專題26.5實際問題與二次函數(shù)（舉一反三講義） 【滬教版】TOC\o"13"\h\u【題型1銷售問題】 2【題型2拱門問題】 3【題型3投球問題】 6【題型4拱橋問題】 7【題型5隧道問題】 9【題型6噴水問題】 11【題型7跳躍問題】 13【題型8實物問題】 15【題型9情境問題】 18【題型10圖表問題】 22知識點利用二次函數(shù)解決實際問題1.一般步驟(1)審題意；(2)設(shè)未知量；(3)列關(guān)系式；(4)解答實際問題；(5)驗證結(jié)果是否符合實際．2.求二次函數(shù)最值將解析式寫成y=a(x??)2+k使用配方法，則當(dāng)x=?b2a時，3.實際問題與二次函數(shù)的聯(lián)系轉(zhuǎn)化【題型1銷售問題】【例1】（2025·黑龍江大慶·三模）某公司生產(chǎn)的商品的市場指導(dǎo)價為每件150元，公司的實際銷售價格可以浮動x個百分點（即銷售價格=150(1+x%)），經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品的日銷售量y（單位：件）與銷售價格浮動的百分點x之間的函數(shù)關(guān)系為y=?2x+24．若該公司按浮動?12個百分點的價格出售，每件商品仍可獲利10%．(1)求該公司生產(chǎn)銷售每件商品的成本為多少元；(2)當(dāng)實際銷售價格定為多少元時，日銷售利潤為660元？（說明：日銷售利潤=（銷售價格成本）×日銷售量．）(3)該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤（a≥1）給希望工程，公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，當(dāng)價格浮動的百分點大于?3時，扣除捐贈后的日銷售利潤隨x的增大而減小，直接寫出a【變式11】（2025·四川內(nèi)江·中考真題）2025年春節(jié)期間，我國國產(chǎn)動畫電影《哪吒之魔童鬧海》刷新了中國電影票房的新紀(jì)錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀(jì)念品．已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元．(1)求A、B兩款“哪吒”紀(jì)念品每個進價分別為多少元？(2)根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，如果該商家計劃用不超過12000元的資金購進A、B兩款“哪吒”紀(jì)念品共400個，那么至少需要購進B款紀(jì)念品多少個？(3)在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)每個A款紀(jì)念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設(shè)每個A款紀(jì)念品售價a60≤a≤100元，W表示該商家銷售A款紀(jì)念品的利潤（單位：元），求W關(guān)于a【變式12】（2025·四川達州·中考真題）為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創(chuàng)產(chǎn)品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當(dāng)售價為40元時，每天可以售出60件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可以多售出10件．(1)設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是_______件；(2)為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應(yīng)該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；(3)文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當(dāng)售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？【變式13】（2025·新疆·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一個小果園種植甲、乙兩種果樹，種植x棵甲果樹（x為正整數(shù)），每年所獲得的利潤W1（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為W1=?8x2+mx?60，且當(dāng)x=20時，W1=6340z（棵）1040W249207920(1)求出W1關(guān)于x，W2關(guān)于(2)若這個小果園計劃種植甲果樹的數(shù)量是乙果樹數(shù)量的一半，求當(dāng)種植多少棵甲果樹時，兩種果樹所獲得的年總利潤最大？最大是多少？【題型2拱門問題】【例2】（2025·陜西西安·三模）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖1是某高鐵站的一個檢票口，其大致示意圖如圖2所示，檢票口大門可看成是拋物線OPQ（點O與點Q關(guān)于拋物線的對稱軸對稱），OQ=8m，四邊形ACDB區(qū)域為檢票區(qū)域，點A與點B在拋物線上，已知檢票閘機高AC=EF=HN=BD=54m，AC、EF、HN、BD均與OQ垂直，A、E、H、B在一條水平直線上，O、C、F、N、D、Q在一條水平直線上，以O(shè)Q(1)求a的值和拋物線的對稱軸；(2)已知閘機AC與EF之間的區(qū)域為應(yīng)急通道，閘機EF與HN之間的區(qū)域為人工檢票通道，閘機HN與BD之間的區(qū)域為自動檢票通道，若應(yīng)急通道和人工檢票通道的寬度均為54m（即AE=【變式21】（2425九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）合肥老城西大門有一處城門橫斷面分為兩部分，上半部分為拋物線形狀，下半部分為正方形（四邊形OMNE為正方形），已知城門寬度為4米，最高處離地面6米，如圖1所示，現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在的直線為x軸，OE所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．(1)求出上半部分拋物線的函數(shù)表達式；(2)有一輛寬3.2米，高4.6米的貨車需要通過該城門進入城區(qū)（城門處為單向行駛道），請通過計算判斷該貨車能否安全通行．(3)由于城門年久失修，需要搭建一個矩形鞏固門（矩形ABCD），該鞏固門關(guān)于拋物線對稱軸對稱，如圖2所示，其中AB、AD、CD為三根承重鋼支架，點D在拋物線上，【變式22】（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為48m方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，點N在x軸上，方案二，拋物線型拱門的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計），方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面積記為S2，點A'，(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積S1并比較【變式23】如圖1，某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上．若將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．拱門上的點距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=(1)拱門上的點的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x23681012豎直高度y45.47.26.440根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出“門高”（拱門的最高點到地面的距離），并求出拱門上的點滿足的函數(shù)關(guān)系y=(2)一段時間后，公園重新維修拱門．新拱門上的點距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=?0.288(x?5)2+7.2，若記“原拱門”的跨度（跨度為拱門底部兩個端點間的距離）為d1，“新拱門”的跨度為d2，則d1【題型3投球問題】【例3】（2025·江西九江·一模）2024年我國運動員在巴黎奧運會上奪得網(wǎng)球項目女子單打金牌，實現(xiàn)了中國在該項目上的突破．已知網(wǎng)球比賽場地長AB為24米（其中A，B為邊界點），球場中心的球網(wǎng)OC高度為1米．建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系．運動員從點P?9,1.5處擊球，網(wǎng)球飛行路線呈拋物線形狀，網(wǎng)球飛行過程中在點D(1)求拋物線的解析式；(2)判斷此次擊球是否越過球網(wǎng)并落在對方區(qū)域內(nèi)（含邊界），并說明理由；(3)運動員在第二次擊球時仍然在點P處，通過擊球改變網(wǎng)球的飛行路線，其拋物線為y=mx【變式31】（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，小亮同學(xué)擲鉛球時，鉛球沿拋物線y=ax?32+2.5運行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度．若鉛球拋出時離地面的高度OA為1.6m【變式32】（2025·河南開封·二模）某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了一個投擲乒乓球游戲：將一個無蓋的長方體盒子放在水平地面上，從箱外向箱內(nèi)投乒乓球．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（長方形ABCD為箱子截面圖，x軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，AB=CD=1米，OB(1)求拋物線的解析式；(2)小明拋出的乒乓球能不能投入箱子，請通過計算說明．【變式33】（2025·河北唐山·三模）如圖，為排球運動場地示意圖，球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24m，球網(wǎng)距離球場左、右邊界均為9m．排球發(fā)出后其運動路線可以看作是對稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分，某次發(fā)球，排球從左邊界的正上方發(fā)出，擊球點的高度為?m，當(dāng)排球運動到水平距離球網(wǎng)3m時達到最大高度2.5m，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)當(dāng)?=7①求拋物線的表達式；②求排球是否能過球網(wǎng)？是否出邊界？(2)若排球既能過網(wǎng)（不觸網(wǎng)），又不出界（不接觸邊界），直接寫出?的取值范圍．【題型4拱橋問題】【例4】（2025·福建三明·三模）圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20m，拱頂離水面5m，以拱橋的頂點為坐標(biāo)原點，拋物線對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求此拋物線的解析式；(2)當(dāng)該河段水位再漲1.8m達到最高時，有一艘貨船它露出水面高2.2m，船體寬8m，需要從拱橋下通過，請通過計算判斷該貨船是否能順利通行．(3)為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛0.4m長的燈籠．如圖3，為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m（此時水面是指（2）中最高水位的水面）；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．請設(shè)計懸掛方案，并說明懸掛的燈籠數(shù)量最多可以是多少個．【變式41】（2025·廣東·中考真題）如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7?km，主塔高0.27?km，主纜可視為拋物線，主纜垂度0.1785?km，主纜最低處距離橋面0.0015?km，橋面距離海平面約0.09?km．請在示意圖中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求該拋物線的表達式．【變式42】（2025·陜西咸陽·三模）一座拱橋其中一段的橫截面為拋物線型，如圖所示，線段OC表示水面，橋墩跨度AB為20m，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)C所在直線為x軸，以過點O且垂直于x軸的直線OA為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知：左右兩邊的橋墩相同，高度OA=BC=4.3m，拋物線的頂點M到x(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)節(jié)日為了慶祝，決定在該橋上共掛三串彩燈，第一串彩燈EF平行于水面掛設(shè)，彩燈兩端E，F(xiàn)皆在拋物線上，另外兩串彩燈EG，F(xiàn)H都垂直于水面掛設(shè)，且點G，H距離水面1m，求掛設(shè)的三串彩燈EF，EG，F(xiàn)H長度和的最大值．【變式43】（2025·貴州黔東南·三模）趙州橋又稱安濟橋，坐落在河北省石家莊市趙縣的洨河上，橫跨在河面上，因橋體全部用石料建成，當(dāng)?shù)胤Q作“大石橋”．如圖，橋拱的拱形看成二次函數(shù)，以此時水平面為橫坐標(biāo)建立坐標(biāo)，水面AB的寬為36米．水面AB離橋拱頂點C的高度18米．(1)請你求出二次函數(shù)的表達式．(2)在二次函數(shù)的對稱軸上，是否存在一點P，使得PA+PO的值最小，若有，求出(3)春夏之季，河水上漲，洨河上吸引無數(shù)游客旅游、觀光，一艘游船（水面以上部分近似的看成長14米，寬4米，高2.5米的長方體）行駛在河面上，此時的水面離橋拱頂點C的高度7米，游船是否能順利通過趙州橋，請計算說明．【題型5隧道問題】【例5】（2025·陜西商洛·三模）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線形，如圖所示，線段AB表示水平的路面，點O為AB的中點，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以AB所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計要求：拋物線底面寬度AB=12米，該拋物線的頂點P到AB(1)求該隧道截面所在拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖，現(xiàn)需在隧道上方安裝一塊高度為1米，寬度為3米的長方形LED電子顯示屏CDEF，確保行車安全，要求電子顯示屏距地面至少6米，并且距左右墻需各留至少0.5米的安全距離，試通過計算說明能否滿足安裝設(shè)計要求．【變式51】（2025·河南周口·一模）如圖1，這是鄭欒高速的始祖山隧道，它位于新鄭市和禹州市交界地帶上，是一座上下行分離的四車道高速公路長隧道．如圖2是單向隧道的示意圖，洞寬AG=11.5米，其中兩側(cè)分別設(shè)人行檢修道AB=FG=1米，左側(cè)設(shè)側(cè)向?qū)挾菳C=0.75米，右側(cè)設(shè)側(cè)向?qū)挾菶F=1.25米，行車道寬CD=DE=3.75米．假設(shè)隧道的輪廓為拋物線，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy(1)求該拋物線的解析式．(2)如果一貨運汽車裝載貨物后的高度為4.6米，寬度為2.25米．隧道內(nèi)兩個行車道用實線隔開（實線的寬度忽略不計），不允許車輛隨意變道．試通過計算說明這輛貨車能否安全通過這個隧道？如果能，請指出該貨車應(yīng)按哪個車道行駛；如果不能，請說明理由．【變式52】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）白鹿原隧道被稱為“中國最大斷面黃土隧道”，它的截面近似看作拋物線，某數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究隧道的截面，建立如圖坐標(biāo)系，已知隧道的凈寬OM約為18米，凈高（即拋物線最高點到地面的距離）約為12米．在隧道施工過程中，需要一個“凸”字形的支架支撐隧道的頂部，支架的下部分和上部分都分別由矩形ABCD和矩形EFGH組成，已知下部分矩形的長BC=12米，上部分矩形的長寬比（即EH:GH=3:2），點A，D，(1)求隧道截面拋物線的解析式；(2)請確定支撐點H的位置（即點H的坐標(biāo)）．【變式53】（2025·新疆·中考真題）天山勝利隧道預(yù)計于2025年建成通車，它將成為世界上最長的高速公路隧道，能大大提升區(qū)域交通效率，促進經(jīng)濟發(fā)展．如圖是隧道截面圖，其輪廓可近似看作是拋物線的一部分．若隧道底部寬12米，高8米，按照如圖所示的方式建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)該隧道設(shè)計為單向雙車道通行，車輛頂部在豎直方向上與隧道的空隙不少于0.5米，當(dāng)兩輛車在隧道內(nèi)并排行駛時，需沿中心線兩側(cè)行駛，且兩車至少間隔2米（中心線寬度不計）．若寬3米，高3.5米的兩輛車并排行駛，能否安全通過？請說明理由．【題型6噴水問題】【例6】（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測）某景觀公園內(nèi)圓形人工湖中心有一噴泉，在人工湖中央垂直于水面安裝一個柱子，安置在柱子頂端的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下．愛思考的小敏發(fā)現(xiàn)，如果設(shè)距噴水柱子的水平距離為d米，噴出的拋物線形水線距離湖面高度為?米，?與d的數(shù)量變化有一定規(guī)律．【提出問題】噴出的拋物線形水線距離湖面高度為?米與距噴水的柱子的水平距離d米，?與d之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？【分析問題】小敏對某個方向噴水的路徑測量和計算得出如下數(shù)據(jù)：d（米）…01234…?（米）…52925…【解決問題】(1)在建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑曲線連接；(2)已知?與d之間存在已學(xué)過的某種函數(shù)關(guān)系，請結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)和所畫出的圖象，求出?與d之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立一個新的游玩項目，使公園的平頂游船能從噴泉最高點的正下方通過．如果游船寬度為2.4米，頂棚到水面的高度為2米，為了避免游船被淋到，頂棚到水柱的垂直距離不小于0.2米，問游船能否順利通過？說明理由．(4)如圖2，若從安全的角度考慮，需要在這個噴泉外圍設(shè)立一圈圓形護欄．這個噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點到護欄的距離不能小于1米，請通過計算說明公園至少需要準(zhǔn)備多少米的護欄？（結(jié)果保留π）【變式61】（2425八年級下·福建福州·期末）項目學(xué)習(xí)實踐項目主題：合理設(shè)置智慧灑水車噴頭項目背景：灑水車是城市綠化的生力軍，清掃道路，美化市容，降溫除塵，環(huán)保綠化．如圖1，一輛灑水車正在沿著公路行駛（平行于綠化帶），為綠化帶澆水．?dāng)?shù)學(xué)小組成員想了解灑水車要如何把控行駛路線與綠化帶之間的距離，才能保證噴出的水澆灌到整個綠化帶．圍繞這個問題，該小組開展了“合理設(shè)置智慧灑水車噴頭”為主題的項目式學(xué)習(xí)．任務(wù)一：測量建模利用圖1實際測量數(shù)據(jù)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灑水車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，噴水口H離地面豎直高度?為1.2米．上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米；（1）請你求出上邊緣拋物線的函數(shù)解析式；任務(wù)二：推理分析小組成員通過進一步分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)噴頭灑水進行調(diào)整時，噴頭噴出的水柱拋物線形狀不發(fā)生改變，即下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，（2）請你結(jié)合模型探究下邊緣拋物線與x軸交點B的坐標(biāo)；任務(wù)三：實踐探究如果我們把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=1.8米，豎直高度EF=1.1米，灑水車到綠化帶的距離OD為（3）當(dāng)調(diào)整與綠化帶距離為d=2.2【變式62】（2025·寧夏銀川·模擬預(yù)測）為了提升高樓火災(zāi)滅火技能，某消防大隊選擇了一個廢棄的高樓進行演練；以大樓起火側(cè)面所在直線為y軸，水平地面為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知消防車噴水口在距離大樓起火側(cè)面16米、高4米的點G處，噴出的水流形狀是拋物線y=(1)求a的值．(2)若該樓距離地面21米處出現(xiàn)一個起火點，此時消防車該如何行進，才能使噴出的水流滅掉該起火點？(3)若火勢蔓延到距離地面36米處，于是消防車打算采用伸長伸縮臂GH的方法滅火，阻止火勢進一步蔓延，已知伸縮臂與水平方向的夾角為α，且tanα=2，伸縮臂伸長不超過【變式63】（2025·河南濮陽·一模）在節(jié)假日期間，濮陽龍湖論語廣場的音樂噴泉上演了絢麗的燈光秀．隨著音樂的節(jié)拍，噴泉的水線起伏跳躍，勾勒出迷人的拋物線圖案．假設(shè)噴泉的出水口為坐標(biāo)原點，出水口離岸邊18米．隨著音樂的變化，拋物線的頂點在直線y=kxk(1)若k=①若噴出的水恰好達到岸邊，則此時噴出的拋物線形水線最大高度是多少米？②若噴出的拋物線形水線最大高度為4m，求a、b的值；(2)當(dāng)音樂節(jié)奏加快，拋物線的頂點在直線y=x上，噴出的水不能觸及岸邊．請直接寫出此時【題型7跳躍問題】【例7】（2425九年級上·廣東汕尾·階段練習(xí)）學(xué)科實踐【任務(wù)驅(qū)動】：2024年世界泳聯(lián)跳水世界杯第三站暨超級總決賽于4月19日至21日在中國陜西省西安市成功舉辦，中國國家跳水隊以8金1銀總獎牌9枚完美收官，進一步激發(fā)各地跳水運動員訓(xùn)練的熱情，數(shù)學(xué)小組對跳水運動員跳水訓(xùn)練進行實踐調(diào)查．【研究步驟】：如圖，某跳水運動員在10米跳臺上進行跳水訓(xùn)練，水面與y軸交于點E0,?10，運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經(jīng)過原點O的拋物線y=?x?3【問題解決】：請根據(jù)上述研究步驟與相關(guān)數(shù)據(jù)，完成下列任務(wù)．（1）直接寫出運動員在空中最高處點A的坐標(biāo)及入水處點B的坐標(biāo)．（2）若運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，恰好與y軸的水平距離為3米，問該運動員此次跳水會不會失誤？說明理由．（3）在該運動員入水處點B正前方有M，N兩點，且EM=6，EN=8，該運動員入水后運動路線對應(yīng)的拋物線的解析式為y=(x??)2+k．若該運動員出水處點D【變式71】中考體育考試規(guī)定男生立定跳遠滿分為2.5m，如圖①，小勇立定跳遠為2.4m，小聰發(fā)現(xiàn)小勇立定跳遠時腳的運動軌跡可近似看作拋物線，通過電子儀器測量得到小勇跳遠時腳離地面的最高距離為72cm，如圖②，以小勇起跳點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，小勇落地點為A，最高點為B．

(1)求小勇跳遠時拋物線的表達式；(2)體育老師告訴小勇他的跳遠姿勢不對，調(diào)整跳遠姿勢后，小勇恰好跳到了2.5m處，并在1.2m處通過電子儀器測得小勇腳離地面的高度為0.624m．①求小勇跳到最高處時腳離地面的高度；②若男生立定跳遠及格線為185cm，求小勇在立定跳遠過程中到及格線時腳離地面的高度．【變式72】如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，籃球運行的水平距離為2.5米時達到最大高度，在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，拋物線的表達式為y=?0.2(1)求籃圈中心到地面的距離為多少米．(2)該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？(3)籃球被投出后，對方一名近身防守運動員跳起蓋帽，這名防守運動員最大能摸高3.05m，若他想蓋帽成功，則兩名運動員之間的距離不能超過多少米？（直接寫出答案）【變式73】某游戲愛好者設(shè)計了一款“袋鼠跳”的游戲．其中某一環(huán)節(jié)的游戲規(guī)則為：袋鼠需按同一角度、方向和力度完成兩段連續(xù)跳躍（兩段跳躍的運動軌跡呈現(xiàn)的拋物線形狀相同），若跳躍后到達點C處即可通關(guān)，否則不能通關(guān)．如圖，袋鼠運動軌跡近似為拋物線的一部分，已知袋鼠第一段（O→B）跳躍軌跡的最高點A到地面的距離為3m，與起跳點O的水平距離為6m，點B與起跳點O的水平距離為9m；點C與點B的水平距離為3m，點C到地面的距離為5m．以起跳點O為原點，地面所在水平方向為x軸，過點O垂直于x軸的方向為(1)求該袋鼠第一段（O→(2)請判斷該袋鼠是否能通關(guān)，并說明理由．【題型8實物問題】【例8】【綜合探究】運用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘．如圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗，它們的葉片形狀都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．【探究一】確定心形葉片的形狀(1)如圖3，建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)y=ax2?4ax?4a+1【探究二】探究心形葉片的寬度(2)如圖3，在(1)的條件下，心形葉片的對稱軸(直線y=x+1)與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，拋物線與x軸交于另一點C，點C，C?是葉片上的一對對稱點，CC?交直線AB于點G.求葉片此處的寬度CC?．【探究三】探究幼苗葉片的長度(3)小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y=ax2?4ax?4a+1圖象的一部分；如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)探究一中的拋物線．已知直線PD(點P為葉尖)與水平線的夾角為45°，求幼苗葉片的長度【變式81】（2025·河南駐馬店·三模）某校為準(zhǔn)備建校二十周年慶典活動，在操場上布置一個舞臺，需要搭一條拋物線型燈鏈，最初的設(shè)計方案如圖1所示，燈鏈兩端連接等高的A，B兩點，點C、D分別位于點B、A正下方的地面處，且C、D的水平距離為6米．點O在線段CD上，且OD=5米．以O(shè)為原點，以O(shè)D所在直線為x軸，垂直O(jiān)D的直線OP為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點P為拋物線與y軸交點，圖2描畫的是部分拋物線圖象，點A?5,4.05，點(1)求圖2中第二象限內(nèi)的拋物線表達式；（不必寫出自變量的取值范圍）(2)為使燈鏈造型更加美觀，對方案進行修改：以y軸為對稱軸構(gòu)造AP段拋物線的軸對稱圖形，形成一個“類W組合拋物線”．①直接寫出第一象限內(nèi)的拋物線表達式；（不必寫出自變量的取值范圍）②若在組合拋物線燈鏈上掛兩個燈籠，且兩燈籠離地面的高度均為2.05米，求兩個燈籠之間的最大水平距離．【變式82】（2025·陜西咸陽·二模）如圖，這是U型滑板場地軌道示意圖，兩側(cè)AB和CD是各自所在拋物線的一部分，B,C分別為其所在拋物線的最低點，且軌道AB和CD所在拋物線的形狀相同，其中OA=DE=OB=CE=5m,BC=4m．為了確保場地安全，需在軌道AB左側(cè)和CD右側(cè)進行加固，安裝統(tǒng)一規(guī)格的支架，兩側(cè)的支架完全一致，其中AB左側(cè)的支架由FM,GN,PF,(1)求軌道AB所在拋物線的函數(shù)表達式．(2)支架的要求為FM,GN,KL,HR垂直于線段BC所在的直線，【變式83】（2025·內(nèi)蒙古·中考真題）問題背景：綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們設(shè)計一個家電裝置圖案，某小組設(shè)計的效果圖如圖所示．外形參數(shù)：如圖1，裝置整體圖案為軸對稱圖形，外形由上方的拋物線L1，中間的矩形ABCD和下方的拋物線L2組成．拋物線L1的高度為8cm，矩形ABCD的邊AB=8cm，BC=6cm，拋物線L2的高度為4cm．在裝置內(nèi)部安裝矩形電子顯示屏EFGH，點E，F(xiàn)在拋物線L2問題解決：如圖2，該小組以矩形ABCD的頂點A為原點，以AB邊所在的直線為x軸，以AD邊所在的直線為y軸．建立平面直角坐標(biāo)系．請結(jié)合外形參數(shù)，完成以下任務(wù)：(1)直接寫出B，C，D三點的坐標(biāo)；(2)直接寫出拋物線L1和L2的頂點坐標(biāo)，并分別求出拋物線L1(3)為滿足矩形電子顯示屏EFGH的空間要求，需要EH邊的長為15cm，求此時EF邊的長．【題型9情境問題】【例9】（2025·廣東深圳·中考真題）綜合與實踐【問題背景】排隊是生活中常見的場景，如圖，某數(shù)學(xué)小組針對某次演出，研究了排隊人數(shù)與安檢時間，安排通道數(shù)之間的關(guān)系．【研究條件】條件1：觀眾進場立即排隊安檢，在任意時刻都滿足：排隊人數(shù)=現(xiàn)場總?cè)藬?shù)已入場人數(shù)；條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人．【模型構(gòu)建】若該演出前30分鐘開始進行安檢，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)場總?cè)藬?shù)y與安檢時間x之間滿足關(guān)系式：y結(jié)合上述信息，請完成下述問題：（1）當(dāng)開通3條安檢通道時，安檢時間x分鐘時，已入場人數(shù)為__________，排隊人數(shù)w與安檢時間x的函數(shù)關(guān)系式為_________.【模型應(yīng)用】（2）在（1）的條件下，排隊人數(shù)在第幾分鐘達到最大值，最大人數(shù)為多少？（3）已知該演出主辦方要求：①排隊人數(shù)在安檢開始10分鐘內(nèi)（包含10分鐘）減少；②盡量少安排安檢通道，以節(jié)省開支．若同時滿足以上兩個要求，可開設(shè)幾條安檢通道，請說明理由?【總結(jié)反思】函數(shù)可刻畫生活實際場景，但要注意驗證模型的正確性，未來可結(jié)合更多變量（如突發(fā)情況、安檢流程優(yōu)化等）進行更深入的分析，以提高模型的準(zhǔn)確性和實用性．【變式91】（2025·山西·模擬預(yù)測）綜合與實踐問題情境：無人機憑借其靈活，不受場地限制的特點，已在多個領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)廣泛應(yīng)用．當(dāng)無人機在空中向平坦地面投放物資時，理想狀態(tài)下(忽略空氣阻力)，物資的運動路徑可近似用拋物線描述，其豎直高度y與距投放點的水平距離x之間的函數(shù)表達式為y=??g2v2x2．其中，?表示投放物資時無人機與水平地面的豎直距離(單位：米)，v實踐探究：如圖，1號無人機在空中以v=20米/秒的速度向平坦地面投放物資A，2號無人機在1號無人機豎直上方100米處以v=10米/秒的速度，投放物資B，已知1號，2號無人機及物資A，B的落點在同一豎直平面內(nèi)，以投放點所在豎直線為y軸，水平地面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，物資A的運動路徑即為拋物線y1，物資B問題解決：(1)請結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)，求拋物線y1(2)請求出兩物資落點間的水平距離；(3)多機同時投放物資時，可能存在物資相撞的問題．①若1，2號無人機同時投放物資A，B，請直接寫出兩物資相撞時與水平地面的豎直距離；②由于實際投放需求，1，2號無人機需同時投放物資A，B，且物資落點不變，為避免A，B兩物資相撞，在保持1，2號無人機仍在同一豎直線上投放的前提下，僅通過改變2號無人機的投放高度及水平初速度解決該問題，已知無人機投放物資的最低飛行高度要求為50米，求2號無人機投放物資B的水平初速度v的取值范圍（兩無人機不能在同一點同時投放）．【變式92】（2025·廣西崇左·三模）綜合與實踐【問題情境】在校園運動會開幕式中，如圖，運動會火炬手小明需要用火種點燃的箭頭，然后射向距離發(fā)射點水平距離為70米、距地面的豎直高度為20米處的一個點火臺上，已知點火臺是一個弓形，其中AB=4米，且EF垂直平分AB這支箭（大小忽略不計）飛行的軌跡可以看作是拋物線的一部分．記這支箭飛行的水平距離為d（單位：m），距地面的豎直高度為hd010203040506070?/m1.510.517.522.525.526.525.5k【問題解決】(1)k的值為．(2)在平面直角坐標(biāo)系中，描點，并用平滑的曲線將8個點依次連接；(3)求出h與d的函數(shù)解析式；(4)小明射出的箭的運動軌跡與線段AB有公共點時，說明這支箭就可以射入點火臺內(nèi)了，請判斷小明射出的箭是否射入了點火臺內(nèi)？說明理由．【變式93】（2025·安徽合肥·三模）問題情境：如圖1，矩形MNKL是學(xué)?；▓@的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點A,B在矩形的邊方案設(shè)計：如圖2，AB=8米，AB的垂直平分線與拋物線交于點P，與AB交于點O，點P是拋物線的頂點，且PO第一步：在線段OP上確定點C，使∠ACB=90°，用籬笆沿線段AC,第二步：在線段CP上取點F（不與C,P重合），過點F作AB的平行線，交拋物線于點D，E．用籬笆沿DE,方案實施：學(xué)校采用了玥玥的方案，在完成第一步△ABC區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩9米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需確定DE與CF(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)9米材料恰好用完時，分別求DE與CF的長；(3)種植區(qū)域分隔完成后，玥玥又想用燈帶對該花壇進行裝飾，計劃將燈帶圍成一個矩形．她嘗試借助圖2設(shè)計矩形四個頂點的位置，其中兩個頂點在拋物線上，另外兩個頂點分別在線段AC,【題型10圖表問題】【例10】（2025·遼寧·中考真題）為方便懸掛電子屏幕，學(xué)校需要在校門上方的拋物線形框架結(jié)構(gòu)上增加立柱．為此，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了綜合與實踐活動，記錄如下：活動主題為校門上方的拋物線形框架結(jié)構(gòu)增加立柱活動準(zhǔn)備1．去學(xué)校檔案館查閱框架結(jié)構(gòu)的圖紙；2．準(zhǔn)備皮尺等測量工具．采集數(shù)據(jù)圖1是校門及上方拋物線形框架結(jié)構(gòu)的平面示意圖，信息如下：1．大門形狀為矩形（矩形ABCD）；2．底部跨度（AD的長）為8m；3．立柱OE的長為2m，且OE⊥AD，垂足為設(shè)計方案考慮實用和美觀等因素，在A,D間增加兩根與AD垂直的立柱，垂足分別為M1,M確定思路小組成員經(jīng)過討論，確定以點O為坐標(biāo)原點，線段AD所在直線為x軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．點E的坐標(biāo)為0,2，設(shè)拋物線的表達式為y=ax2+2根據(jù)以上信息，解決下列問題：(1)求拋物線的表達式；(2)現(xiàn)有一根長度為2m的材料，如果用它制作這兩根立柱，請你通過計算，判斷這根材料的長度是否夠用（因施工產(chǎn)生的材料長度變化忽略不計）【變式101】（2025·廣東深圳·三模）隨著城市短距離出行需求的變化，共享滑板車成為一種新興的出行方式．某共享出行公司在A、B兩個區(qū)域投放共享滑板車，相關(guān)信息如下：信息1A區(qū)域初始投放了100輛共享滑板車，B區(qū)域初始投放了20輛．將一輛滑板車從A區(qū)域調(diào)配到B區(qū)域，包含車輛運輸與系統(tǒng)重置在內(nèi)，成本為100元；公司基于運營數(shù)據(jù)和區(qū)域需求預(yù)測，規(guī)定每次只能從A區(qū)域向B區(qū)域調(diào)配滑板車，且調(diào)配數(shù)量不能超過20輛信息2B區(qū)域共享滑板車的日租借率會隨著從A區(qū)域調(diào)配來的滑板車數(shù)量變化．當(dāng)從A區(qū)域調(diào)配x輛滑板車到B區(qū)域時，B區(qū)域共享滑板車的日租借率為50%+5%x，但受限于B區(qū)域的停車空間和市場容量，日租借率最高不超過信息3每輛共享滑板車成功租借一次，公司可獲得10元收入問題1在信息一的條件下，若從A區(qū)域調(diào)配x輛滑板車到B區(qū)域，用含x的式子表示調(diào)配這些滑板車的總成本y（元），并寫出x的取值范圍問題2在滿足信息二的條件下，求B區(qū)域共享滑板車的公司日租借收入W關(guān)于x的