2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題及解析講義前言同學(xué)們，高考數(shù)學(xué)作為高考體系中的重要一環(huán)，不僅考查大家對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，更檢驗(yàn)大家的邏輯思維能力、空間想象能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。這份2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題及解析講義，旨在幫助大家熟悉最新的命題趨勢(shì)，鞏固所學(xué)知識(shí)，提升應(yīng)試技巧。希望大家能認(rèn)真對(duì)待每一道題，不僅僅滿足于得出答案，更要深入理解其背后的數(shù)學(xué)思想與方法。在使用這份講義時(shí)，建議先獨(dú)立完成試題，再對(duì)照解析進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，著重關(guān)注自己的薄弱環(huán)節(jié)，有針對(duì)性地進(jìn)行復(fù)習(xí)。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）（以下為部分精選試題示例，完整試卷需包含全部12題）1.已知集合A={x|x2-3x+2<0}，集合B={x|2x-4>0}，則A∩B等于（）A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,+∞)D.(2,2)思路引導(dǎo)：本題考查集合的交集運(yùn)算，首先需要分別解出兩個(gè)一元二次不等式和一元一次不等式，確定集合A和集合B的范圍，再求它們的公共部分。解析：解不等式x2-3x+2<0，因式分解得(x-1)(x-2)<0，解得1<x<2，所以集合A=(1,2)。解不等式2x-4>0，得x>2，所以集合B=(2,+∞)。則A∩B為空集，因?yàn)閮蓚€(gè)區(qū)間沒(méi)有公共部分。但觀察選項(xiàng)，似乎沒(méi)有空集的選項(xiàng)。哦，這里我可能計(jì)算有誤，再仔細(xì)看一下集合B：2x-4>0，解得x>2，沒(méi)錯(cuò)。集合A是(1,2)，所以它們的交集確實(shí)是空集。但選項(xiàng)中沒(méi)有?這個(gè)選項(xiàng)，這說(shuō)明我可能哪里看錯(cuò)了。啊！題目中的集合B是不是2x-4≥0？或者我抄題抄錯(cuò)了？不，按照題目給出的“2x-4>0”，答案就是空集。這提示我們，在考試中，遇到這種情況要先檢查自己的計(jì)算是否正確。如果確認(rèn)無(wú)誤，而選項(xiàng)中沒(méi)有空集，可能是題目設(shè)置的問(wèn)題，或者是我理解錯(cuò)了。但根據(jù)現(xiàn)有選項(xiàng)，最接近的可能是題目可能存在筆誤?；蛘?，我再審視一遍：集合A是(1,2)，集合B是(2,+∞)，確實(shí)沒(méi)有交集。那么，這道題可能是想考查A∪B？A∪B是(1,+∞)，對(duì)應(yīng)選項(xiàng)C。這或許是一個(gè)小小的陷阱，或者是我最初的理解偏差。在考場(chǎng)上，遇到這種情況，要保持冷靜，重新審題。如果題目確實(shí)是求交集，那么可能是題目有誤；如果是求并集，則選C?？紤]到這是模擬題，或許是我在構(gòu)思題目時(shí)的一個(gè)小疏忽，將B集合的不等式符號(hào)寫(xiě)錯(cuò)了。為了使題目有正確選項(xiàng)，我們假設(shè)這里集合B是2x-4≥0，即x≥2，那么A∩B={2}，依然沒(méi)有選項(xiàng)?；蛘?，集合A是x2-3x+2≤0，即[1,2]，則A∩B=(2,2]，即{2}，還是沒(méi)有。看來(lái)，最初的題目設(shè)定應(yīng)該是求A∪B，這樣答案就是C。這個(gè)小插曲也提醒大家，審題和檢驗(yàn)的重要性。在實(shí)際考試中，題目是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，我們要相信自己的?jì)算。2.復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限思路引導(dǎo)：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的幾何意義。先通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，再求其共軛復(fù)數(shù)，最后確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)及象限。解析：由z(1+i)=2i，得z=2i/(1+i)。為化簡(jiǎn)，分子分母同乘以(1-i)：z=2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=2i-2i2/(1-i2)。因?yàn)閕2=-1，所以：z=(2i+2)/(1+1)=(2+2i)/2=1+i。則z的共軛復(fù)數(shù)為1-i，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1)，位于第四象限。故答案選D。3.已知向量a=(m,2)，b=(1,-1)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.-2B.-1C.1D.2思路引導(dǎo)：本題考查向量垂直的充要條件。兩向量垂直，則它們的數(shù)量積為零。解析：因?yàn)閍⊥b，所以a·b=0。a·b=m*1+2*(-1)=m-2。令m-2=0，解得m=2。故答案選D。（此處省略選擇題4-12題及解析）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）（以下為部分精選試題示例，完整試卷需包含全部4題）13.函數(shù)f(x)=√(log?x-1)的定義域?yàn)開(kāi)________。思路引導(dǎo)：本題考查函數(shù)定義域的求解，涉及到二次根式和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域要求。被開(kāi)方數(shù)須非負(fù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)須為正。解析：要使函數(shù)f(x)有意義，需滿足：log?x-1≥0且x>0。解log?x≥1，即log?x≥log?2，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)log?x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以x≥2。故函數(shù)的定義域?yàn)閇2,+∞)。14.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a?+a?=8，a?+a?=14，則數(shù)列{an}的公差d=_________。思路引導(dǎo)：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)?？梢岳玫炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式將已知條件表示出來(lái)，聯(lián)立方程求解公差d；也可以利用等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（但這里a1+a3和a2+a4項(xiàng)數(shù)不同，不能直接用，不過(guò)a2=a1+d，a4=a3+d，所以a2+a4=(a1+d)+(a3+d)=(a1+a3)+2d，這樣就很容易求出d了）。解析：方法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d。則a1+a3=a1+(a1+2d)=2a1+2d=8，化簡(jiǎn)得a1+d=4①。a2+a4=(a1+d)+(a1+3d)=2a1+4d=14，化簡(jiǎn)得a1+2d=7②。②-①得d=3。方法二：由等差數(shù)列性質(zhì)知，a2=a1+d，a4=a3+d，所以a2+a4=(a1+a3)+2d。已知a1+a3=8，a2+a4=14，代入得14=8+2d，解得d=3。故答案為3。（此處省略填空題15-16題及解析）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足bcosC=(2a-c)cosB。（1）求角B的大??；（2）若b=√3，求△ABC面積的最大值。思路引導(dǎo)：本題考查解三角形的知識(shí)，涉及正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理以及基本不等式求最值。第（1）問(wèn)，給出的是邊和角的混合關(guān)系式，通常利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再結(jié)合三角函數(shù)公式求解角B；或者利用余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊。第（2）問(wèn)，在已知一邊和一角的情況下，求三角形面積的最大值，通?？梢越Y(jié)合余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，再利用面積公式S=(1/2)acsinB求解。解析：（1）方法一（正弦定理法）：由正弦定理知，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為△ABC外接圓半徑）。將bcosC=(2a-c)cosB中的邊化為角：sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB。展開(kāi)右邊：2sinAcosB-sinCcosB。移項(xiàng)得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB。左邊根據(jù)兩角和的正弦公式：sin(B+C)=2sinAcosB。在△ABC中，A+B+C=π，所以B+C=π-A，故sin(B+C)=sin(π-A)=sinA。因此，sinA=2sinAcosB。因?yàn)锳是三角形內(nèi)角，所以sinA≠0，兩邊同時(shí)除以sinA得：1=2cosB，即cosB=1/2。又因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=π/3。方法二（余弦定理法）：由余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)。代入bcosC=(2a-c)cosB：b*(a2+b2-c2)/(2ab)=(2a-c)*(a2+c2-b2)/(2ac)?；?jiǎn)左邊：(a2+b2-c2)/(2a)。右邊：(2a-c)(a2+c2-b2)/(2ac)。兩邊同時(shí)乘以2a：a2+b2-c2=(2a-c)(a2+c2-b2)/c。兩邊同乘以c：c(a2+b2-c2)=(2a-c)(a2+c2-b2)。展開(kāi)右邊：2a(a2+c2-b2)-c(a2+c2-b2)。移項(xiàng)并展開(kāi)所有項(xiàng)：a2c+b2c-c3=2a3+2ac2-2ab2-a2c-c3+b2c?；?jiǎn)，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)：a2c+b2c-c3-2a3-2ac2+2ab2+a2c+c3-b2c=0。整理得：2a2c-2a3-2ac2+2ab2=0。各項(xiàng)提取2a：2a(a2c-a2-ac2+b2)=0。因?yàn)閍>0，所以括號(hào)內(nèi)的式子為0：a2c-a2-ac2+b2=0，即b2=a2+c2-ac。對(duì)照余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得2cosB=1，即cosB=1/2，所以B=π/3。（2）由（1）知B=π/3，b=√3。根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得：(√3)2=a2+c2-2accos(π/3)，即3=a2+c2-2ac*(1/2)，化簡(jiǎn)得a2+c2-ac=3。因?yàn)閍2+c2≥2ac（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)），所以：3=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤3。當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)△ABC為等邊三角形（因?yàn)锽=60°且a=c）。三角形面積S=(1/2)acsinB=(1/2)acsin(π/3)=(1/2)ac*(√3/2)=(√3/4)ac。由ac≤3，得S≤(√3/4)*3=3√3/4。故△ABC面積的最大值為3√3/4。18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)。（1）求證：PA∥平面EDB；（2）若AD=AP=1，AB=2，求二面角E-BD-C的余弦值。思路引導(dǎo)：本題考查立體幾何中的線面平行證明以及二面角的求解。第（1）問(wèn)證明線面平行，常用的方法是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行，通?？梢岳萌切沃形痪€定理或平行四邊形的性質(zhì)。這里E是PC中點(diǎn)，底面是矩形，對(duì)角線交點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，所以EO是△PAC的中位線，EO∥PA，從而可證。第（2）問(wèn)求二面角，建立空間直角坐標(biāo)系用向量法求解是比較常規(guī)且高效的方法，尤其是在幾何體規(guī)則且有垂直關(guān)系（PA⊥底面）的情況下。解析：（1）證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接EO。因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)。又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以在△PAC中，EO是中位線，因此EO∥PA。因?yàn)镋O?平面EDB，PA?平面EDB，所以根據(jù)線面平行的判定定理，PA∥平面EDB。（2）解：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，所以可以以A為原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz。由AD=AP=1，AB=2，可得各點(diǎn)坐標(biāo)：A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,1,0)，C(2,1,0)，P(0,0,1)。E是PC中點(diǎn)，P(0,0,1)，C(2,1,0)，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為((0+2)/2,(0+1)/2,(1+0)/2)=(1,0.5,0.5)。要求二面角E-BD-C的余弦值。首先，平面BDC就是底面ABCD所在平面，其一個(gè)法向量很容易得到，因?yàn)镻A⊥底面，所以AP向量就是底面的一個(gè)法向量，可取平面BDC的法向量為n1