2.1.3基本不等式的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握基本不等式及其變形的應(yīng)用.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題.(數(shù)學(xué)建模)【自主預(yù)習(xí)】1.已知x，y都為正數(shù)，若積xy是定值p，則如何求它們和的最小值?2.已知x，y都為正數(shù)，如果和x+y是定值s，那么如何求積xy的最大值?3.如果兩個正數(shù)的積為定值，那么它們的和一定有最小值嗎?1.若實數(shù)a，b滿足a+b=1，則ab的最大值為().A.2 B.1 C.12 D.2.已知實數(shù)x，y滿足x>0，y>0，且2x+1y=1，則x+2y的最小值為(A.2 B.4 C.6 D.83.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x=.

【合作探究】探究1有關(guān)基本不等式的結(jié)論已知x，y都為正數(shù)，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2p；(2)如果和x+y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，積xy有最大值s2簡記為“積定和最小，和定積最大”.利用基本不等式求最值的關(guān)鍵詞：一正、二定、三相等.(1)一正：各項符號必須為正；(2)二定：各項之和或各項之積為定值；(3)三相等：必須驗證等號成立的條件是否具備.例1(1)若m>0，n>0，mn=9，則m+n的最小值為().A.4 B.43 C.6 D.18(2)已知x>0，y>0，且x+y2=4，則xy的最大值為【方法總結(jié)】配湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用配湊法求最值應(yīng)注意以下幾個方面：①配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價轉(zhuǎn)換；②代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；③拆項、變形、配湊應(yīng)注意利用基本不等式的前提.設(shè)x>0，y>0，且x+y=18，則xy的最大值為().A.80 B.77 C.81 D.82已知a>0，b>0，且ab=2，則1a+4b的最小值為探究2“1”的代換法求最值例2已知x>0，y>0，且1x+9y=1，求x+y【變式探究1】本例條件變?yōu)椤皒>0，y>0，2x+8y=xy”，試求x+y的最小值.【變式探究2】本例條件變?yōu)椤皒>0，y>0，x+y=1”，試求1x+9y【方法總結(jié)】1.常值代換法適用于求解條件最值問題.求最值的方法步驟：(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值.2.若常值代換法不適用于求條件最值，則對條件變形，直接使用基本不等式，建立以目標(biāo)函數(shù)為整體的不等式，解不等式可得最值.已知x，y均為正實數(shù)，且滿足x+2y=2xy.(1)求xy的最小值；(2)求x+y的最小值.探究3基本不等式的應(yīng)用例3如圖所示，動物園要圍成面積相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.(1)現(xiàn)有可圍36m長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠的面積最大?(2)若每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最小?【方法總結(jié)】應(yīng)用基本不等式解決實際問題的步驟(1)理解題意，設(shè)出變量.(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實際問題抽象成求函數(shù)的最大值或最小值問題.(3)在取值范圍內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.(4)根據(jù)實際背景寫出答案.某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算，若將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用(單位：元)為560+48x.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層?注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用=購地總費(fèi)用建筑總面積【隨堂檢測】1.已知x>0，y>0，且滿足x+6y=6，則xy有().A.最大值32 B.最小值C.最大值1 D.最小值12.已知a>0，b>0，且2a+1b=1，則2a+b的最小值為(A.22 B.3 C.8 D.93.(多選題)已知a>0，b>0，a+b=2，則對于1a+4b，下列說法正確的是(A.取最值時，a=23 B.最大值是C.取最值時，b=23 D.最小值是4.設(shè)自變量x對應(yīng)的因變量為y，在滿足對任意的x，不等式y(tǒng)≤M都成立的所有常數(shù)M中，將M的最小值叫作y的上確界.若a，b為正數(shù)，且a+b=1，則12a2b

參考答案2.1.3基本不等式的應(yīng)用自主預(yù)習(xí)預(yù)學(xué)憶思1.根據(jù)基本不等式求它們和的最小值.因為x，y都為正數(shù)，且xy是定值p，所以x+y≥2xy=2p，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立，所以x+y的最小值為2p.2.由已知可得x+y≥2xy，所以xy≤x+y22=s24，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，積3.不一定.應(yīng)用基本不等式求最值時要求等號能取到.自學(xué)檢測1.D【解析】∵ab≤a+b22，∴ab≤122，即ab≤14，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時，等號成立，∴(ab)2.D【解析】∵x>0，y>0，且2x+1y=∴x+2y=(x+2y)2x+1y=4+4yx+xy≥4+24yx·xy=8，當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy，2x+1y=1，即x=4，3.20【解析】總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和y=4x+400x·4=4x+1600x≥24x當(dāng)且僅當(dāng)4x=1600x，即x=20時，等號成立合作探究探究1新知運(yùn)用例1(1)C(2)8【解析】(1)因為m>0，n>0，mn=9，所以m+n≥2mn=6，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=3時，等號成立，故m+n的最小值為6.(2)xy=2·x·y2≤2x+y222當(dāng)且僅當(dāng)x=y2，即x=2，y=4時，等號成立所以xy的最大值為8.鞏固訓(xùn)練1C【解析】因為x>0，y>0，所以xy≤x+y22=81當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時，等號成立，所以xy的最大值為81.鞏固訓(xùn)練222【解析】1a+4b≥21a·4b=當(dāng)且僅當(dāng)1a=4b，即a=22，b=22時∴1a+4b的最小值為2探究2例2【解析】∵x>0，y>0，1x+9y=1，∴x+y=1x+9y·(x+y)=yx+9xy+10≥2yx·9xy+10=16，當(dāng)且僅當(dāng)yx變式探究1【解析】由2x+8y=xy，得y=2x∵x>0，y=2xx-8>0，∴x∴x+y=x+2xx-8=x+(2x-16)+16x-8=(x8)+16x-8+10≥2(x-8)·16x-變式探究2【解析】1x+9y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy≥10+2yx·9xy=16，當(dāng)且僅當(dāng)yx=9xy，x+y=1，即x=14鞏固訓(xùn)練【解析】(1)因為x，y>0，且x+2y=2xy，由基本不等式得2xy=x+2y≥22xy解得xy≥2，所以xy≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,x+2y所以xy的最小值為2.(2)因為x，y>0，且x+2y=2xy，所以12y+1x所以x+y=12y+1x(x+y)=x2y+yx+32≥2x2y當(dāng)且僅當(dāng)x2y=yx,所以x+y的最小值為32+2探究3例3【解析】(1)設(shè)每間虎籠的長為xm，寬為ym，則由條件得4x+6y=36，即2x+3y=18，設(shè)每間虎籠的面積為S，則S=xy.∵2x+3y≥22x·3y∴26xy≤18，得xy≤27即S≤272，當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時，等號成立由2x+3故每間虎籠的長為4.5m，寬為3m時，面積最大.(2)(法一)由條件知S=xy=24，設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為lm，則l=4x+6y.∵2x+3y≥22x·3y=2∴l(xiāng)=4x+6y=2(2x+3y)≥48，當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時，等號成立.由2x=3故每間虎籠的長為6m，寬為4m時，鋼筋網(wǎng)總長最小.(法二)由xy=24，得x=24y∴l(xiāng)=4x+6y=96y+6y=616y+y≥6×216y·y=48，當(dāng)且僅當(dāng)16y=y，即y=4時故每間虎籠的長為6m，寬為4m時，鋼筋網(wǎng)總長最小.鞏固訓(xùn)練【解析】由題意知，每平方米的平均購地費(fèi)用為2160×1042000∴每平方米的平均綜合費(fèi)用y=560+48x+10800x=560+48x+225x.當(dāng)x+225x取最小值時，y取得最小值∵x≥10，∴x+225x≥2x·225當(dāng)且僅當(dāng)x=225x，即x=15時，等號成立∴當(dāng)x=15時，y取得最小值，最小值為2000元.故該樓房建為15層時，每平方米的平均綜合費(fèi)用最少.隨堂檢測1.A【解析】xy=x·6y6≤16x+6y22=16×9=32，當(dāng)且僅當(dāng)x+62.D【解析】2a+b=2a+b·2a+1b=5+2ab+