試題試題2024年秋季上海新高一入學(xué)分班考試模擬卷數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分測(cè)試范圍：初高銜接、集合與邏輯）一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．使等式成立的的取值范圍是．2．若，，，則整數(shù)．3．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，，，兩點(diǎn)，則的值是．4．若集合，，則（用符號(hào)“”“”或“”連接）．5．已知，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合是．6．若三角形的面積為，且三邊長(zhǎng)分別為、、，則三角形的內(nèi)切圓的半徑是．7．，，，，，試用列舉法表示集合．8．在和△中，，且，則△的周長(zhǎng)．9．已知點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為．10．已知、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則二次函數(shù)的最大值為．11．設(shè)，1，2，3，4，5，6，7，8，，若，，則不同的有序集合組，，的總數(shù)是．12．用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，，，則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則（請(qǐng)用列舉法表示）．二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13．下列命題中正確的是A．空集沒有子集 B．空集是任何一個(gè)集合的真子集 C．任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集 D．設(shè)集合，那么，若，則14．已知集合，，，則集合的子集個(gè)數(shù)為A．5個(gè) B．8個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)15．已知1和3是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值是A．1或 B．或 C．或 D．1或16．設(shè)、、是兩個(gè)兩兩不相等的正整數(shù)．若，，，，，則的最小值是A．2007 B．1949 C．1297 D．1000三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．已知集合，．（1）若是的子集，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是的子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．如圖，點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，經(jīng)過點(diǎn)、的直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）求的值；（3）連接、，若，求直線的函數(shù)關(guān)系式．19．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式；（2）若，求的值．20．已知命題：關(guān)于的不等式的解集為，且；命題：關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根．（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的范圍；（2）若命題和命題中至少有一個(gè)是假命題，求實(shí)數(shù)的范圍．21．交中的新生小明同學(xué)非常喜歡數(shù)學(xué)，他在課外書上看到了一個(gè)有趣的定理——“中線長(zhǎng)定理”：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，“中線長(zhǎng)定理”即．小明嘗試對(duì)它進(jìn)行證明，部分過程如下：解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2，在中，，同理可得：，，為證明的方便，不妨設(shè)，，（1）請(qǐng)你完成小明剩余的證明過程；理解運(yùn)用：（2）①在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則；②如圖3，的半徑為6，點(diǎn)在圓內(nèi)，且，點(diǎn)和點(diǎn)在上，且，點(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為；拓展延伸：（3）小明解決上述問題后，聯(lián)想到某課外書上的某題目：如圖4，已知的半徑為（圓心為原點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)的的另兩個(gè)頂點(diǎn)，都在上，為的中點(diǎn)，求長(zhǎng)的最大值．請(qǐng)你利用上面的方法和結(jié)論，求出長(zhǎng)的最大值．2024年秋季上海新高一入學(xué)分班考試模擬卷數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分測(cè)試范圍：初高銜接、集合與邏輯）一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．使等式成立的的取值范圍是．【分析】將已知等式化簡(jiǎn)，即可求解的取值范圍．【解答】解：可化為，即，所以，所以，即使等式成立的的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根式的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．若，，，則整數(shù)3．【分析】由兩個(gè)集合相等且為整數(shù)，可知也為整數(shù)，且，進(jìn)而求出的值．【解答】解：，，，且為整數(shù)，也為整數(shù)，，即，，，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合相等的條件，考查了集合中元素的特性，是基礎(chǔ)題．3．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，，，兩點(diǎn)，則的值是0．【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，其交點(diǎn)，，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而得出其縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，得出答案．【解答】解：由一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，其交點(diǎn)點(diǎn)，，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，屬于易做題．4．若集合，，則（用符號(hào)“”“”或“”連接）．【分析】由題意解出集合，，再根據(jù)集合之間的關(guān)系判斷即可．【解答】解：，，，所以有，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．5．已知，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合是．【分析】推導(dǎo)出方程沒有正實(shí)數(shù)解，若，則△，若，則方程有兩個(gè)非正數(shù)解，且0不是其解，則有，由此能求出實(shí)數(shù)的取值集合．【解答】解：，，，方程沒有正實(shí)數(shù)解，故集合有兩種情況：①若，則△，解得，②若，則方程有兩個(gè)非正數(shù)解，且0不是其解，則有，解得，綜上所述，．實(shí)數(shù)的取值集合是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查并集、交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．若三角形的面積為，且三邊長(zhǎng)分別為、、，則三角形的內(nèi)切圓的半徑是．【分析】由三角形的等面積法求解即可．【解答】解：設(shè)三角形的內(nèi)切圓的半徑是，如圖可知：，即，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)切圓的半徑，重點(diǎn)考查了三角形的等面積法，屬于基礎(chǔ)題．7．，，，，，試用列舉法表示集合，3，．【分析】先化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)集合的含義列舉即可．【解答】解：集合，，，，，，，則，3，，故答案為：，3，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列舉法、描述法表示集合的方法，屬于基礎(chǔ)題．8．在和△中，，且，則△的周長(zhǎng)40．【分析】由題意，，，從而△的周長(zhǎng)，由此能求出結(jié)果．【解答】解：在和△中，，且，，，，則△的周長(zhǎng)．故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形周長(zhǎng)、相似三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．已知點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為．【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即解方程組，再根據(jù)三角形面積公式可求的面積．【解答】解：依題意得，解得，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．10．已知、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則二次函數(shù)的最大值為．【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，的關(guān)系，由此可求得及的值，從而得到二次函數(shù)的解析式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得解．【解答】解：因?yàn)?、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在次函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，即，所以，故二次函數(shù)為，二次項(xiàng)系數(shù)為，故函數(shù)有最小值，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．11．設(shè)，1，2，3，4，5，6，7，8，，若，，則不同的有序集合組，，的總數(shù)是．【分析】按照中元素個(gè)數(shù)討論可解決此題．【解答】解：當(dāng)集合中有10個(gè)元素時(shí)，不同的有序集合組，，有個(gè)；當(dāng)集合中有9個(gè)元素時(shí)，不同的有序集合組，，有個(gè)；當(dāng)集合中有0個(gè)元素時(shí)，不同的有序集合組，，有個(gè)；總數(shù)為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合應(yīng)用、二項(xiàng)式定理，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及數(shù)據(jù)分析能力，屬于難題．12．用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，，，則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則（請(qǐng)用列舉法表示）．【分析】根據(jù)題意，可得，則可通過討論與的大小，進(jìn)而得到結(jié)果，具體過程詳見解析．【解答】解：根據(jù)題意，，，則有，又因?yàn)?，即得表示方程?shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，解這個(gè)方程得①，或②解方程①得，，解方程②得，若，即或時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根分別為，；若，即或時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)根；若，即時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．綜上可得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以（1）當(dāng)時(shí)，，即得，此時(shí)可得；（2）當(dāng)時(shí)，即得，此時(shí)可得或；故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根的求解，以及分類討論在解題中的使用，屬于中檔題．二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13．下列命題中正確的是A．空集沒有子集 B．空集是任何一個(gè)集合的真子集 C．任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集 D．設(shè)集合，那么，若，則【分析】利用子集、真子集、空集的定義直接求解．【解答】解：對(duì)于，空集的子集是空集，故錯(cuò)誤；對(duì)于，空集是任何一個(gè)非空集合的真子集，故錯(cuò)誤；對(duì)于，空集只有一個(gè)子集，故錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)集合，那么，若，則，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查子集、真子集、空集的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．14．已知集合，，，則集合的子集個(gè)數(shù)為A．5個(gè) B．8個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【分析】由不等式化簡(jiǎn)得，0，1，，，，2，，從而求子集個(gè)數(shù)即可．【解答】解：，0，1，，，，2，，故集合中有3個(gè)元素，故集合的子集個(gè)數(shù)為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的化簡(jiǎn)與集合的子集個(gè)數(shù)的結(jié)論應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．已知1和3是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值是A．1或 B．或 C．或 D．1或【分析】先根據(jù)1和3是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，得到，，之間的關(guān)系，再結(jié)合關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根即可求解結(jié)論．【解答】解：和3是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，即的兩根，且，可得，，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，可得，即解得或，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．16．設(shè)、、是兩個(gè)兩兩不相等的正整數(shù)．若，，，，，則的最小值是A．2007 B．1949 C．1297 D．1000【分析】假設(shè)，則．由此可得為奇數(shù)．分和兩種情況解出，，的值，代入計(jì)算即可．【解答】解：不妨設(shè)，則．因?yàn)闉榕紨?shù)，所以，，必為兩奇一偶，從而可得為奇數(shù)．又因?yàn)?，所以為不小?的奇數(shù)．若．則，，，，．故，且．所以，不符合要求．若，則，，，，．故，解得，此時(shí)，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生的邏輯推理能力和分類討論思想，得出為奇數(shù)是關(guān)鍵點(diǎn)，屬于中檔題．三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．已知集合，．（1）若是的子集，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是的子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意可得，從而建立方程組即可求解；（2）由是的子集，可得或或或，，再分類討論建立方程即可求解．【解答】解：（1），，，又，，，；（2）是的子集，或或或，，①時(shí)，△，；②時(shí)，，；③時(shí)，，；④，時(shí)，由（1）知，綜合可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合間的關(guān)系，方程思想，分類討論思想，屬中檔題．18．如圖，點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，經(jīng)過點(diǎn)、的直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）求的值；（3）連接、，若，求直線的函數(shù)關(guān)系式．【分析】（1）先把點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出的值得到反比例函數(shù)解析式，然后把代入可求出的值．（2）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，，然后把兩式相減消去即可得到的值；（3）作軸于，軸于，利用正切的定義得到，，則，結(jié)合，于是可解得，，從而得到，，然后利用待定系數(shù)法求直線的解析式．【解答】解：（1）當(dāng)，則，把代入，得，所以反比例函數(shù)解析式為，把代入得，解得．（2）因?yàn)辄c(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，所以，，所以，即；（3）作軸于，軸于，如圖，在中，，在中，，而，所以，又，解得，，則，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，所以直線的解析式為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)和方程的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．19．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式；（2）若，求的值．【分析】（1）將點(diǎn)，坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組求出，，從而可求出拋物線的解析式；（2）由題意表示出，，的坐標(biāo)，從而可表示出，，然后由，列方程，能求出值．【解答】解：（1）將點(diǎn)、坐標(biāo)代入拋物線解析式，得：，解得：．故拋物線的解析式為：；（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，．，，由題意，即，①若，整理得，解得，．②若，整理得，解得或，由題意得的取值為，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線解析式、圖象、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．已知命題：關(guān)于的不等式的解集為，且；命題：關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根．（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的范圍；（2）若命題和命題中至少有一個(gè)是假命題，求實(shí)數(shù)的范圍．【分析】命題：關(guān)于的不等式的解集為，且，可得，解得范圍；命題：關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，可得，解得范圍．（1）由命題為真命題，即可得出實(shí)數(shù)的范圍．（2）由命題和命題中都是真命題，解得范圍．進(jìn)而得出當(dāng)命題和命題中至少有一個(gè)是假命題時(shí)的實(shí)數(shù)的范圍．【解答】解：命題：關(guān)于的不等式的解集為，且，則，解得；命題：關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則，解得．（1）由命題為真命題，實(shí)數(shù)的范圍是；（2）由命題和命題中都是真命題，則，解得．可得：命題和命題中至少有一個(gè)是假命題，則，或．實(shí)數(shù)的范圍是，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法、函數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21．交中的新生小