1.1課時(shí)1直線的方程、直線的傾斜角和斜率【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解直線的傾斜角和斜率的概念.(直觀想象)2.掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.通過對(duì)直線的傾斜角和斜率的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】我們知道，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有(確定)一條直線，那么經(jīng)過一點(diǎn)P的直線l的位置能確定嗎?如圖，過一點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線a，b，c，…，由此可見，答案是否定的.閱讀教材，結(jié)合上述情境回答下列問題：1.a，b，c，…這些直線有什么聯(lián)系呢?它們的傾斜程度相同嗎?2.一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向能確定一條直線嗎?3.下圖中標(biāo)的傾斜角α對(duì)不對(duì)?4.刻畫直線傾斜程度的量，除了傾斜角，還有其他的嗎?坡度是斜率嗎?1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)任意一條直線都有傾斜角，都存在斜率.()(2)平分坐標(biāo)軸直角的直線的斜率一定為1.()(3)若一條直線的傾斜角為α，則α∈R.()(4)直線斜率的取值范圍是(∞，+∞).()2.若直線l經(jīng)過原點(diǎn)和(1，1)，則它的傾斜角是().A.45°B.135°C.45°或135°D.45°3.已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)(3，3)，則直線l的斜率為().A.3B.3C.1D.24.已知坐標(biāo)平面內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，求直線AB，BC，AC的斜率.【合作探究】探究1直線的傾斜角小明常在無聊的時(shí)候?qū)⒐P放在手指上不停地轉(zhuǎn)圈，他的同桌也學(xué)了起來，但手指頭總是不夠協(xié)調(diào)，拿著水筆在手上還沒轉(zhuǎn)足半圈，就“啪嗒”一聲掉在桌子上.問題1：若把圖中的筆看成一條直線繞著一個(gè)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)，把點(diǎn)P放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，不論直線怎么旋轉(zhuǎn)，它對(duì)x軸的相對(duì)位置有幾種情形?問題2：直線的傾斜角能不能是0°?能否大于平角?問題3：在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有傾斜角嗎?1.傾斜角的概念在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時(shí)針方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l首次重合時(shí)所成的角，稱為直線l的傾斜角.通常傾斜角用α表示.2.傾斜角的范圍當(dāng)直線l和x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.因此，直線的傾斜角α的取值范圍為[0，π).特別提醒：在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不相等.例1設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為().A.α+45°B.α135°C.135°αD.α+45°或α135°【方法總結(jié)】求直線的傾斜角的方法及兩個(gè)注意點(diǎn)(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)兩個(gè)注意點(diǎn)：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為π2；②注意直線傾斜角的取值范圍是[0，π一條直線l與x軸相交，其向上方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°)，則其傾斜角為().A.αB.180°αC.180°α或90°αD.90°+α或90°α探究2直線的斜率環(huán)法自行車賽是知名的年度多階段公路自行車運(yùn)動(dòng)賽事，主要在法國(guó)舉辦，但也經(jīng)常出入周邊國(guó)家(如英國(guó)、比利時(shí)和西班牙等).下圖是某次比賽中所經(jīng)過的某段公路的示意圖.問題1：OA，AB兩段公路中哪段路更陡峭?為什么?用什么來刻畫山坡的傾斜程度?怎樣將“直觀”量化?問題2：所有直線都有斜率嗎?若直線沒有斜率，則這條直線的傾斜角為多少?問題3：在斜率公式k=y2-y1x2-x11.改變量在直線l上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，記Δx=x2x1(Δx≠0)，Δy=y2y1，即橫坐標(biāo)的改變量為Δx，縱坐標(biāo)的改變量為Δy.比值k=ΔyΔx反映了直線l的傾斜程度.k=ΔyΔx的大小與兩點(diǎn)P2.斜率的定義稱k=y2-y1x2-x1(其中x1≠x2)為經(jīng)過不同兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x3.(1)傾斜角是π2的直線沒有斜率，傾斜角不是π2(2)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系：①直線的斜率與傾斜角既有區(qū)別又有聯(lián)系.它們都反映了直線的傾斜程度，本質(zhì)上是一致的.但傾斜角是角度，是傾斜度的直接體現(xiàn)；斜率是實(shí)數(shù)，是直線傾斜度的間接反映，用斜率比用傾斜角更方便.②傾斜角可為正，可為零，不可為負(fù)，而斜率k不僅可為正，可為零，而且可以為負(fù).例2經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在?如果存在，求其斜率.(1)A(2，3)，B(4，5)；(2)C(2，3)，D(2，1)；(3)P(3，1)，Q(3，10).【方法總結(jié)】已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率，常用兩點(diǎn)斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1≠x2)若直線經(jīng)過點(diǎn)(0，2)和點(diǎn)(3，0)，則它的斜率為().A.2B.3C.2D.3已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，4)，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)B，若kAB=4，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________.

已知直線l過點(diǎn)P(4，6)，且其斜率k=23.(1)判斷點(diǎn)A(2，0)，B(1，4)是否在直線l上；(2)若點(diǎn)C(2m3，m)在直線l上，求m的值.【隨堂檢測(cè)】1.直線l的傾斜角α的取值范圍是().A.0°≤α<180° B.0°<α≤180°C.0°<α<180° D.0°≤α<180°且α≠90°2.給出下列結(jié)論：①若α是直線l的傾斜角，則sinα∈[0，1]；②若k是直線的斜率，則k∈R；③任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是().A.1B.2C.3D.43.已知點(diǎn)A(a，2)，B(5，1)，C(4，2a)在同一直線上，則a的值為________.

4.已知A(m，m+3)，B(2，m1)，C(1，4)，直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值.

參考答案1.1課時(shí)1直線的方程、直線的傾斜角和斜率自主預(yù)習(xí)·悟新知預(yù)學(xué)憶思1.它們都經(jīng)過點(diǎn)P，它們的傾斜程度不相同.2.能.3.都不對(duì).4.有，如斜率也能刻畫直線的傾斜程度.坡度不是斜率，當(dāng)直線的傾斜角是銳角時(shí)，直線的斜率與坡度是類似的.自學(xué)檢測(cè)1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.B【解析】作出直線l，如圖所示，由圖易知，應(yīng)選B.3.A【解析】由題意可知，直線l的斜率k=3-03-0=4.【解析】已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可代入過兩點(diǎn)的直線的斜率公式求斜率，但應(yīng)先驗(yàn)證兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等.kAB=1-11-(-1)=0，kAC=-1-11-(-1)=1.∵B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，∴直線BC合作探究·提素養(yǎng)探究1情境設(shè)置問題1：如圖，有4種情形.問題2：能是0°，不能大于平角.問題3：每一條直線都有傾斜角.新知運(yùn)用例1D【解析】根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：由于0°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知，當(dāng)0°≤α<135°時(shí)，l1的傾斜角為α+45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，l1的傾斜角為45°+α180°=α135°.故選D.鞏固訓(xùn)練D【解析】如圖，當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí)，傾斜角為90°+α；當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí)，傾斜角為90°α.故選D.探究2情境設(shè)置問題1：AB段路更陡峭，因?yàn)锳B與水平面的夾角大于OA與水平面的夾角，可以利用斜坡傾斜角的正切值將“直觀”量化，也可以利用坡度量化.問題2：不是，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線沒有斜率.若直線沒有斜率，則其傾斜角為90°.問題3：當(dāng)x1=x2時(shí)，直線沒有斜率.新知運(yùn)用例2【解析】(1)存在.直線AB的斜率kAB=5-34-2(2)存在.直線CD的斜率kCD=-1-32-(-2)=(3)不存在.因?yàn)閤P=xQ=3，所以直線PQ的斜率不存在.鞏固訓(xùn)練1C【解析】斜率k=0-23-0=2鞏固訓(xùn)練2(2，0)或(0，8)【解析】設(shè)B(x，0)(x≠3)或B(0，y)，∴kAB=4-03-x或kAB=∴43-x=4或4-∴x=2或y=8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)或(0，8).鞏固訓(xùn)練3【解析】(1)因?yàn)閗PA=0+62+4=1≠23，kPB=-4+6-1+4=23，所以點(diǎn)A不在直線l上，點(diǎn)B(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在直線l上，所以kPC=23，所以m+62m-3+4=隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)1.A【解析】由傾斜角的定義和規(guī)定知0°≤α<180°.2.C【解析】由直線的傾斜角的定義及斜率與傾斜角的關(guān)系可知，①②③正確.3.2或72