年學(xué)情診斷高三年級(jí)數(shù)學(xué)試題一．單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．1.已知復(fù)數(shù)滿足（其中i（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求得，進(jìn)而可求得.【詳解】因?yàn)椋?，?故選：B.2.已知命題，，則是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)存在命題的否定為全稱命題即可求解.【詳解】：，，故選:C3.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.－7B.7C.－5D.5【答案】A【解析】，從而求解即可.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以，第1頁/共17頁因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以.故選：A4.若一組樣本數(shù)據(jù)為，，，另一組樣本數(shù)據(jù)，，的方差為8，則，，這組數(shù)據(jù)的方差為（）A.4B.2C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，，這組數(shù)據(jù)的方差為，則，得，故選：B5.已知是減函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，當(dāng)時(shí)根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】因?yàn)槭菧p函數(shù)，且是增函數(shù)，所以，因?yàn)?，又?dāng)時(shí)，，第2頁/共17頁所以函數(shù)的圖象是對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，開口向上的拋物線的一部分，只有選項(xiàng)B符合題意.故選：B.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．7.若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本題可通過將函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在上有三個(gè)交點(diǎn)，再分區(qū)間討論并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性來求解a的取值范圍.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與在上有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，是過原點(diǎn)的直線，要使兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，需；第3頁/共17頁令，，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得最大值，又，.要使函數(shù)與在上有三個(gè)交點(diǎn)，則與在上需有一個(gè)交點(diǎn)、在上需有兩個(gè)交點(diǎn)，則需滿足，所以.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B8.已知定義域均為的函數(shù)，滿足，，，若，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.為的一個(gè)周期C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，求出周期，確定對(duì)稱軸，求函數(shù)值的和分別判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，所以的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確；又因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以，故B正確；第4頁/共17頁因?yàn)椋?，所以，所以，，故，故D正確．故選：C二．多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知在的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列說法正確的有（）A.B.只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.的系數(shù)為D.各項(xiàng)系數(shù)之和為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和得，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及展開式通項(xiàng)公式判斷A、B、C，最后應(yīng)用賦值法求各項(xiàng)系數(shù)之和判斷D.【詳解】由題設(shè)，可得，A對(duì)；展開式共有7項(xiàng)，故只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，B錯(cuò)誤；展開式通項(xiàng)為，，令，可得，則的系數(shù)為，C對(duì)；令，則，D錯(cuò).故選：AC10.6人組成的一支隊(duì)伍參加一項(xiàng)游戲．甲班的隊(duì)伍由2個(gè)女生和4個(gè)男生組成，乙班的隊(duì)伍由4個(gè)女生和2個(gè)男生組成，為了增加游戲的趣分別表示由甲班隊(duì)伍中抽出的是女生和男生；再從乙班的隊(duì)伍中隨機(jī)抽取一名同學(xué)加入甲班的隊(duì)伍，以表示從乙班隊(duì)伍中抽出的是女生，則下列第5頁/共17頁A.事件與事件互斥B.事件與事件B相互獨(dú)立C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)條件概率，全概率公式，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念逐一分析判斷即可.【詳解】由題意知，不可能同時(shí)發(fā)生，所以互斥，故A正確；，，故C正確；所以，，所以，則，所以事件與事件B不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用定義法求條件概率的步驟：（1）分析題意，弄清概率模型；（2）計(jì)算、；（3）代入公式求.已知函數(shù)，則（）A.，使得為單調(diào)函數(shù)B.，的圖象恒有對(duì)稱中心C.當(dāng)時(shí)，D.若，，是方程的三個(gè)不同的根，則【答案】ABD第6頁/共17頁【解析】【分析】A對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，假設(shè)函數(shù)單調(diào)，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍，即可判斷；B由，再結(jié)合即可判斷；C應(yīng)用特殊值判斷；D由并展開，結(jié)合已知表達(dá)式，即可判斷.【詳解】A：由題設(shè)，所以是開口向上的拋物線，要使為單調(diào)函數(shù)，只需恒成立，即，得，所以，使得為單調(diào)函數(shù)，對(duì)；B：對(duì)于，所以，即恒關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)；CD：由題設(shè)，又，則，對(duì).故選：ABD三．填空題：本題共3小題，共分．12.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義及性質(zhì)可得【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以解得或.當(dāng)時(shí)，增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，符合題意；故答案為:.13.“”中華文化的豐富內(nèi)涵．現(xiàn)從3名男生和2名女生中任選3人參加圍棋比賽，則所選3人中至多有1名女生第7頁/共17頁【答案】##0.7【解析】【分析】利用組合的知識(shí)結(jié)合古典概型的概率公式可解.【詳解】從5人中任選3人，一共有種選法．所選3人中至多有133人中有2名男生1名女生，有種選法．則所選3人中至多有1名女生的概率,故答案為：.14.已知，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】令，，通過指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化用表示出，再借助基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】令，，則，，，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．四．解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第8頁/共17頁15.已知集合，，其中．（1）若，求；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或，（2）【解析】1）利用一元二次不等式的解法和交集、補(bǔ)集的定義求解；（2）根據(jù)必要不充分條件的定義可得真包含于，從而根據(jù)集合的關(guān)系可求解.【小問1詳解】由，解得，即，故，因?yàn)椋?，由，解得，故，則或，或.【小問2詳解】由可得，因?yàn)椋?，所以不等式的解為，即，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，所以或，解得或,又因?yàn)椋?，?jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是的真子集，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，激勵(lì)青年學(xué)生積極奮發(fā)向上.某學(xué)校團(tuán)委組織學(xué)生參加了“青春心向黨，奮進(jìn)新時(shí)代”為主題的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷的成績（卷面共100分）頻率分布直方圖如圖所示.第9頁/共17頁（1）用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)此次知識(shí)競(jìng)賽成績的平均數(shù)；（2）將此次競(jìng)賽成績近似看作服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為的近似.現(xiàn)從該校參與知識(shí)競(jìng)賽的所有學(xué)生中任取100人，記這100人中知識(shí)競(jìng)賽成績超過88分的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望；（3）從得分區(qū)間和的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這10份樣本中隨機(jī)抽測(cè)3份試卷，若已知抽測(cè)的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測(cè)3份試卷有2份來自區(qū)間的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則，.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求解期望即可；（3）根據(jù)分層抽樣、條件概率公式求解即可.【小問1詳解】由題意有，所以估計(jì)此次知識(shí)競(jìng)賽成績的平均數(shù)為；【小問2詳解】由題意有，因?yàn)椋?，所以，由題意得抽取100人中知識(shí)競(jìng)賽成績超過88分的學(xué)生人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，所以第10頁/共17頁，所以抽取100人中知識(shí)競(jìng)賽成績超過88分的學(xué)生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；【小問3詳解】由頻率分布直方圖有：分?jǐn)?shù)在和的頻率分別為和，按照分層抽樣，抽取10份，其中在應(yīng)抽取份，分?jǐn)?shù)應(yīng)抽取份，令事件抽取3份試卷來自不同區(qū)間，事件取出的試卷有2份來自區(qū)間，所以，所以.所以抽測(cè)3份試卷有2份來自區(qū)間的概率為.17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，使成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）詳見解析（3）或.【解析】1）需要先求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，再結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)得到切線方程；（2）通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷；（3）需要分情況討論函數(shù)在給定區(qū)間上的最值情況.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，對(duì)求導(dǎo)得.則，第11頁/共17頁所以切線方程，即.【小問2詳解】對(duì)求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，即，，，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】在有解，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由（2）知函數(shù)在上的最大值在端點(diǎn)處取得.此時(shí)，，所以或，得或，又，所以舍去，所以.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，那么最大值在處取得.此時(shí)，所以，得.綜合兩種情況，可得的取值范圍為或.18.2“跟著吒兒去旅游”成為熱100關(guān)系，以下是隨機(jī)抽取的6個(gè)不同線上宣傳投入金額和游客滿意度評(píng)分的數(shù)據(jù)：線上宣傳投入金額（萬元）203040506070第12頁/共17頁（1加以判斷與兩個(gè)變量線性相關(guān)性的強(qiáng)弱（22賽采用“五局三勝制”，已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為；①當(dāng)時(shí)，設(shè)比賽結(jié)束時(shí)甲、乙比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列和期望；②甲以獲勝的概率為，求的最大值．參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1），與兩個(gè)變量線性相關(guān)性的很強(qiáng)（2）①的分布列見解析，期望為；②的最大值為【解析】1，，，，入相關(guān)系數(shù)公式即可求得，根據(jù)的值判斷線性相關(guān)性強(qiáng)弱即可.（2）①根據(jù)題意，，的取值可能為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.②根據(jù)題意，求得的表達(dá)式，再對(duì)求導(dǎo)，通過分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出的最大值【小問1詳解】由題意得，，第13頁/共17頁，，則.因?yàn)椋咏?，所以與兩個(gè)變量線性相關(guān)性的很強(qiáng).【小問2詳解】①由題意的取值可能為，且甲獲勝的概率為，當(dāng)時(shí)，甲連勝3局或乙連勝3局：.當(dāng)時(shí)，前3局甲2勝1負(fù)，第4局甲勝；或前3局乙2勝1負(fù)，第4局乙勝：.當(dāng)時(shí)，前4局甲2勝2負(fù)，第5局甲勝；或前4局乙2勝2負(fù)，第5局乙勝：.所以的分布列為：345期望.②甲以獲勝，即前4局甲2勝2負(fù)，第5局甲勝，第14頁/共17頁所以.對(duì)求導(dǎo)得，令，解得.則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.因此當(dāng)時(shí)，取得最大值.19.我們把有兩個(gè)自變量的函數(shù)稱為“二元函數(shù)”m，滿足，，則稱具有性質(zhì)T．已知二元函數(shù)．（1）若恒成立，求a的取值范圍．（2）已知正數(shù)m，滿足．（?。┳C明：．（ⅱ）證明：具有性質(zhì)T．【答案】（1）（2【解析】1）恒成立即為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出左側(cè)函數(shù)的最大值后可求參數(shù)的取值范圍.（2可得，利用極值點(diǎn)偏移可證（ⅱ）要證具有性質(zhì)T即證，設(shè)，從而將前者轉(zhuǎn)化為證明即，利用導(dǎo)數(shù)可證明后者.【小問1詳解】，第15頁/共17頁令，則．令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即a的取值范圍為．【小問2詳解】m，n滿足，則，故，．不妨設(shè)，則由（1）知，．