專題3.1方程、一元一次方程及其解法（舉一反三講義） 【滬科版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1（一元一次）方程的概念】 5【題型2列方程】 6【題型3由（一元一次）方程的解求代數(shù)式的值】 8【題型4由等式的性質(zhì)判斷變形正誤】 9【題型5由等式的性質(zhì)比較大小】 12【題型6由兩個(gè)一元一次方程解之間的關(guān)系求字母的值】 14【題型7一元一次方程的整數(shù)解問題】 16【題型8由一元一次方程的解的情況求值】 18【題型9錯(cuò)看或錯(cuò)解一元一次方程問題】 20【題型10一元一次方程的遮擋問題】 23【題型11整體換元求一元一次方程的解】 25【題型12解含有絕對(duì)值的方程】 27知識(shí)點(diǎn)1方程含有未知數(shù)的等式叫作方程．例如：x=0，2x=5，y+3=?5，a2知識(shí)點(diǎn)2方程的解與解方程1.一般地，使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解．例如：x=2是方程2x2.求方程的解的過程，叫作解方程．知識(shí)點(diǎn)3一元一次方程的概念1.一般地，如果方程中只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫作一元一次方程．例如：x=1，2x?1=x2.一元一次方程的最簡形式為x=b3.一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為ax+b=0(a≠知識(shí)點(diǎn)4列簡單的一元一次方程列方程就是把實(shí)際問題中的等量關(guān)系用方程的形式表示出來．列方程的一般步驟如下：（1）審：仔細(xì)審題，弄清題中的已知量、未知量和相等關(guān)系；（2）設(shè)：設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，并把與相等關(guān)系有關(guān)的量用未知數(shù)表示出來；（3）列：根據(jù)題中等量關(guān)系列出一元一次方程．知識(shí)點(diǎn)5等式的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容字母表示示例兩個(gè)基本事實(shí)對(duì)稱性：如果a=b，那么傳遞性：如果a=b，若a=2，則2性質(zhì)1等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等如果a=b，若a=b，性質(zhì)2等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等如果a=b，那么ac=若a=b，則a知識(shí)點(diǎn)6合并同類項(xiàng)與系數(shù)化為11.合并同類項(xiàng)將一元一次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)分別合并，使方程轉(zhuǎn)化為ax=b(a≠0)2.系數(shù)化為1方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)，使一元一次方程ax=b(a≠0)變形為x=ba(a≠0)的形式，變形的依據(jù)是等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．例如，解方程：x+2x=6?3，合并同類項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)7移項(xiàng)法解一元一次方程1.移項(xiàng)（1）把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫作移項(xiàng)．（2）移項(xiàng)的目的：使含有未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)分別位于方程的兩邊，以便為下一步合并同類項(xiàng)創(chuàng)造條件．移項(xiàng)的依據(jù)是等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等．（3）移項(xiàng)的方法：通常把方程右邊的含未知數(shù)的項(xiàng)改變符號(hào)后移到方程左邊，把方程左邊的常數(shù)項(xiàng)改變符號(hào)后移到方程右邊．但也不盡然，比如為使未知數(shù)的系數(shù)不出現(xiàn)負(fù)數(shù)，也可以把含未知數(shù)的項(xiàng)放在右邊，常數(shù)項(xiàng)放在左邊．例如：?x+1=5，移項(xiàng)，得1?5=x，所以?4=x，2.移項(xiàng)法解一元一次方程的步驟（1）移項(xiàng)；（2）合并同類項(xiàng)；（3）系數(shù)化為1．例如，解方程：10?4y=6y+5，移項(xiàng)，得?4y?6y合并同類項(xiàng)，得?10y=?5．系數(shù)化為1，得y知識(shí)點(diǎn)8去括號(hào)與去分母1.去括號(hào)（1）解含有括號(hào)的一元一次方程時(shí)，利用去括號(hào)法則去掉括號(hào)．（2）去括號(hào)是為了下一步能用移項(xiàng)法解方程，實(shí)質(zhì)是分配律．（3）去括號(hào)各項(xiàng)的變化：①如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來符號(hào)相同，例如：+(a?b)=a?b；②如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后要改變?cè)ㄌ?hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)，例如：?(a?b)=?a+b；③當(dāng)括號(hào)前不是“+1”或“?1”時(shí)，去括號(hào)時(shí)，將括號(hào)外的因數(shù)連同前面的符號(hào)看成一個(gè)整體，按分配律乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)，再把積相加．（4）去括號(hào)解一元一次方程的步驟：①去括號(hào)；②移項(xiàng)；③合并同類項(xiàng)；④系數(shù)化為1．2.去分母（1）在含有分?jǐn)?shù)系數(shù)的方程兩邊都乘同一個(gè)數(shù)（該數(shù)為各分母的最小公倍數(shù)），使方程中不含分母，這樣的變化過程叫作去分母．（2）去分母的目的是將方程中的分?jǐn)?shù)系數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，再利用去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解方程．去分母的依據(jù)是等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．（3）對(duì)于含小數(shù)的一元一次方程，先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再利用去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解方程．知識(shí)點(diǎn)9解一元一次方程的步驟變形名稱具體做法變形根據(jù)易錯(cuò)點(diǎn)示例3x+1去分母方程兩邊乘各分母的最小公倍數(shù)等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等（1)易漏乘不含分母的項(xiàng)；（2)分子是和、差的形式時(shí)，分子容易漏加括號(hào)兩邊同乘12，3(3x+1)+4(x?2)=6x+60去括號(hào)可按“小、中、大”的順序去括號(hào)，也可靈活決定（1）分配律；（2）去括號(hào)法則（1）容易漏乘括號(hào)里面的項(xiàng)；（2）容易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤9x+3+4x?8=6x+60移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的另一邊等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等移項(xiàng)容易不變號(hào)9x+4x?6x=60?3+8合并同類項(xiàng)把方程化為ax=b(a≠合并同類項(xiàng)法則系數(shù)相加時(shí)容易算錯(cuò)7x=65系數(shù)化為1方程兩邊除以未知數(shù)的系數(shù)等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等（1）系數(shù)含字母時(shí),容易不先判斷系數(shù)是否為0而直接兩邊同時(shí)除以系數(shù)；（2）容易把分子、分母顛倒x=知識(shí)點(diǎn)10解含有絕對(duì)值的方程根據(jù)“x=a，則x=±a”，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，化為兩個(gè)一元一次方程，再解這兩個(gè)方程．例如，解方程：2x+1=3?5x，去絕對(duì)值符號(hào)，【題型1（一元一次）方程的概念】【例1】（2425七年級(jí)上·河北邯鄲·期中）已知關(guān)于x的方程m?1xm?2=0是一元一次方程，則m的值是（

）A．3 B．2 C．1 D．1或3【答案】A【分析】本題考查一元一次方程的定義，熟記定義并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程是一元一次方程，根據(jù)定義解答．【詳解】解：∵方程m?1x∴m?2=1且m?1≠0∴m=3，故選：A．【變式11】（2425七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）下列各式：①7?8y；②3t2+4t=4；③4+6=10；④2y+1=y?2；⑤3x?1=4；⑥2z>3；⑦48=【答案】②④⑤④⑤【分析】根據(jù)含有未知數(shù)的等式叫做方程，只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程，解答即可．本題考查了方程，一元一次方程的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得是方程的是②3t2+4t=4；④2y+1=y?2故答案為：②④⑤．是一元一次方程的是④2y+1=y?2；⑤3x?1=4；故答案為：④⑤．【變式12】若(m+5)x2+6mx+4m=0是關(guān)于x的一元一次方程，則【答案】?5【分析】本題考查了一元一次方程的定義，熟知定義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式，據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵(m+5)x2+6mx+4m=0∴m+5=0且6m≠0，∴m=?5，故答案為：?5．【變式13】已知下列各式：①?3x+2y=1；②x=5；③2x+1=3；④4?3=1；⑤x2?x?2=0；⑥3x?2其中方程有，一元一次方程有【答案】①②③⑤⑦②⑦【分析】此題主要考查了方程的定義，一元一次方程的定義，正確理解方程的定義和一元一次方程的定義是解決問題的關(guān)鍵；根據(jù)方程的定義對(duì)題目中給出的式子逐一進(jìn)行判斷可得出答案；根據(jù)一元一次方程的定義對(duì)題目中給出的式子逐一進(jìn)行判斷可得出答案．【詳解】解：根據(jù)方程的定義得：①②③⑤⑦是方程，根據(jù)一元一次方程的定義得：②⑦是一元一次方程，故答案為：①②③⑤⑦；②⑦．【題型2列方程】【例2】王強(qiáng)參加3000米的長跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米秒的速度跑完了其余的路程，一共花了15分鐘，他以8米/秒的速度跑了多少米？設(shè)以8米/秒的速度跑了x米，列出的方程是（）A．x8+3000?xC．x8?3000?x【答案】A【分析】設(shè)以8米秒的速度跑了x米，則以5米/秒的速度跑了(3000?x)米，然后再根據(jù)題意列一元一次方程即可．【詳解】解：設(shè)以8米秒的速度跑了x米，則以5米/秒的速度跑了(3000?x)米，依題意，得：x8故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、設(shè)出未知數(shù)、列出一元一次方程成為解答本題的關(guān)鍵．【變式21】一個(gè)長方形的周長為32cm，若這個(gè)長方形的長減少2cm，寬增加3cm就變成了一個(gè)正方形，設(shè)長方形的長為xcm，可列方程（

）．A．x+2=32?x?3 C．x?2=32?x+3 【答案】B【分析】根據(jù)長方形的長為xcm，得到長方形的寬，結(jié)合題意列方程，即可得到答案．【詳解】∵長方形的長為xcm∴長方形的寬為：16?xcm根據(jù)題意得：x?2=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．【變式22】《兒童算術(shù)》中記載了一個(gè)問題，大意是：有幾個(gè)人一起去買一件物品，每人出8錢，多3錢；每人出7錢，少4錢，問人數(shù)是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則下列方程正確的是（）A．8x+3=7x?4 B．8x?3=7x+4C．8x?3=7x+4 【答案】B【分析】設(shè)人數(shù)為x，然后根據(jù)等量關(guān)系“每人出8錢，多3錢；每人出7錢，少4錢”即可列出方程．【詳解】解：設(shè)人數(shù)為x，根據(jù)題意可得：8x?3=7x+4．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式23】根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（

）A．π×(82C．π×82x=π×【答案】A【分析】根據(jù)題意可得相等關(guān)系的量為“水的體積”，然后利用圓柱體積公式列出方程即可.【詳解】解：大量筒中的水的體積為：π×8小量筒中的水的體積為：π×6則可列方程為：π×8故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查列方程，解此題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到題中相等關(guān)系的量，然后利用圓柱的體積公式列出方程即可.【題型3由（一元一次）方程的解求代數(shù)式的值】【例3】（2425七年級(jí)下·河北石家莊·開學(xué)考試）已知x=2是關(guān)于x的方程52x?2a=0的解，則代數(shù)式2a?1的值是【答案】4【分析】本題考查了一元一次方程解的概念和一元一次方程的解法，結(jié)合已知條件求得2a的值是解題的關(guān)鍵．把x=2代入方程52x?2a=0得出5?2a=0，求得2a的值，然后計(jì)算【詳解】解：∵x=2是關(guān)于x的方程52∴5?2a=0，則2a=5，那么2a?1=4，故答案為：4【變式31】（2425七年級(jí)下·福建泉州·期中）若x=3是關(guān)于x的方程3ax?bx=6的解，則40?6a+2b的值是．【答案】36【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，求代數(shù)式的值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵；將x=3代入方程3ax?bx=6，再根據(jù)整體思想求出值即可．【詳解】解：因?yàn)閤=3是方程3ax?bx=6的解，所以9a?3b=6，即3a?b=2，所以40?6a+2b=40?2(3a?b)=40?2×2=36．故答案為：36．【變式32】若x=3是方程ax+b=4的解，則代數(shù)式?35a?【答案】?【分析】本題主要考查了方程的解，等式的性質(zhì)，先把方程的解代入方程得出3a+b=4，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出?3【詳解】解：∵x=3是方程ax+b=4的解，∴3a+b=4，∴3a5∴?3故答案為：?【變式33】（2425七年級(jí)下·遼寧丹東·開學(xué)考試）已知x=?2是關(guān)于x的方程2ax?b+5=0的解，則8a+2b+2032=．【答案】2042【分析】本題考查了一元一次方程解的定義，代數(shù)式求值，由一元一次方程解的定義可得4a+b=5，進(jìn)而代入代數(shù)式計(jì)算即可求解，掌握整體代入法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵x=?2是關(guān)于x的方程2ax?b+5=0的解，∴?4a?b+5=0，∴4a+b=5，∴8a+2b+2032=24a+b故答案為：2042．【題型4由等式的性質(zhì)判斷變形正誤】【例4】下列等式變形錯(cuò)誤的是（

）A．若a=b，則a1+x2=bC．若a=b，則ax=bx D．若a=b，則a【答案】D【分析】本題考查等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可，解題的關(guān)鍵是熟記等式性質(zhì)1：等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．【詳解】解：AA、若a=b，則a1+B、若a=b，則3a=3b，原選項(xiàng)變形正確，不符合題意；C、若a=b，則ax=bx，原選項(xiàng)變形正確，不符合題意；D、若a=b，在m≠0時(shí)，兩邊都除以m可得am故選：D．【變式41】（2425七年級(jí)下·四川遂寧·期末）下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若?3x=4，則x=?B．若?2x≥4，則x≥?2C．若a>b，則aD．若x與5的差是非正數(shù)，則用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為x?5≤0【答案】D【分析】本題考查了解一元一次方程、不等式的性質(zhì)，列不等式，根據(jù)以上知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)A：解方程?3x=4，兩邊同除以?3得x=4÷?3選項(xiàng)B：解不等式?2x≥4，兩邊除以負(fù)數(shù)?2時(shí)需改變不等號(hào)方向，得x≤?2，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；選項(xiàng)C：若a>b，當(dāng)c≠0時(shí)，c2>0，則ac2>b選項(xiàng)D：“x與5的差是非正數(shù)”即x?5≤0，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【變式42】（2425七年級(jí)下·河南南陽·開學(xué)考試）下列方程中移項(xiàng)正確的是（）A．由x?3=4，得x=4?3B．由2=3+x，得2+3=xC．由3?2x=5+6，得2x?3=5+6D．由?4x+7=5x+2，得5x+4x=7?2【答案】D【分析】本題考查了解一元一次方程，等式的性質(zhì)，根據(jù)解一元一次方程的方法，等式的性質(zhì)逐一判斷即可，掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、由x?3=4，得x=4+3，故選項(xiàng)不符合題意；B、由2=3+x，得2?3=x，故選項(xiàng)不符合題意；C、由3?2x=5+6，得2x?3=?5?6，故選項(xiàng)不符合題意；D、由?4x+7=5x+2，得5x+4x=7?2，正確，故選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式43】（2425七年級(jí)上·山東棗莊·階段練習(xí)）下列變形正確的是（

）A．若3x?1=2x+1，則3x+2x=1+1B．若3x+1?5C．若1?3x?12D．若x+10.2?【答案】D【分析】本題考查等式的基本變形，包括移項(xiàng)、去括號(hào)、去分母等操作是否正確，逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)的變形過程是否符合運(yùn)算法則即可．【詳解】解：A：原方程3x?1=2x+1，移項(xiàng)時(shí)應(yīng)將2x移至左邊變?yōu)?x?2x，?1移至右邊變?yōu)?+1，正確變形為3x?2x=1+1，選項(xiàng)A錯(cuò)誤地將2x的符號(hào)寫為+2x，故錯(cuò)誤；B：展開3x+1?51?x時(shí)，3x+1=3x+3正確，但?5C：原方程1?3x?12=x，去分母應(yīng)兩邊乘2得2?3x?1=2x，即2?3x+1=2xD：原方程x+10.2?x0.3=10故選：D．【題型5由等式的性質(zhì)比較大小】【例5】已知m×65=n÷67（m、n都不為零），比較mA．m<n B．m>n C．m≥n D．m≤n【答案】A【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)，求出m,n的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：m×6所以m×6所以m×6所以m=n×35所以m<n；故選A．【變式51】（2425七年級(jí)上·河南鄭州·開學(xué)考試）【等量代換】某益智節(jié)目有這樣一個(gè)問題：如圖所示，兩個(gè)天平都平衡，根據(jù)圖示回答三個(gè)球的質(zhì)量等于個(gè)正方體的質(zhì)量．【答案】5【分析】本題考查的是等式的性質(zhì)，根據(jù)圖可得6個(gè)球的質(zhì)量等于15個(gè)圓柱質(zhì)量，10個(gè)正方體質(zhì)量等于15個(gè)圓柱質(zhì)量；再進(jìn)一步可得答案．【詳解】解：由圖可得：2個(gè)球的質(zhì)量等于5個(gè)圓柱質(zhì)量，2個(gè)正方體質(zhì)量等于3個(gè)圓柱質(zhì)量；∴6個(gè)球的質(zhì)量等于15個(gè)圓柱質(zhì)量，10個(gè)正方體質(zhì)量等于15個(gè)圓柱質(zhì)量；∴6個(gè)球的質(zhì)量等于10個(gè)正方體質(zhì)量，即3個(gè)球的重量等于5個(gè)正方體的重量．故答案為5．【變式52】已知34m?1=34n，試用等式的性質(zhì)比較m【答案】m>n/n<m【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，最后得到m與n的差，根據(jù)差的正負(fù)即可進(jìn)行判斷.【詳解】解：等式兩邊同時(shí)乘以4得：3m?4=3n，整理得：3m?n∴m?n>0，則m>n．【點(diǎn)睛】此題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式53】若a?b>0，則a>b；若a?b=0，則a=b；若a?b<0，則a<b，這是利用“作差法”比較兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式值的大小．(1)試比較代數(shù)式5m2?4m+2(2)已知代數(shù)式3a+2b與2a+3b相等，試用等式的性質(zhì)比較a，(3)已知12m?1【答案】(1)5(2)a=b(3)m>n【分析】（1）把兩個(gè)多項(xiàng)式作差比較大小即可；（2）等式兩邊同時(shí)減去2a+3b即可得到a?b=0，由此即可得到結(jié)論；（3）等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)乘以6可得5m?n=6，【詳解】（1）解：5∵不論m為何值，都有m∴5（2）解：∵3a+2b=2a+3b，∴等式兩邊同時(shí)減去2a+3b，得3a+2b?2a+3b整理得a?b=0，∴a=b．（3）解：∵12根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)乘以6可得3m?2n?6=3n?2m整理得5m?5n=6，即5m?n∴m?n>0，∴m>n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【題型6由兩個(gè)一元一次方程解之間的關(guān)系求字母的值】【例6】（2425七年級(jí)下·吉林長春·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程3x+2=2x?5的解與方程253x+2=k10【答案】2【分析】本題考查方程的解的問題及參數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是分別求出兩個(gè)方程的解，根據(jù)互為相反兩個(gè)數(shù)和為0，列新方程求解．分別解出兩個(gè)方程的解用含k的字母表示，再根據(jù)互為相反數(shù)列式即可得到答案．【詳解】解：由題意得：解方程3x+2=2x?5，解得x=?7；解方程25解得x=23?k∵兩個(gè)方程的解互為相反數(shù)，∴23?k3解得：k=2；故答案為：2【變式61】（2425七年級(jí)下·四川內(nèi)江·期中）如果2x+6=a的解與?2x+5=4?3x的解相同，則a的值是．【答案】4【分析】先求?2x+5=4?3x的解，得到方程2x+6=a的解，代入計(jì)算即可．本題考查了解方程，根據(jù)方程的解求值，熟練掌握解方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：解方程?2x+5=4?3x，解得x=?1，∵2x+6=a的解與?2x+5=4?3x的解相同，∴方程2x+6=a的解為x=?1，∴2×?1故答案為：4．【變式62】（2425七年級(jí)上·陜西渭南·期中）關(guān)于x的方程34+8x=7k+6x的解比關(guān)于x的方程k2+x=xk+2（k≠0）的解大6【答案】51【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義．定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．通過解關(guān)于x的方程34+8x=7k+6x、k(2+x)=x(k+2)，分別求得它們的解，然后依題意列出關(guān)于k的方程，求出【詳解】解方程34+8x=7k+6x的解是：方程k(2+x)=x(k+2)的解是：x=k，依題意，得28k?38解得，k=51故答案為：5120【變式63】（2425七年級(jí)下·重慶·開學(xué)考試）已知關(guān)于x的方程3x?72=2+2x3的解是關(guān)于y的方程2m?3y【答案】8【分析】本題考查了解一元一次方程，先求出兩個(gè)方程的解，再根據(jù)關(guān)于x的方程3x?72=2+2x3的解是關(guān)于y的方程【詳解】解：解方程3x?72=2+2x解方程2m?3y5=1?3m，得∵關(guān)于x的方程3x?72=2+2x3的解是關(guān)于∴5=5×17m?5解得m=8故答案為：817【題型7一元一次方程的整數(shù)解問題】【例7】（2425七年級(jí)下·四川巴中·開學(xué)考試）k是一個(gè)正整數(shù)，關(guān)于x的一元一次方程2kx?9=k+2x有正整數(shù)解，則k=【答案】3或5或11【分析】本題考查了根據(jù)一元一次方程的解的情況求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根據(jù)一元一次方程有正整數(shù)解確定k的取值即可，正確求出一元一次方程的解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵2kx?9=k+2∴2kx?k+2∴k?2x=9∵關(guān)于x的一元一次方程2kx?9=k+2∴k?2≠0，∴x=9∴k?2=1或3或9，∴k=3或5或11，故答案為：3或5或11．【變式71】關(guān)于x的一元一次方程16mx?43=【答案】12【分析】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的整數(shù)解．先求出原方程的解為x=2m?3，根據(jù)原方程有整數(shù)解可得m?3=±1或m?3=±2，求出【詳解】解：16去分母，得mx?8=3x?2去括號(hào)，得mx?8=3x?6，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得m?3x=2解得x=2∵關(guān)于x的方程16∴m?3=±1或m?3=±2，，解得m的值為4或2或5或1，∴整數(shù)m的所有可能的取值之和為：4+2+5+1=12，故答案為：12．【變式72】（2425七年級(jí)下·河南南陽·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x?4?ax6=x+23【答案】?14【分析】本題考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟練掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程的解是解題的關(guān)鍵．根據(jù)解一元一次方程的方法求出x=54+a，然后再根據(jù)方程的解為非正整數(shù)，可得54+a≤0，進(jìn)而得出4+a的值為?5，【詳解】解：x?4?ax去分母，得6x?(4?ax)=2(x+2)?3，去括號(hào)，得6x?4+ax=2x+4?3，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得(4+a)x=5，解得：x=5要想使方程的解為非正整數(shù)，則整數(shù)a滿足：54+a∴4+a是負(fù)整數(shù)，且能整除5，∴4+a的值為?5，?1，當(dāng)4+a=?5時(shí)，解得：a=?9，當(dāng)4+a=?1時(shí)，解得：a=?5，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為：?9+(?5)=?14．故答案為：?14．【變式73】（2425六年級(jí)下·黑龍江大慶·期末）已知關(guān)于x的方程x?2?ax6=x3【答案】?32【分析】本題考查了解一元一次方程，先根據(jù)一元一次方程的解法求出x=?10【詳解】解：x?2?ax去分母，得6x?(2?ax)=2x?12，去括號(hào)，得6x?2+ax=2x?12，移項(xiàng)，得6x+ax?2x=?12+2，合并同類項(xiàng)，得(4+a)x=?10，當(dāng)4+a≠0，即a≠?4時(shí)，方程的解是x=?10∵關(guān)于x的方程x?2?ax6=∴4+a=?10或4+a=?5或4+a=?2或4+a=?1或4+a=1或4+a=2或4+a=5或4+a=10，∴a=?14或?9或?6或?5或?3或?2或1或6，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為?14?9?6?5?3?2+1+6=?32，故答案為：?32．【題型8由一元一次方程的解的情況求值】【例8】若關(guān)于x的方程2kx+m3=x?nk6+2，無論k為任何數(shù)時(shí)，它的解總是【答案】21【分析】本題主要考查了一元一次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次方程的解．整理原式得出4k?1x=12?nk?2m，根據(jù)方程的解為1，得出n=?4,12?2m=?1【詳解】解：2kx+m4kx+2m=x?nk+124k?1把x=1代入得：4k?1=12?nk?2m，∴n=?4,12?2m=?1，∴m=13∴m?n=13故答案為：212【變式81】（2425七年級(jí)下·重慶·期中）若關(guān)于x的方程m3x+1=?n2+【答案】?1【分析】本題考查一元一次方程的解，將方程移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后根據(jù)題意求得m，n的值，將其代入m+n中計(jì)算即可，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：mm3m3∵該方程有無數(shù)個(gè)解，∴m3?1∴m=1，n=?2，∴m+n=1?2=?1，故答案為：?1．【變式82】（2425八年級(jí)下·上海·期中）如果a≠b，那么關(guān)于x的方程a?bx=a+ba?b【答案】a+b/b+a【分析】本題主要考查一元一次方程，根據(jù)a?bx=a+ba?b【詳解】解：a?b∵a≠b∴a?b≠0∴x=a+b故答案為：a+b．【變式83】（2425六年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程a2x?1=3x?2無解，則a的值為【答案】3【分析】此題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．方程整理后，由方程無解得到x前的系數(shù)為0即可得到關(guān)于a的方程，求出a的值即可．【詳解】解：a2x?12ax?a?3x+2=0，2a?3x=a?2∵關(guān)于x的方程a2x?1∴2a?3=0，解得：a=3故答案為：32【題型9錯(cuò)看或錯(cuò)解一元一次方程問題】【例9】（2526八年級(jí)上·重慶萬州·開學(xué)考試）小玉在解方程2x?13=x+a2?1去分母時(shí)，方程右邊的“?1”項(xiàng)沒有乘6．因而求得的解是【答案】3【分析】本題考查解整式方程．根據(jù)題意利用錯(cuò)誤計(jì)算還原，即可得到本題答案．【詳解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程為2(2x?1)=3(x+a)?1，解得x=3a+1，∵x=10，∴3a+1=10，解得a=3．故答案為：3．【變式91】（2425六年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）下面是曉彬同學(xué)解一元一次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：3x+153x+1?20=15x+5?20=3x?1?4x?6

第二步15x?3x+4x=?1?6+5+20

第三步16x=18

第四步x=98(1)任務(wù)一：①以上步驟第一步是進(jìn)行去分母，依據(jù)是______．②以上步驟從第______步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是______．(2)任務(wù)二：①請(qǐng)你將正確的解方程過程寫在下面；②除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元一次方程還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提出一條建議．【答案】(1)①等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；②三；“+5”從等號(hào)的左邊移到右邊沒有改變符號(hào)；(2)①見解析；②去分母時(shí)，常數(shù)項(xiàng)不要漏乘（答案不唯一）【分析】本題考查了一元一次方程的解法.（1）①根據(jù)等式的性質(zhì)2作答即可；②根據(jù)移項(xiàng)需變號(hào)可知從第三步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（2）①根據(jù)解方程的步驟作答即可；②提出合理建議即可.【詳解】（1）解：①等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；故答案為：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；②三，“+5”從等號(hào)的左邊移到右邊沒有改變符號(hào)；故答案為：三；“+5”從等號(hào)的左邊移到右邊沒有改變符號(hào)；（2）解：①去分母，得5去括號(hào)，得15x+5?20=3x?1?4x?6移項(xiàng)，得15x?3x+4x=?1?6?5+20合并同類項(xiàng)，得16x=8系數(shù)化為1，得x=1②答案不唯一，如：去分母時(shí)，常數(shù)項(xiàng)不要漏乘；去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)要改變；合并同類項(xiàng)時(shí)系數(shù)注意帶符號(hào)等．【變式92】（2425七年級(jí)上·河南商丘·期末）小明在解方程x?22+13=x+a時(shí)，誤將x+a看成了x?a【答案】x=?【分析】本題主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定義，根據(jù)題意得x=4是方程x?22+13=x?a的解，據(jù)此把x=4代入方程x?2【詳解】解：根據(jù)題意得，x=4是方程x?22∴4?22解得：a=8∴原方程為x?2解得：x=?20即原方程的解為x=?20故答案為：x=?20【變式93】（2425七年級(jí)上·江西上饒·階段練習(xí)）本學(xué)期學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法，下面是小明同學(xué)的解題過程：解方程：2x?0.10.2解：原方程可化為20x?12方程兩邊同時(shí)乘以6，去分母，得320x?1去括號(hào)，得60x?3?20x+4=6，……第三步移項(xiàng)，得60x?20x=6+3?4，……第四步合并同類項(xiàng)，得40x=5，………第五步系數(shù)化為1，得x=1所以x=1上述小明的解題過程從第__________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是__________．請(qǐng)你寫出正確的解題過程．【答案】三；去括號(hào)出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò)誤；過程見解析【分析】本題考查了解一元一次方程，根據(jù)等式的性質(zhì)得出錯(cuò)誤的步驟及原因，先整理方程，再根據(jù)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1解方程即可．【詳解】解：從第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體的錯(cuò)誤是去括號(hào)出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò)誤，正確解答過程如下：原方程可化為20x?12方程兩邊同時(shí)乘以6，去分母，得320x?1去括號(hào)，得60x?3?20x?4=6，移項(xiàng)，得60x?20x=6+3+4，合并同類項(xiàng)，得40x=13，系數(shù)化成1，得x=13所以x=13故答案為：三；去括號(hào)出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò)誤．【題型10一元一次方程的遮擋問題】【例10】（2425七年級(jí)上·吉林松原·期中）小明在做解方程作業(yè)時(shí)，不小心將方程中的一個(gè)常數(shù)污染了看不清楚，被污染的方程是2y?12=y?▄，怎么辦呢？小明想了想便翻看了書后的答案，此方程的解是y=?【答案】2【分析】本題主要考查了根據(jù)一元一次方程的解求參數(shù)，把y=?3【詳解】解：把y=?32代入則2×?解得：▄=2，則常數(shù)為2，故答案為：2【變式101】（2425七年級(jí)上·廣東佛山·期末）小明不小心將墨水滴在試卷上，只能看到“解方程：10?▲=4x”，△處被污染看不清．若方程的解是x=3，則▲處的數(shù)字是應(yīng)是【答案】?2【分析】本題考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定義，一元一次方程的解就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．把x=3代入方程，可列出關(guān)于▲的方程，解該方程即可求出答案．【詳解】解：將x=3代入原方程，10?解得：▲故答案為：?2．【變式102】嘉淇在進(jìn)行解一元一次方程的練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)方程“3x+7=■?x”中的常數(shù)被“■”遮擋．(1)嘉淇猜想“■”遮擋的常數(shù)是1，請(qǐng)你算一算x的值；(2)老師說此方程的解與方程2x?1【答案】(1)x=?(2)遮擋的常數(shù)是19【分析】本題主要考查了解一元一次方程；（1）根據(jù)題意得出方程3x+7=1?x，然后解方程即可；（2）先解方程2x?12=12x+4得出x=3，設(shè)遮擋的常數(shù)為a，然后把解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的一般方法，準(zhǔn)確計(jì)算．【詳解】（1）解：由題意得3x+7=1?x，移項(xiàng)，得3x+x=?7+1，合并同類項(xiàng)，得4x=?6，系數(shù)化為1，得x=?3（2）解：2x?1移項(xiàng)，得2x?1合并同類項(xiàng)，得32系數(shù)化為1，得x=3，設(shè)遮擋的常數(shù)為a，把x=3代入方程得3×3+7=a?3，解得a=19．故遮擋的常數(shù)是19．【變式103】小明解關(guān)于x的一元一次方程2x?Δ3?3x?Δ6=1時(shí)，有一個(gè)數(shù)△A．?7 B．?2 C．0 D．1【答案】A【分析】先把x=?1代入方程2x?Δ3?本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟練掌握方程的解，解方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：把x=?1代入方程2x?Δ∴?2?Δ∴2?2?∴?4?2Δ∴Δ=?7故選：A．【題型11整體換元求一元一次方程的解】【例11】已知關(guān)于x的方程12024x+3=2x+b的解為x=3，則關(guān)于y的一元一次方程?1【答案】y=?2【分析】此題考查解一元一次方程，由題意可得y?1相當(dāng)于第一個(gè)方程中的x，由此列方程1?y=3，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)y?1=?m，則方程變形為12024因?yàn)殛P(guān)于x的方程12024x+3=2x+b的解為所以m=3，即1?y=3，解得：y=?2，所以關(guān)于y的一元一次方程?12024y?1故答案為：y=?2．【變式111】（2425六年級(jí)上·上?！て谀┒x：如果兩個(gè)一元一次方程的解的和為1，我們就稱這兩個(gè)方程為“美好方程”．例如：方程2x?1=3和x+1=0為美好方程．若關(guān)于x的方程12024x+1=0與12024x?1=3x+k是“美好方程”，則關(guān)于y【答案】y=2022【分析】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．先求出兩個(gè)方程的解，然后根據(jù)“美好方程”的定義將關(guān)于y的方程12024【詳解】解：12024解得：x=?2024，12024解得：x=?2024∵方程12024x+1=0與∴?2024?2024∴?202412024y+3?1=3y+k+9∴y+3=?2024∴y=2022，故答案為：y=2022．【變式112】（2