第3章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)（復(fù)習講義）1.理解指數(shù)冪的擴展過程：從整數(shù)指數(shù)冪到分數(shù)指數(shù)冪（根式）再到實數(shù)指數(shù)冪，明確拓展的意義和合理性.2.掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化：熟練進行根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的轉(zhuǎn)換，理解運算的等價性.3.應(yīng)用指數(shù)冪的表示：能利用分數(shù)指數(shù)冪表示和計算根式問題.4.掌握實數(shù)指數(shù)冪的運算規(guī)則：熟練應(yīng)用指數(shù)冪的運算性質(zhì)（同底數(shù)冪相乘、相除，冪的乘方，積的乘方等）進行化簡與計算.5.理解指數(shù)函數(shù)的概念：掌握指數(shù)函數(shù)的定義（形如

y=ax（a>0

且

a=1）的函數(shù)），明確底數(shù)的限制條件.6.探究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：能繪制指數(shù)函數(shù)的圖象，理解底數(shù)

a

對函數(shù)單調(diào)性的影響（a>1

時遞增，0<a<1

時遞減）.歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、過定點、單調(diào)性等）.7.培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力：通過指數(shù)運算的練習，提升數(shù)學(xué)運算的準確性和靈活性.發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提升解決實際問題的能力.8.解決實際問題：能利用指數(shù)函數(shù)解決實際問題（如復(fù)利、人口增長等模型）.●一、指數(shù)冪的拓展(1)冪的有關(guān)概念①正分數(shù)指數(shù)冪：aeq\s\up12(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②負分數(shù)指數(shù)冪：aeq\s\up12(－eq\f(m,n))＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．提醒：有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中，要求底數(shù)都大于0，否則不能用性質(zhì)來運算．●二、指數(shù)冪的運算性質(zhì)①aras＝ar＋s(a＞0)；②(ar)s＝ars(a＞0)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0)．●三、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念：1.函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，a是底數(shù).2.基本性質(zhì)：（1）定義域為R，函數(shù)值大于零；（2）圖象過定點（0,1）.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：1.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域為eq\a\vs4\al(R)；值域為(0，＋∞)函數(shù)圖象過定點(0,1)，即當x＝eq\a\vs4\al(0)時，y＝eq\a\vs4\al(1)當x>0時，恒有y>1；當x>0時，恒有0<y<1；當x<0時，恒有0<y<1當x<0時，恒有y>1函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)2.對于函數(shù)y＝ax和y＝bx）（a>b>1）當x<0時，0<ax<bx<1;當x=0時，0=ax=bx=1;當x>0時，ax>bx>1.3.幾個結(jié)論：（1）指數(shù)函數(shù)圖象的畫法（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．題型一題型一根式的化簡與求值【例1】（2425高一上·全國·課前預(yù)習）計算下列各題：【分析】（1）利用根式的運算化簡即可；（2）利用根式的運算化簡即可.【變式11】（多選）（2526高一上·全國·開學(xué)考試）下列說法不正確的是（）A．的平方根是 B．負數(shù)沒有立方根【答案】ABD【分析】利用根式的性質(zhì)化簡判斷即可.【詳解】A選項：因為＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故選項A不正確，符合題意;B選項：由立方根的性質(zhì)可知負數(shù)的立方根是負數(shù)，故選項B不正確，符合題意；D選項：由立方根的性質(zhì)可知1的立方根是1，故選項D不正確，符合題意．故選：ABD．【分析】結(jié)合根式的性質(zhì)化簡求解即可.題型題型二分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化【例2】（多選）（2324高一上·安徽淮南·階段練習）下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）【答案】ACD【分析】根據(jù)根式與分數(shù)指數(shù)冪的化簡計算可得結(jié)果.故選：ACD【答案】【分析】利用根式與指數(shù)冪的互化、指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡可得結(jié)果.故答案為：.【答案】【分析】化根式為分數(shù)指數(shù)冪即可列式計算得答案.故答案為：.題型題型三指數(shù)冪的運算A．11 B．14 C．30 D．45【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運算法則計算得解.故選：D【變式32】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）計算下列各式：【答案】(1)18(2)【分析】由指數(shù)冪的運算性質(zhì)，化簡計算各式的值即可．題型題型四指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解即可；（2）利用完全平方公式進行求值（3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可.【變式41】（多選）（2526高一上·全國·課后作業(yè)）下列運算（化簡）中正確的有（）．【答案】ABD【分析】根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算法則，對四個選項分別計算、求值，從而得解．故選：ABD.題型題型五指數(shù)函數(shù)的解析式、求值A(chǔ)．1 B．2 C．4 D．8【答案】B故選：B.【答案】B故選：B.A．3 B．6 C．9 D．27【答案】C故選：C題型題型六根據(jù)指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)的定義列出限制條件，求解不等式組可得答案.故選：C【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)函數(shù)的定義，即可求解.故選：A.【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義求參.所以a=2.故選：A.題型題型七判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀A(yù)． B．C． D．【答案】A故選：A【答案】B故選：B【答案】A【分析】根據(jù)各選項中的圖象，由一次函數(shù)的圖象確定的取值情況，再由指數(shù)型函數(shù)圖象判斷特征判斷即可.故選：A題型題型八根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象求參數(shù)范圍【答案】A故選：A.【答案】D故選：D．【答案】B作出函數(shù)圖象如下，故選:B.題型題型九指數(shù)函數(shù)圖象過定點問題A． B． C． D．3【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定定點坐標，即可得.故選：C【答案】C故選：C.題型題型十指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【答案】D【解析】【分析】【詳解】故選：D.【答案】ABC故選：ABC題型題型十一指數(shù)（型）函數(shù)的定義域問題【答案】D故選：D.【答案】C【分析】根據(jù)被開方式大于等于0求解定義域，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.故選：C【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分母不為零、交集思想進行求解即可.故選：D題型題型十二指數(shù)函數(shù)在區(qū)間的值域問題【答案】B故選：B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【變式122】（2425高一上·全國·課前預(yù)習）求下列函數(shù)的定義域與值域【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和分母不為0進行求解即可.（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域和性質(zhì)進行求解即可.（2）函數(shù)的定義域為．題型題型十三根據(jù)指數(shù)型函數(shù)值域求參數(shù)【答案】B【分析】結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)先求出定義域，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的及二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域，即可求解.故選：B.【答案】C故選：C.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C故選：C題型題型十四指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性判斷與單調(diào)區(qū)間冪函數(shù)相關(guān)定義域問題【分析】應(yīng)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解.【答案】D【分析】根據(jù)常見冪函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷即可.故選：D.【答案】A故選：A.題型題型十五求指數(shù)型函數(shù)的最值【答案】(1)2【答案】最小值，最大值3.（2）利用換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.關(guān)于對稱，題型題型十六根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的最值求參數(shù)【分析】（1）利用換元法結(jié)合同增異減可求參數(shù)的取值范圍；（2）利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù)的值.的值為.題型題型十七比較指數(shù)冪的大小問題【例17】（多選）（2526高一上·全國·課后作業(yè)）下列大小關(guān)系正確的是（）【答案】BD【分析】A，C項同底，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)；B項同指數(shù)，構(gòu)造冪函數(shù)；項不同底不同指，借助中間值“1”判斷．故選：BD．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.故選：C.【答案】C故選：C.題型題型十八解不等式問題【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式故選：D【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得出結(jié)果．故選：B．【答案】B故選：B.題型題型十九實際應(yīng)用問題【例19】（2526高一上·全國·單元測試）某學(xué)校一個課外實驗小組研究某種植物在一定條件下的生長規(guī)律，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可知，在相同條件下，這種植物每天以的增長率生長，8天后，該植物的長度是原來的倍，則24天后該植物的長度是原來的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【詳解】方法1設(shè)植物原來長度為m，8天后，該植物的長度是原來的倍，所以24天后該植物的長度是原來的倍．即24天后該植物的長度是原來的倍．故選：C【答案】C故選：C.【答案】C故選：C．題型題型二十根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【答案】B故選：B．【答案】A故選：A.題型題型二十一指數(shù)型函數(shù)相關(guān)奇偶性、單調(diào)性綜合問題【答案】D【答案】ACD題型題型二十二指數(shù)型函數(shù)、不等式綜合問題(1)求的值；【答案】(1)基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及縱截距即可判斷結(jié)果.故選：BA． B． C．1 D．2【答案】B故選：B.A．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可.故選：A.【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．故選：D【答案】A故選：A.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、求已知指數(shù)型函數(shù)的最值故選：A．A． B．2或 C． D．或【答案】D【分析】由的范圍討論單調(diào)性，確定最值即可求解．所以實數(shù)的值為或．故選：D.【答案】B【分析】分別對進行討論分析，得到相應(yīng)的函數(shù)圖象，與已知圖象進行對比，可得正確答案.故選：B.【答案】AC【分析】對于A、B選項，利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即得；對于C、D選項，利用二次函數(shù)的值域和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得最值判斷.故選：AC【答案】AC故選：AC.【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，及指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間值域，結(jié)合函數(shù)值域求參數(shù)范圍.【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)的解析式.能力提升進階練能力提升進階練【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明.【答案】(1)1【分析】（1）代入函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)冪的運算，即可求解；(2)證明見解析【分析】（1）直接利用