2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：與決策實(shí)戰(zhàn)試題庫考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述描述性統(tǒng)計(jì)在數(shù)據(jù)分析和決策制定中的主要作用。請列舉至少三種常用的集中趨勢測度指標(biāo)，并簡要說明各自的適用條件和優(yōu)缺點(diǎn)。二、假設(shè)某公司經(jīng)理想要了解其員工的工作滿意度情況。公司現(xiàn)有500名員工，經(jīng)理計(jì)劃進(jìn)行一項(xiàng)抽樣調(diào)查。請簡述簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)，并說明其在此場景下可能存在的局限性。如果樣本量有限，經(jīng)理還可以考慮哪些抽樣方法來提高樣本的代表性？三、某工廠生產(chǎn)一種零件，其長度要求為10厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5厘米。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行檢驗(yàn)，測得樣本平均長度為9.8厘米。請計(jì)算該樣本平均長度的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差。假設(shè)顯著性水平α=0.05，檢驗(yàn)這批零件的平均長度是否顯著低于標(biāo)準(zhǔn)要求（即檢驗(yàn)H0:μ=10vsH1:μ<10）。四、一家電商公司希望了解其在線廣告花費(fèi)與銷售額之間的關(guān)系。他們收集了過去12個月的月度廣告花費(fèi)（單位：萬元）和月度銷售額（單位：萬元）數(shù)據(jù)，并計(jì)算出相關(guān)系數(shù)r=0.85。請解釋相關(guān)系數(shù)r=0.85的含義。該公司管理者認(rèn)為，增加廣告投入一定能帶來銷售額的增長。請運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識，分析這種說法是否過于絕對，并說明理由。五、某零售連鎖店想要評估其三個不同門店（門店A、B、C）的月均銷售額是否存在顯著差異。隨機(jī)抽取了各門店過去三個月的月均銷售額數(shù)據(jù)如下（單位：萬元）：門店A：120,125,130；門店B：118,122,121；門店C：135,140,138。請使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)這三個門店的月均銷售額是否存在顯著差異（假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布且方差相等）。請寫出你的檢驗(yàn)步驟和結(jié)論。六、某市場研究機(jī)構(gòu)想要預(yù)測消費(fèi)者對某新產(chǎn)品的接受程度。他們收集了100名消費(fèi)者的樣本數(shù)據(jù)，其中包括消費(fèi)者的年齡（歲）、月收入（萬元）以及他們對該產(chǎn)品的接受評分（1-10分）。研究者使用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行了多元線性回歸分析，得到的回歸方程為：接受評分=5+0.1*年齡+0.2*月收入。請解釋回歸系數(shù)0.1和0.2的含義。如果某消費(fèi)者年齡為30歲，月收入為5000元，請預(yù)測其對該新產(chǎn)品的接受評分。七、某公司人力資源部想要分析員工的培訓(xùn)時長（單位：小時）與其后續(xù)工作績效評分（1-100分）之間的關(guān)系。他們收集了50名員工的培訓(xùn)時長和工作績效評分?jǐn)?shù)據(jù)，并繪制了散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)大致呈線性趨勢。請說明在這種情況下，為什么不能直接使用相關(guān)系數(shù)r來衡量培訓(xùn)時長與工作績效之間的關(guān)系？如果需要進(jìn)行相關(guān)分析，應(yīng)該使用哪種統(tǒng)計(jì)量？并解釋其判斷依據(jù)。試卷答案一、描述性統(tǒng)計(jì)通過匯總、圖表等形式展示數(shù)據(jù)特征，幫助決策者快速理解數(shù)據(jù)分布、識別趨勢和模式，從而為決策提供依據(jù)。常用的集中趨勢測度指標(biāo)包括：1.均值（Mean）：數(shù)據(jù)的平均值，適用于數(shù)據(jù)呈對稱分布且無異常值的情況。優(yōu)點(diǎn)是利用了所有數(shù)據(jù)信息，計(jì)算簡便；缺點(diǎn)是對異常值敏感。2.中位數(shù)（Median）：數(shù)據(jù)排序后位于中間位置的值，適用于數(shù)據(jù)呈偏態(tài)分布或存在異常值的情況。優(yōu)點(diǎn)是不受異常值影響，能較好反映數(shù)據(jù)集中趨勢；缺點(diǎn)是未利用所有數(shù)據(jù)信息，對數(shù)據(jù)變化不敏感。3.眾數(shù)（Mode）：數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的值，適用于各類分布，尤其適用于分類數(shù)據(jù)。優(yōu)點(diǎn)是簡單直觀，易于理解；缺點(diǎn)是不唯一，可能無法代表數(shù)據(jù)集中趨勢。二、簡單隨機(jī)抽樣是指從總體中完全隨機(jī)地抽取樣本，每個個體被抽中的概率相等。其特點(diǎn)是操作簡單，樣本代表性較好（在理論上能代表總體），且是其他抽樣方法的基礎(chǔ)。在此場景下，其局限性在于：如果500名員工的特征差異較大，或者某些特定群體（如不同部門、不同層級員工）在總體中比例懸殊，簡單隨機(jī)抽樣可能無法確保樣本中包含足夠數(shù)量的代表性個體，導(dǎo)致抽樣誤差增大。如果樣本量有限，經(jīng)理還可以考慮以下抽樣方法：1.分層抽樣（StratifiedSampling）：將總體按某些特征（如部門、工齡、職位）劃分為若干層，然后在每層內(nèi)進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣。優(yōu)點(diǎn)是能保證樣本在關(guān)鍵特征上與總體結(jié)構(gòu)一致，提高了樣本代表性。2.整群抽樣（ClusterSampling）：將總體劃分為若干群組，隨機(jī)抽取部分群組，然后對抽中的群組內(nèi)所有個體進(jìn)行調(diào)查。優(yōu)點(diǎn)是實(shí)施方便，成本較低；缺點(diǎn)是若群內(nèi)同質(zhì)性高，群間異質(zhì)性低，則代表性可能不如簡單隨機(jī)抽樣。三、1.計(jì)算抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差：σ=0.5(標(biāo)準(zhǔn)差)n=100(樣本量)抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差(SE)=σ/√n=0.5/√100=0.5/10=0.05(厘米)2.假設(shè)檢驗(yàn)：H0:μ=10(零假設(shè)：平均長度等于10厘米)H1:μ<10(備擇假設(shè)：平均長度小于10厘米)顯著性水平α=0.05檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=(樣本均值-總體均值)/抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差=(9.8-10)/0.05=-0.2/0.05=-4.0（因?yàn)榭傮w標(biāo)準(zhǔn)差已知，也可用z檢驗(yàn)，z=(9.8-10)/(0.5/√100)=-0.2/0.05=-4.0）對于單尾檢驗(yàn)(α=0.05)，查找t分布表（或z分布表，此處t分布與z分布臨界值接近），自由度df=n-1=100-1=99。臨界值約為-1.660(tcrit)或-1.645(zcrit)。比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值：-4.0<-1.660(或-4.0<-1.645)。結(jié)論：拒絕原假設(shè)H0。有足夠證據(jù)表明該批零件的平均長度顯著低于標(biāo)準(zhǔn)要求10厘米。四、相關(guān)系數(shù)r=0.85表示在線廣告花費(fèi)與銷售額之間存在較強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系。具體來說，廣告花費(fèi)增加，銷售額也傾向于隨之增加，且這種關(guān)系的強(qiáng)度較高（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法則，|r|>0.8通常視為強(qiáng)相關(guān)）。然而，相關(guān)系數(shù)僅表明兩個變量之間存在線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向，并不能證明兩者之間存在因果關(guān)系。該公司管理者認(rèn)為增加廣告投入一定能帶來銷售額增長的說法過于絕對。原因在于：第一，相關(guān)不等于因果，可能存在其他共同影響因素（如季節(jié)性、整體市場環(huán)境、產(chǎn)品質(zhì)量提升等）同時影響了廣告花費(fèi)和銷售額；第二，即使存在因果關(guān)系，其強(qiáng)度和方向也可能受到其他因素調(diào)節(jié)，并非絕對；第三，過高的廣告投入可能導(dǎo)致邊際效益遞減。因此，需要進(jìn)一步進(jìn)行因果推斷分析或進(jìn)行更深入的控制實(shí)驗(yàn)（如A/B測試）來驗(yàn)證。五、1.檢驗(yàn)假設(shè)：H0:μA=μB=μC(三個門店月均銷售額無顯著差異)H1:至少有兩個門店的月均銷售額存在顯著差異（α=0.05，假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布且方差相等）2.計(jì)算步驟：*計(jì)算各門店樣本均值和總體均值：μA=(120+125+130)/3=125μB=(118+122+121)/3=121μC=(135+140+138)/3=137總體均值(GrandMean)=(125+121+137)/3=128.333*計(jì)算各離差平方和：SSbetween=3[(125-128.333)2+(121-128.333)2+(137-128.333)2]=3[10.7778+53.7778+73.7778]=3*138.3334=414.9992SSwithin=[(120-125)2+(125-125)2+(130-125)2]+[(118-121)2+(122-121)2+(121-121)2]+[(135-137)2+(140-137)2+(138-137)2]=[25+0+25]+[9+1+0]+[4+9+1]=50+10+14=74*計(jì)算均方：MSbetween=SSbetween/(k-1)=414.9992/(3-1)=414.9992/2=207.4996MSwithin=SSwithin/(N-k)=74/(9-3)=74/6=12.3333*計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：F=MSbetween/MSwithin=207.4996/12.3333≈16.82*查找F分布臨界值：df1=k-1=2，df2=N-k=6。查找F(0.05,2,6)≈5.14。*比較與結(jié)論：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=16.82>臨界值5.14。結(jié)論：拒絕原假設(shè)H0。三個門店的月均銷售額存在顯著差異。六、回歸系數(shù)0.1的含義是：在其他變量（月收入）保持不變的情況下，消費(fèi)者的年齡每增加1歲，其對新產(chǎn)品的接受評分預(yù)計(jì)平均增加0