊次化切”求齊次式值的方法(1)若齊次式為分式,如asinnα+bcosnαcsinnα+dcosnα(cos(2)若齊次式為二次整式,如asin2α+bsinαcosα+ccos2α(cosα≠0),可將其視為分母為1的分式,然后將分母1用sin2α+cos2α替換,再將分子與分母同除以cos2α,化為只含有tanα的式子,代入tanα的值即可求解.【對點演練1】(1)已知5sinθ=cosθ,則3sin2θ-sinθcosθ= ()A.-15 B.15 C.-113(2)(多選題)[2024·遼寧葫蘆島期末]設(shè)α∈(0,π),已知sinα,cosα是方程3x2-x-m=0的兩根,則下列結(jié)論正確的是 ()A.m=-43B.sinα-cosα=C.tanα=713 D.cos2α-sin2α=-(3)若0<α<π,且3sinα=1+cosα,則tanα=.

三角函數(shù)的誘導公式例4(1)(多選題)[2024·陜西渭南期末]下列化簡正確的是 ()A.tan(π+1)=tan1 B.sin(-α)tanC.cosπ2-αD.cos(π(2)已知sinπ6-α=-63,則cos4πA.63 B.C.-33 D.-總結(jié)反思1.誘導公式的應(yīng)用步驟任意負角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)0~2π內(nèi)的角的三角函數(shù)0~π2內(nèi)的角的三角函數(shù).2.誘導公式的兩個應(yīng)用(1)求值:負化正,大化小,化到銳角(或零角)為終了.(2)化簡:統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了.使用誘導公式過程中注意口訣“奇變偶不變,符號看象限”的正確使用,注意奇偶是指什么,符號是看誰的符號.【對點演練2】(多選題)[2024·安徽馬鞍山期末]若角A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.cos(A+B)=-cosC B.tan(B+C)=tanAC.cosA+C2=D.sinB+C2同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導公式的綜合應(yīng)用例5已知f(x)=sin((1)化簡f(x);(2)已知f(α)=-2,求3sin2α+2cos2α+2sinαcosα的值.總結(jié)反思破解誘導公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系的綜合應(yīng)用的關(guān)鍵:一是熟記誘導公式,正確對三角函數(shù)進行化簡;二是注意“切化弦、弦化切”的應(yīng)用;三是“知正弦求余弦”或“知余弦求正弦”時需注意角的取值范圍,明確“負號”的取舍.【對點演練3】(1)已知tan(α+5π)=4,則2sinαcosαA.17