專題15.4等邊三角形（舉一反三講義）【人教版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求長度】 1【題型2根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求角度】 4【題型3根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明】 8【題型4證明是等邊三角形】 17【題型5與等邊三角形有關(guān)的折疊問題】 21【題型6等邊三角形中的動點問題】 24【題型7等邊三角形中的多結(jié)論問題】 28知識點1等邊三角形及其性質(zhì)1.等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形．2.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°．拓展：（1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)．知識點2等邊三角形的判定判定等邊三角形的方法：（1）定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【題型1根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求長度】【例1】（2425八年級下·陜西延安·期中）如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，若BE=2，AE=8，則CE的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．由等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△BCESAS【詳解】解：∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，CD=CE，∠ACB?∠DCB=∠ECD?∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE=2，∵AE=8，∴DE=AE?AD=8?2=6，∴CE=DE=6，故選：C．【變式11】（2425九年級下·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為2，點D、E分別在邊AB、BC上（不與△ABC的頂點重合），將△BDE沿DE翻折，點B落在點F處，則三個陰影三角形的周長和為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．由折疊的性質(zhì)可得BD=FD,BE=FE，再把三個陰影三角形的周長和轉(zhuǎn)化成等邊△ABC的三邊之和，即可解答．【詳解】解：∵由折疊的性質(zhì)可得：BD=FD,BE=FE，∴三個陰影三角形的周長和為：AC+DF+EF+AD+CE=AC+BD+BE+AD+CE，∵AB=AD+BD，BC=BE+CE，∴三個陰影三角形的周長和=AC+AB+BC=2故選：B．【變式12】（2425八年級下·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）如圖，在△ACD中，B為CD邊上一點，連接AB，△ABC恰為等邊三角形，∠D=∠DAB,AB=7，則CD的長度為．【答案】14【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BC=7，然后根據(jù)等角對等邊得出AB=DB=7，即可求解．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，AB=7，∴BC=AB=7，∵∠D=∠DAB，∴AB=DB=7，∴CD=DB+BC=14，故答案為∶14．【變式13】如圖，在等邊三角形ABC的邊AB、AC各取一點D，E，連接CD，BE交于點F，使∠EFC=60°，若BD=1，【答案】3【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=CB，∠A=∠ABC=60°，證明△ABE≌△BCD，由全等三角形的性質(zhì)得出【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=CB，∴∠ABE+∠CBF=60°，又∵∠EFC=∠CBF+∠BCF=60°，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE和△BCD中，∠A=∠DBCAB=BC∴△ABE≌△BCDASA∴AE=BD，∴BC=AC=AE+CE=DB+CE=1+2=3，故答案為：3．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABE≌△BCD是解決本題的關(guān)鍵．【題型2根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求角度】【例2】（2425九年級下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，設(shè)△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，則∠AEB的度數(shù)是（

）A．124° B．122° C．120° D．118°【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=∠ABC=∠BAC=60°，再證出△ACE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠DBC=∠EAC，然后設(shè)∠DBC=∠EAC=x，從而可得∠ABE,∠BAE，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可得．【詳解】解：∵△ABC和△CDE都是正三角形，∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=∠ABC=∠BAC=60°，∴∠ACB?∠BCE=∠ECD?∠BCE，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCDSAS∴∠DBC=∠EAC，設(shè)∠DBC=∠EAC=x，∴∠BAE=∠BAC?∠EAC=60°?x，∵∠EBD=62°，∴∠CBE=∠EBD?∠DBC=62°?x，∴∠ABE=∠ABC?∠CBE=60°?62°?x∴∠ABE+∠BAE=x?2°+60°?x=58°，∴∠AEB=180°?∠ABE+∠BAE故選：B．【變式21】（2425八年級下·河南·期末）已知：如圖，D、E分別是等邊三角形ABC兩邊AB、AC上的點，連接BE、CD，BE與CD交于點O，AD=CE，則∠BOD的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．65° D．70°【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，找出全等三角形是解題關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△CBESAS，得到∠ACD=∠CBE【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，在△ACD和△CBE中，AD=CE∠A=∠BCE∴△ACD≌△CBESAS∴∠ACD=∠CBE，∴∠BOD=∠CBE+∠BCO=∠ACD+∠BCO=∠ACB=60°，故選：B．【變式22】（2025·山東威海·一模）已知直線AB∥CD，等邊△EFG的頂點E剛好落在AB上，F(xiàn)G與CD交于點H．已知∠1=140°，則∠2=（A．110° B．120° C．130° D．100°【答案】D【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)．作FK∥CD，先由平行線的性質(zhì)得到∠3=180°?∠1=40°，再判定AB∥【詳解】解：∵等邊△EFG，∴∠EFG=∠FEG=60°，作FK∥∴∠3=180°?∠1=40°，∴∠4=60°?∠3=20°，∵AB∥∴AB∥∴∠5=∠4=20°，∴∠2=180°?∠5?60°=100°，故選：D．【變式23】（2425八年級下·重慶巴南·期末）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形CDE，連接AE，則∠AEC的大小為（

）A．60° B．52.5° C．45° D．37.5°【答案】C【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，由正方形性質(zhì)得AD=CD，∠ADC=90°，由△CDE是等邊三角形性質(zhì)得CD=ED，∠CDE=∠CED=60°，進而得AD=DE，則∠DEA=∠DEA，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DEA=15°，繼而根據(jù)∠AEC=∠CED?∠DEA即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∵△CDE是等邊三角形，∴CD=ED，∴AD=DE，∴∠DEA=∠DEA，在△ADE中，∠ADE=∠ADC+∠CDE=150°，∵∠DEA+∠DEA+∠ADE=180°，∴2∠DEA+150°=180°，∴∠DEA=15°，∴∠AEC=∠CED?∠DEA=45°．故選：C．【題型3根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明】【例3】（2425八年級下·遼寧本溪·期中）如圖，△ABC為等邊三角形，點D為BC延長線上一動點，連接AD，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到AE，直線CE與AB交于點F，過點E作EG∥AC交AB的延長線于點G．(1)求證：∠D=∠BAE；(2)求證：BD=2AF．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=60°，再由∠D+∠BAD=120°，∠EAD=∠BAD+∠BAE=120°，可得∠D=∠BAE．（2）先根據(jù)AAS證明△AEG≌△DAB，即可得到EG=AB，然后證明△FEG≌△FCA即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=60°，∵∠ABD+∠D+∠BAD=180°，∴∠D+∠BAD=120°由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EAD=120°∴∠EAD=∠BAD+∠BAE=120°∴∠D=∠BAE．（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，∵EG∥AC∴∠G=∠BAC=60°∴∠G=∠ABD∵∠EAG=∠D，AE=AD∴△AEG≌△DAB∴BD=AG，AB=EG∵AC=AB∴AC=EG∵∠EFG=∠CFA∴△FEG≌△FCA∴AF=FG∴AG=AF+FG=2AF∴BD=AG=2AF【變式31】如圖，CD是△ABC的中線，將△ABC沿CD折疊，使點A落在點E處，連接BE．若∠ADC=60°，AB=8，求BE的長．【答案】4【分析】本題考查的是折疊變換，等邊三角形的判定與性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)，得出△BDE是等邊三角形．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=DE，∠ADC=∠EDC=60°，根據(jù)點D是AB的中點，得出△BDE是等邊三角形，據(jù)此即可解得BE的長．【詳解】解：∵CD是△ABC的中線，AB=8，∴AD=BD=1∵△ABC沿CD折疊，使點A落在點E處，∴AD=DE，∠ADC=∠EDC=60°，∴DE=DB，∵∠BDE=180°?∠ADC?∠EDC=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴BE=BD=4．【變式32】（2425七年級下·四川成都·期中）已知：如圖，點E是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且EA=EB，△ABC外一點D滿足BD=AC，BE平分∠DBC．(1)求證：△DBE≌△CBE；(2)求∠BDE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)30°【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可得BD=BC，由角平分線的定義可得∠DBE=∠EBC，利用SAS得出△DBE≌△CBE；（2）證明△CAE≌△CBESSS，由全等三角形的性質(zhì)結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠BCE=30°【詳解】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴BC=AC，∵BD=AC，∴BD=BC，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC，∵BE=BE，∴△DBE≌△CBESAS（2）解：∵△ABC為等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∵CE=CE，EA=EB，∴△CAE≌△CBESSS∴∠ACE=∠BCE，∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°，∴∠ACE=∠BCE=30°，∵△DBE≌△CBE，∴∠BDE=∠BCE=30°．【變式33】（2425七年級上·山東東營·期末）【問題初探】如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點D為邊BC上一動點（點D不與點B，點C重合）．以AD為邊向右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）猜想并證明①AB與CE的位置關(guān)系；②線段EC、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系．【類比探究】（3）如圖2，若點D在邊BC的延長線上，其它條件不變，隨著動點D的運動位置不同，猜想（2）的兩個結(jié)論是否還成立？若成立，說明理由；若不成立，請寫出正確的結(jié)論，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①AB∥CE；②CE=AC?CD；（3）①AB∥【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，進而得到∠BAD=∠CAE，根據(jù)“SAS”即可證明；（2）由△ABD≌△ACESAS得到∠B=∠ACE=60°，CE=BD，從而∠BAC=∠ACE=60°，即可得到AB∥CE（3）同（1）可證△ABD≌△ACESAS，得到∠B=∠ACE=60°，CE=BD，從而∠BAC=∠ACE=60°，即可得到AB∥CE【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∴△ABD≌△ACE（2）①AB∥CE理由：由（1）得△ABD≌△ACE∴∠B=∠ACE=60°，CE=BD∴∠BAC=∠ACE=60°∴AB∴CE=BD，AC=BC∴CE=BD=BC?CD=AC?CD；（3）①平行成立②不成立，應(yīng)為EC=AC+CD理由：∵△ABC和△ADE是等邊三角形∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∴△ABD≌△ACE∴∠B=∠ACE=60°，CE=BD∴∠BAC=∠ACE=60°∴AB∵CE=BD，AC=BC∴CE=BD=BC+CD=AC+CD．【題型4證明是等邊三角形】【例4】（2425八年級下·河南鄭州·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC，點D是AC上一動點，點E在BD的延長線上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于點F，連接FC．(1)如圖1，求證：EF=CF；(2)如圖2，當(dāng)∠ABC=60°時，在BE上取點M，使BM=EF，連接AM．求證：△AFM是等邊三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠EAF=∠CAF，根據(jù)題意可推出AE=AC，證明△ACF≌△AEF，即可證明；（2）由△ACF≌△AEF，結(jié)合題意可推出CF=BM，∠ACF=∠ABM，證明△ABM≌△ACF，得到AM=AF，∠BAM=∠CAF，證明△ABC是等邊三角形，得到∠BAC=60°，推出∠MAF=∠BAC=60°，結(jié)合AM=AF，即可證明．【詳解】（1）證明：∵AF平分∠CAE，∴∠EAF=∠CAF∵AB=AC,AB=AE，∴AE=AC在△ACF和△AEF中，AC=AE∠CAF=∠EAF∴△ACF≌△AEF∴EF=CF；（2）如圖，在BE上截取BM=EF，連接AM，∵△ACF≌△AEF，∴EF=CF=BM,∠E=∠ACF=∠ABM在△ABM和△ACF中，AB=AC∠ABM=∠ACF∴△ABM≌△ACFSAS∴AM=AF,∠BAM=∠CAF∵AB=AC,∠ABC=60°∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，∵AM=AF∴△AMF為等邊三角形．【變式41】（2425八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，已知點A、F、E、B在同一條直線上，CE與DF交于點M，AE=BF，AC=BD,CE=DF，若∠FME=60°，求證：△MFE是等邊三角形．【答案】見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，先根據(jù)三邊分別相等的三角形是全等三角形，則∠CEA=∠DFB，故FM=ME，再結(jié)合有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即可作答．【詳解】解：∵AE=BF，AC=BD,CE=DF，∴△ACE≌△BDF，∴∠CEA=∠DFB，∴FM=ME，∵∠FME=60°，∴△MFE是等邊三角形．【變式42】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AD，AC于點F，E，求證：△AEF是等邊三角形．【答案】見解析【分析】此題考查了等邊三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．由在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠C=30°，∠CAD=60°，又由BE平分∠ABC，∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，即可證得∠AFE=∠AEF，繼而證得：△AEF為等邊三角形．【詳解】證明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠BAD=∠C=30°，∠CAD=60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBE，∵∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∵∠CAD=60°，∴△AEF為等邊三角形．【變式43】（2425八年級上·陜西渭南·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC邊上取點D，連接BD，使BD=BC．以AD為一邊作等邊△ADE，且使點E與點B位于直線AC的同側(cè)，∠EAB=2∠BAC．(1)求∠BDE的度數(shù)；(2)點F在AB上，連接DF,DF=BD，請判斷△BDF是否是等邊三角形，并說明理由．【答案】(1)40°(2)等邊三角形，理由見解析【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識．靈活運用等邊三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ABC=∠C=∠BDC=80°，從而根據(jù)∠BDE=180°?∠BDC?∠ADE求解即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABD=60°，然后根據(jù)DF=BD證明△BDF是等邊三角形即可．【詳解】（1）解：在等邊△ADE中，∠EAC=∠ADE=60°，∵∠EAB=2∠BAC，∴∠BAC=20°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠ACB=80°，∴∠BDE=180°?∠BDC?∠ADE=40°．（2）解：△BDF是等邊三角形．理由如下：由（1）可得∠BDC=∠ACB=80°，∴∠CBD=180°?∠BDC?∠ACB=20°，∵∠ABC=80°，∴∠FBD=∠ABC?∠CBD=60°，∵DF=BD，∴△BDF是等邊三角形．【題型5與等邊三角形有關(guān)的折疊問題】【例5】如圖，將等邊△ABC折疊，使得點B恰好落在AC邊上的點D處，折痕為EF，O為折痕EF上一動點，若AD=1，AC=3，△OCD周長的最小值是．【答案】5【分析】如圖，連接BD，OB，由折疊的性質(zhì)可得EF是BD的對稱軸，可得OB=OD，當(dāng)點B，點O，點C共線時，△OCD周長最小值=2+BC=5．【詳解】解：如圖，連接BD，OB，∵將等邊△ABC折疊，使得點B恰好落在AC邊上的點D處，∴EF是BD的對稱軸，∴OB=OD，∵AD=1，AC=3，∴CD=2，∵△OCD周長=CD+OD+OC=2+BO+OC，∴當(dāng)點B、O、C共線時，△OCD周長最小值=2+BC=5，故答案為：5．【點睛】本題考查了翻折變換，考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練運用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式51】如圖是一個等邊△ABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿EF折疊后使點A落在BC邊上的點D位置，若此時∠BFD=80°，則∠DEF=°．【答案】70°/70度【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和等知識，先由等邊三角形的性質(zhì)可知∠A=60°，利用∠BFD=80°，求出∠AFE，從而利用三角形的內(nèi)角和求出∠AEF，也就是∠DEF的角度，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，由折疊的性質(zhì)可知：∠AFE=∠DFE，∠AEF=∠DEF，又∵∠BFD=80°，∴∠AFE=∠DFE=180°?∠BFD∴∠DEF=∠AEF=180°?∠A?∠AFE=70°，故答案為：70°【變式52】如圖，已知等邊△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點B落在點B′處，DB′，EB′分別交邊AC于點F，G.若

【答案】40【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得到∠A=∠B′=∠C=60°，結(jié)合∠ADF=80°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)得∠AFD=∠GFB′【詳解】∵等邊△ABC，△BDE沿直線DE翻折，使點B落在點B∴∠A=∠B∵∠ADF=80°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)得∴∠AFD=∠GFB∵∠EGC=∠FGB∴∠GEC=∠GFB故答案為：40．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式53】如圖，在一個等邊三角形紙片中取三邊的中點，以虛線為折痕折疊紙片，圖中陰影部分的面積是整個圖形面積的．

【答案】3【分析】根據(jù)中點和等邊三角形的性質(zhì)得到AF⊥BC，S△ABF=S△ACF=12【詳解】解：如圖，∵F分別為BC中點，△ABC是等邊三角形，∴AF⊥BC，S△ABF∵D為AB邊中點，∴S△BDF=S∵E為AC中點，∴D，E關(guān)于AF對稱，∴AF垂直平分DE，∴AO=FO，∴S△ADO∴S陰影故答案為：38

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線，三角形面積，解題的關(guān)鍵是掌握基本定理，用邊的關(guān)系找出面積的關(guān)系．【題型6等邊三角形中的動點問題】【例6】如圖，等邊△ABC的邊長為4cm，點Q是AC的中點，若動點P以2cm/秒的速度從點A出發(fā)沿A→B→A方向運動設(shè)運動時間為t秒，連接PQ，當(dāng)△APQ是等腰三角形時，則t的值為【答案】1或3/3或1【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定．此題屬于動點問題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．由等邊△ABC的邊長為4cm，點Q是AC的中點，可求得AQ的長，然后∠A=60°，可得△APQ為等邊三角形，分析△APQ【詳解】解：∵等邊△ABC的邊長為4cm，點Q是AC∴AQ=1∴當(dāng)△APQ是等腰三角形時，可得三角形APQ為等邊三角形，∴AP=AQ=PQ，∵AQ=2，∴AP=2，∵動點P的速度為2cm∴當(dāng)P從A→B時，t=2÷2=1，當(dāng)P從B→A時，t=4+2故答案為：1或3．【變式61】如圖，在△ABC中，∠A=90°,∠B=30°,AC=6厘米，點D從點A開始以1厘米/秒的速度向點C運動，點E從點C開始以2厘米秒的速度向點B運動，兩點同時運動，當(dāng)運動時間為秒時，△DEC是等邊三角形．【答案】2【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，設(shè)運動時間為t秒，則AD=tcm，CE=2tcm，則CD=6?tcm【詳解】解：設(shè)運動時間為t秒，由題意得，AD=tcm，CE=2t∵△DEC是等邊三角形，∴CE=CD，∴6?t=2t，解得t=2，∴當(dāng)運動時間為2秒時，△DEC是等邊三角形．故答案為：2．【變式62】如圖，等邊三角形ABC的邊長為2cm，電子螞蟻P從點A以1cm/秒的速度沿等邊三角形的邊順時針運動，同時電子螞蟻Q從點A以5cm/秒的速度沿等邊三角形的邊逆時針運動，則電子螞蟻P和【答案】AC的中點處【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)電子螞蟻P和Q第1次相遇時，相遇點在AC的中點處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第2次相遇時，相遇點在點C處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第3次相遇時，相遇點在BC的中點處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第4次相遇時，相遇點在點B處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第5次相遇時，相遇點在AB的中點處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第6次相遇時，相遇點在點A處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第7次相遇時，相遇點在AC的中點處，……，由此可得每六個一循環(huán)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：每間隔1秒，電子螞蟻P和Q相遇，當(dāng)電子螞蟻P和Q第1次相遇時，相遇點在AC的中點處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第2次相遇時，相遇點在點C處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第3次相遇時，相遇點在BC的中點處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第4次相遇時，相遇點在點B處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第5次相遇時，相遇點在AB的中點處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第6次相遇時，相遇點在點A處，當(dāng)電子螞蟻P和Q第7次相遇時，相遇點在AC的中點處，……，∴每六個一循環(huán)，∵2023÷6=337?1，∴電子螞蟻P和Q第2023次相遇在AC的中點處．故答案為：AC的中點處【變式63】（2425八年級上·浙江臺州·期末）如圖，在等邊△ABC中，點D是BC邊上一點（點D不與端點重合）．作點D關(guān)于直線AB的對稱點E，連接AE，在射線DA上取一點F，使∠EFD=60°，EF與AC所在直線交于點G．(1)求證：∠CAD=∠AHG；(2)若AD=2，求EG的長；(3)當(dāng)D在BC邊上運動時，判斷△ABC，△ABD，△AEG面積之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)EG的長為2；(3)S△ABC【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，掌握知識點的應(yīng)用及正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)和已知可得∠BAC=∠EFD=60°，從而∠HAF+∠CAD=∠HAF+∠AHG，從而得出∠CAD=∠AHG；（2）設(shè)∠BAE=∠BAD=α，從而得出∠EAG=∠BAC+∠BAE=60°+α，∠FAG=∠BAC?∠BAD=60°?α，從而得出∠AGF=180°?∠AFG?∠FAG=180°?60°?60°?α=60°+α，進而得出（3）在BC上截取CQ=BD，設(shè)∠BAE=∠BAD=x，可證得△ABD≌△ACQ，從而得出∠CAQ=∠BAD=x，AD=AQ，可證得∠AEG=∠DAQ=60°?2x，從而得出【詳解】（1）證明:∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵∠EFD=60°，∴∠BAC=∠EFD，∴∠HAF+∠CAD=∠HAF+∠AHG，∴∠CAD=∠AHG；（2）解：∵點D關(guān)于直線AB的對稱點E，∴AE=AD=2，∠BAE=∠BAD，設(shè)∠BAE=∠BAD=α，∴∠EAG=∠BAC+∠BAE=60°+α，∠FAG=∠BAC?∠BAD=60°?α，∴∠AGF=180°?∠AFG?∠FAG=180°?60°?60°?α∴∠EAG=∠AGF，∴EG=AE=2，∴EG的長為2；（3）解：S△ABC如圖，在BC上截取CQ=BD，設(shè)∠BAE=∠BAD=x，∵AC=AB，∠ABC=∠C，∴△ABD≌△ACQSAS∴S△ABD=S△ACQ，∴∠DAQ=60°?2x，同（2）理得∠EAG=∠AGF=60°+x，∴∠AEG=180°?260°+α∴∠AEG=∠DAQ，∵AE=AD=EG=AQ，∴△EAG≌△ADQSAS∴S△AEG∴S△ABC【題型7等邊三角形中的多結(jié)論問題】【例7】如圖，已知等邊△ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，DF交BC于點P，則以下結(jié)論：①BE=CG；②△EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正確的是（）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出△BDE≌△CFG，得BE=CG,DE=FG，可用AAS得△EDP≌△GFP，得出PE=PG，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可得EP=1，綜上，即可得．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°．∵∠ACB=∠GCF，DE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．在△DEB和△FGC中，∠DEB=∠FGC∠B=∠GCF∴△DEB≌△FGC(AAS∴BE=CG，DE=FG，故①正確；在△DEP和△FGP中，∠DEP=∠FGP∠DPE=∠FPG∴△DEP≌△FGP(AAS∴EP=PG，∠EDP不一定等于60°，當(dāng)PD⊥AB時，∠EDP=60°，故③錯誤；∵PG=PC+CG，∴PE=PC+BE．∵PE+PC+BE=2，∴PE=1．故④正確．正確的有①②④，故選：D．【變式71】（2425八年級下·江西撫州·期中）已知，如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點P，下列說法：①∠APE=∠C，②BQ=AQ，③BP=2PQ，④BA=AE+BD，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△ABE?△CAD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠CAB=∠ACB=60°，∵AE=CD，∴△ABE?△CAD，∴∠ABE=∠DAC，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∴∠APE=∠C，①正確；∴∠APE=∠BPQ=60°，∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°，∴BP=2PQ，③正確；∵AB=BC，AE=CD，∴BA=AE+BD，④正確；只有當(dāng)∠BAQ=45°時，BQ=AQ，②不一定正確；故選：C．【變式72】（2425八年級上·北京海淀·期中）如圖，對于△ABC，若存在點D,?E,?F分別在AB,?BC,?AC上，使得∠1=∠2,?∠3=∠4,?∠5=∠6【答案】①②④【分析】本題主要考查了“反射三角形”，屬于新定義問題，還涉及到三角形內(nèi)角和定理，等腰及等邊三角形的